专题06三角形-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题06 三角形 1．（2024·江苏宿迁·二模）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为 （　　） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·二模）现有两根长度为3和4（单位：cm）的小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形的是 （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2024·江苏南通·二模）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为 （     ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南通·二模）如图，，，，则的度数为 （     ）    A． B． C． D． 5．（2024·江苏宿迁·二模）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是 （    ） A． B． C．或 D．或 6．（2024·江苏宿迁·二模）如图，是由绕点旋转得到，，，则的度数是 （     ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏南京·二模）如图，在三角形纸片中，，，，沿折叠纸片，使点A落在边上的点E处，则的长是 （　　） A． B． C． D． 8．（2024·江苏无锡·二模）如图，是等边三角形，点P是边上的一个动点，点P关于的对称点分别为，，连接，，，点P从点A运动到点B的过程中，的面积变化情况为（    ） A．保持不变 B．一直变小 C．先变大再变小 D．先变小再变大 9．（2024·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，于点，点是中点，连接交于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏徐州·二模）在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为 （     ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏南通·二模）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，画直线交于点，连接，则的度数为 ． 12．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ．    13．（2024·江苏南京·二模）如图，在四边形中，，，若，则 ． 14．（2024·江苏盐城·二模）在活动课上，“雏鹰”小组用含角的直角三角尺设计风车．如图，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……，则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留）    15．（2024·江苏泰州·二模）已知，如图，点C在上，，，，若，则 ． 16．（2024·江苏南通·二模）如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，点是边的中点，延长，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为矩形． 18．（2024·江苏无锡·二模）中，，， (1)请在图（）中用无刻度的直尺和圆规作图：在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若，取的中点，连接交于点，则______． 19．（2024·江苏无锡·二模）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（2024·江苏无锡·二模）如图，在中，，，点D为延长线上一点，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．（2024·江苏无锡·二模）中，分别为的中点，为的中点， 的延长线交于点． (1)求证：； (2)猜想线段与线段的数量关系，并证明你的结论． 22．（2024·江苏苏州·二模）在中，是的中点，是上一点，连接并延长使． (1)证明：； (2)若，，平分，求的长． 23．（2024·江苏盐城·二模）如图，网格小正方形的边长都为1，在中，试利用格点分别画出：边边上的中线、边边上的高，并判断的形状． 24．（2024·江苏无锡·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形的顶点均在格点上．    (1)比较大小：　　；（用“>”或“=”或“<”填空） (2)请仅用无刻度的直尺过顶点A作一条直线，将四边形的面积平分并简要说明你的画法． 25．（2024·江苏常州·二模）如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，的大小为______． (2)图2，延长，交射线于点． ①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由． ②若，则的面积最大为______，此时______． 26．（2024·江苏扬州·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且当，，时，求出的周长． 27．（2024·江苏盐城·二模）【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点是上一点，连接，过点作于，交于点． 【特例猜想】如图，当时，直接写出与之间的数量关系为_____； 【问题探究】如图，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由； 【类比运用】如图3， 连接， 若，，，求的长． 28．（2024·江苏南通·二模）直观感知： （）如图，在四边形中，是等边三角形，，，将绕点顺时针旋转得，点与点重合，点的对应点是点．补全图形，并直接写出的度数； 类比探究： （）如图，在四边形中，，，，，，求的长． 拓展运用： （）如图，在四边形中，，，，，，在的变化过程中时，求的最大值． 29．（2024·江苏苏州·二模）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： (1)如图①，在等边三角形中，点M是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在等腰三角形中，，点M是边上任意一点（不含端点B，C），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在等腰直角三角形中，，点E为线段上一点，点D为斜边上一点，满足，过C作交延长线于F，若，，则_____． 30．（2024·江苏常州·二模）经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两个三角形，如果其中一个三角形与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为原三角形的“形似线段”． (1)等边三角形存在“形似线段”吗？ (填“存在”或“不存在” )； (2)如图①， 在中，， ， ， 若是 的“形似线段”，求的长； (3)如图②， 在中， ，，． 当 有且只有二条“形似线段”时，线段 的取值是 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形 1．（2024·江苏宿迁·二模）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质；根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·江苏宿迁·二模）现有两根长度为3和4（单位：cm）的小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形的是 （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为，则，即．观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 3．（2024·江苏南通·二模）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，平行线的性质是解题的关键． 由三角形内角和定理可求，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·江苏南通·二模）如图，，，，则的度数为 （     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，根据平行线得到，再根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】 故选：B． 5．（2024·江苏宿迁·二模）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键． 由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故选：D． 6．（2024·江苏宿迁·二模）如图，是由绕点旋转得到，，，则的度数是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，利用旋转的性质得出，然后利用三角形内角和定理求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解∶∵旋转， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， 故选∶A． 7．（2024·江苏南京·二模）如图，在三角形纸片中，，，，沿折叠纸片，使点A落在边上的点E处，则的长是 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据三角函数解直角三角形，折叠的性质等知识．先根据勾股定理求出，得到，根据折叠的性质得到，，进而求出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由题意得折叠得到， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：B 8．（2024·江苏无锡·二模）如图，是等边三角形，点P是边上的一个动点，点P关于的对称点分别为，，连接，，，点P从点A运动到点B的过程中，的面积变化情况为（    ） A．保持不变 B．一直变小 C．先变大再变小 D．先变小再变大 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，对称易证是顶角为120度的等腰三角形，腰长为的长，根据腰长先变小后变大，即可得出结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵点P关于的对称点分别为，， ∴，， ∴， ∴， 过点作，则：，，    ∴， ∴的面积随着的变化而变化， ∵为上的一个动点， ∴当时，的面积最小，此时点为的中点， ∴点P从点A运动到点B的过程中，的面积先变小后变大， 故选D． 9．（2024·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，于点，点是中点，连接交于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于，根据勾股定理计算出，利用，求出，证明出，，根据相似三角形的性质，结合勾股定理、线段的和差，求出、，最后求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，，，于点，点是中点， ∴，，， 又∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10．（2024·江苏徐州·二模）在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质．由菱形的性质得，而，即可根据“”证明，得，则，由，，得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 11．（2024·江苏南通·二模）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，画直线交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形性质是解题关键．先利用画法确定垂直平分，再利用等边对等角及三角形内角和性质解题即可． 【详解】解：∵分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ．    【答案】//1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形中位线得性质，延长交于N，利用证得，求得，，再根据三角形中位线的性质即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于N，   平分，， ，， 又， ， ，， ， ∵点E是的中点， ， 则是的中位线， ∴， 故答案为：． 13．（2024·江苏南京·二模）如图，在四边形中，，，若，则 ． 【答案】78 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，通过列一元一次方程求出的度数，从而得到的度数是解题的关键．利用三角形的内角和定理及等腰三角形的性质即可得解． 【详解】解：设，则， ∵， ， ， 又 故答案为：． 14．（2024·江苏盐城·二模）在活动课上，“雏鹰”小组用含角的直角三角尺设计风车．如图，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……，则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、旋转的性质以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键．根据题意，点所经过的路径是圆弧，根据“直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半”，易知，结合旋转的性质可知，然后求出圆弧的长度即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴点通过一次旋转至所经过的路径长为． 故答案为：． 15．（2024·江苏泰州·二模）已知，如图，点C在上，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点N，先根据证明，得到，设，则，根据平行线的性质可证明，得到得到，解出，从而得出，进而得出结果即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于点N， ，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 或（小于零舍掉）， ，即， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，一元二次方程的应用，准确作出辅助线是解答本题的关键． 16．（2024·江苏南通·二模）如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定， （1）首先根据平行线的性质得到，，然后证明出，即可得到； （2）根据全等三角形的性质得到，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴； （2）∵， ∴． ∴． 即． ∵，， ∴． ∴． ∴． 17．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，点是边的中点，延长，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及矩形的判定，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． （1）根据平行四边形的性质得出，，利用证明，可得，即可证明四边形是平行四边形，进而可得结论； （2）根据平行四边形的性质得出，即可得出，进而得出四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． 18．（2024·江苏无锡·二模）中，，， (1)请在图（）中用无刻度的直尺和圆规作图：在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若，取的中点，连接交于点，则______． 【答案】(1)作图见解析； (2)． 【分析】（）作的角平分线，交于点，因为，，所以，可得，进而可得，得到，又由直角三角形的性质可得，即可得到，故点即为所求； （）先证明为等边三角形，得到，再根据等边三角形的性质可得，，利用勾股定理得到，即得，再根据即可求解； 本题考查了角平分线的画法和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（2024·江苏无锡·二模）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ∵， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ． 20．（2024·江苏无锡·二模）如图，在中，，，点D为延长线上一点，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明； （2）根据得到，结合． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∵ ∴． （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（2024·江苏无锡·二模）中，分别为的中点，为的中点， 的延长线交于点． (1)求证：； (2)猜想线段与线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了中位线，全等三角形的判定与性质．熟练掌握中位线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由分别为的中点，为的中点，可得，，则，进而可证； （2）由（1）知，，，则，进而可得． 【详解】（1）证明：∵分别为的中点，为的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：，证明如下； 由（1）知，，， ∴，即． 22．（2024·江苏苏州·二模）在中，是的中点，是上一点，连接并延长使． (1)证明：； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解题关键． （1）证明，由全等三角形的性质可得，然后证明结论即可； （2）证明为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵是的中点，，， ∴，， ∴在中，． 23．（2024·江苏盐城·二模）如图，网格小正方形的边长都为1，在中，试利用格点分别画出：边边上的中线、边边上的高，并判断的形状． 【答案】是等腰三角形 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的中线，高，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据三角形的中线，高的定义作出图形即可，利用勾股定理求出，可得． 【详解】解：如图，的中线，高即为所求作． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 24．（2024·江苏无锡·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形的顶点均在格点上．    (1)比较大小：　　；（用“>”或“=”或“<”填空） (2)请仅用无刻度的直尺过顶点A作一条直线，将四边形的面积平分并简要说明你的画法． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题． （1）利用等高模型判断即可． （2）把四边形面积问题转化为三角形面积问题解决．连接，取格点，连接，，则，作出的中线所在的中线即可． 【详解】（1）解：由题意， ． 故答案为：； （2）解：如图，直线即为所求．    25．（2024·江苏常州·二模）如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，的大小为______． (2)图2，延长，交射线于点． ①请问的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由． ②若，则的面积最大为______，此时______． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】（1）求出，由轴对称的性质得到，再由即可求得答案； （2）①设的大小为则由等腰三角形的性质即可得出答案； ②由题意可得点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，利用解直角三角形可得面积最大值；过点作于，则，，，，得出，再由，即可求得． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形， ， ， ， 边关于对称的线段为， ， ； 故答案为：； （2）的大小不变，始终为． 设的大小为则 关于的对称线段为， ， ＝＝ ， 是的外角， ； ②由①知：， ， 点在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接， 当时，即点位于点时，的面积最大， 弦， ，即垂直平分， ，， ， ， ， ，， ， 面积最大值是； 此时，点的位置如图所示，过点作于， 则，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，圆的性质，解直角三角形等，正确地作出辅助线是解题的关键． 26．（2024·江苏扬州·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且当，，时，求出的周长． 【答案】（1），理由见解析；（2）5；（3）13 【分析】 将绕点逆时针旋转得到，则≌，得，，，、、三点共线，进而证明≌，，从而即可得解； 如图，在上取一点，使得， 证≌，得，，进而证明≌，得，设，则，，在中，利用勾股定理，求解即可； 在上截取， ≌，得，，进而证明≌，得，从而即可得解． 【详解】解：，理由如下： 将绕点逆时针旋转得到， ≌， ，，，、、三点共线， ， ， 在和中， ， ≌， ， ； 如图，在上取一点，使得， ， ， ∵， ， ，， ≌， ，， ， ， ， ， ，， ≌， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ； 在上截取， ， ， 在≌中， ， ≌， ，； ， ， ， 在≌， ， ≌， ； ， ． 的周长． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，邻补角，直角三角形的两锐角互余，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 27．（2024·江苏盐城·二模）【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点是上一点，连接，过点作于，交于点． 【特例猜想】如图，当时，直接写出与之间的数量关系为_____； 【问题探究】如图，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由； 【类比运用】如图3， 连接， 若，，，求的长． 【答案】［特例猜想］；［问题探究］当时，（1）中的结论不成立，此时，理由见解析；［类比运用］ 【分析】［特例猜想］根据已知条件得到，，得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论； ［问题探究］根据已知条件得到，得到，证明，根据相似三角形的性质得到，推出，证明，根据相似三角形的性质得到结论； ［类比运用］如图，连接，等腰三角形三线合一性质得到，继而得到，设，则，则根据勾股定理得到，得到，再根据勾股定理建立关于的方程即可得到结论． 【详解】解：［特例猜想］与之间的数量关系为：． 理由：当时，则， ∵是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ［问题探究］当时，（1）中的结论不成立，此时， 理由：∵，是边上的高，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ADG∽△CDE， ∴， ∴； ［类比运用］如图，连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是边上的高，，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质，勾股定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 28．（2024·江苏南通·二模）直观感知： （）如图，在四边形中，是等边三角形，，，将绕点顺时针旋转得，点与点重合，点的对应点是点．补全图形，并直接写出的度数； 类比探究： （）如图，在四边形中，，，，，，求的长． 拓展运用： （）如图，在四边形中，，，，，，在的变化过程中时，求的最大值． 【答案】（）补图见解析，；（）；（）． 【分析】（）根据题意补全图形即可，设相交于点，由旋转得，由等边三角形的性质得，即得，得到，由三角形内角和定理得，再根据三角形外角性质即可得到的度数； （）将绕点顺时针旋转得，点与点重合， 点的对应点是点，连接，可得是等腰直角三角形，得到，，，进而得，再利用勾股定理即可求解； （）将各边扩大到倍，绕点顺时针旋转的度数，得，点与点重合，点的对应点是点，连接，可得，得到，，进而得，得到，即得，利用勾股定理得，由三角形三边性质得当点共线时，此时最大，也最大，的最大值为，此时，据此即可求解． 【详解】解：（）补图如下： 设相交于点， 由旋转可得，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）将绕点顺时针旋转得，点与点重合， 点的对应点是点，连接， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴； （）将各边扩大到倍，绕点顺时针旋转的度数，得，点与点重合，点的对应点是点，连接， ∴ ， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， 当点共线时，此时最大，也最大， ∴的最大值为，此时， ∴， 即的最大值． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形的外角性质和内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，三角形的三边性质，正确作出辅助线是解题的关键． 29．（2024·江苏苏州·二模）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： (1)如图①，在等边三角形中，点M是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在等腰三角形中，，点M是边上任意一点（不含端点B，C），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在等腰直角三角形中，，点E为线段上一点，点D为斜边上一点，满足，过C作交延长线于F，若，，则_____． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用证明，即可得出结论； （2）证明，得出，，利用等式的性质得出，证明，利用相似三角形的性质即可得证； （3）证明，得出，根据，得出，则可求，利用平角定义和三角形内角和定理可得出，利用平行线的性质得出，则可证，得出，过A作交于G，则是等腰直角三角形，得出，，，证明，利用相似的性质求出，即可求解． 【详解】（1）解∶ 理由：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解： 理由：∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：∵等腰直角三角形中，， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去） ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过A作交于G ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等腰直角三角形和相似三角形是解题的关键． 30．（2024·江苏常州·二模）经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两个三角形，如果其中一个三角形与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为原三角形的“形似线段”． (1)等边三角形存在“形似线段”吗？ (填“存在”或“不存在” )； (2)如图①， 在中，， ， ， 若是 的“形似线段”，求的长； (3)如图②， 在中， ，，． 当 有且只有二条“形似线段”时，线段 的取值是 ． 【答案】(1)不存在 (2) (3)或 【分析】（1）根据定义运用反证法判断即可； （2）当的左边和相似，即时和当的右边和相似，即时，两种情况讨论，理由相似三角形的对应边成比例即可得解； （3）推导，再分 当时，当时，当时，当时，三种情况讨论，找出它们的“形似线段”，从而得解． 【详解】（1）解：不存在，理由如下： 如下图，是等边三角形， 则， 假设等边存在“形似线段”， 在上取一点D，连接，假设是等边的“形似线段”， 则，或者， 当时，， ∴， ∴， 与图形矛盾，假设不成立， 当时，同理可得：， 与图形矛盾，假设不成立， ∴等边不存在“形似线段”， 故答案为：不存在； （2）当的左边和相似，即时， ，即， 解得：； 当的右边和相似，即时， ，即， 解得：； 综上所述：的长为； （3）解：∵，， ∴， ∴， 当时， 如下图所示，以点P为顶点在三角形内部作，点Q在上， ∵，， ∴，是的一条“形似线段”， 如下图所示，以点P为顶点在三角形内部作，点Q在上， ∵，， ∴，是的一条“形似线段”， 如下图所示，以点N为顶点在三角形内部作，点Q在上， ∵，， ∴，是的一条“形似线段”， 要使得有且只有二条“形似线段”时，则只能是图与图中的重合，即既满足，又满足， ∵，即， ∴，解得， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 当时，中的情况三不存在，情况一和情况二不重合，符合条件， 两条“形似线段”如下图所示， 过点P作， ∵， ∴点E是的中点，， ∵，， ∴，， ∴， 当时，中的情况三不存在，情况一和二不重合， 但新增情况三：， 此时，是的一条“形似线段”， 三种情况如下下图所示，故此时不符合题意， 综上所述：线段 的取值是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，审清题意运用分类讨论思想是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$