专题04反比例函数-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题04 反比例函数 1．（2024·江苏南通·二模）若点，都在函数的图象上，则下列关于和的大小关系描述正确的是 （     ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·二模）如图，点A是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点B、C分别在x、y正半轴上，且轴，若的面积为2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·江苏连云港·二模）某工厂计划建一个容积一定的污水处理池，池的底面积与其深度满足关系式：，则S关于h的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏连云港·二模）如图，点是反比例函数图象上一点，连接交反比例函数的图象于点，作轴，为垂足，轴，为垂足，则四边形的面积等于 (     ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏常州·二模）已知两点和在反比例函数 的图像上，且则 （     ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏盐城·二模）若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为 (     ) A． B． C． D． 9．（2024·江苏无锡·二模）已知，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立，则符合题意的函数可能是（　　） A． B． C． D． 10．（2024·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数（）的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 11．（2024·江苏宿迁·二模）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为 ． 12．（2024·江苏南京·二模）若反比例函数的图象经过点，，则 ． 13．（2024·江苏无锡·二模）如图，正方形的顶点在轴上，是的中点，反比例函数的图象经过正方形的顶点B．若，，则 ． 14．（2024·江苏南通·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上，点为边的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则与的关系为 ．    15．（2024·江苏泰州·二模）如图，正方形的顶点A、D分别在一次函数和反比例函数的图像上，顶点B、C在x轴上，则该正方形边长为 ． 16．（2024·江苏徐州·二模）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点，，．若的面积为4，则的值为 ． 17．（2024·江苏无锡·二模）一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A，与x轴、y轴分别交于点B、C，若，则k的值是 ． 18．（2024·江苏徐州·二模）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M．若的面积为4，则k的值为 ． 19．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为 ． 20．（2024·江苏徐州·二模）如图，中，对角线交于点E，反比例函数经过A、E两点，的面积为12，则k的值是 ． 21．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数与的图象上．若，且，则k的值为 ． 22．（2024·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ． 23．（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且． (1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求该函数的表达式． 24．（2024·江苏常州·二模）如图，，，反比例函数的图像过点，反比例函数经过点． (1)求和的值． (2)过点作轴，与双曲线交于点，求的面积． 25．（2024·江苏南京·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，． (1)求a、k的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 26．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点的坐标． 27．（2024·江苏盐城·二模）定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”． (1)如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ； (2)已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）； (3)已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数 的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4． ①求的值； ②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由； (4)已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 反比例函数 1．（2024·江苏南通·二模）若点，都在函数的图象上，则下列关于和的大小关系描述正确的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．直接代入求出和，即可求解． 【详解】解： ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（2024·江苏扬州·二模）如图，点A是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点B、C分别在x、y正半轴上，且轴，若的面积为2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵轴，的面积为2， ， 即：， ， ∵反比例函数在第一象限图象上， ∴． 故选：D． 3．（2024·江苏连云港·二模）某工厂计划建一个容积一定的污水处理池，池的底面积与其深度满足关系式：，则S关于h的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用等知识点，先根据得出S关于h的函数解析式，再根据反比例函数的性质解答，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解决此题的关键． 【详解】∵（V为不等于0的常数）， ∴，S是h的反比例函数， ∵，， ∴图象为双曲线在第一象限内的部分， 故选：C． 4．（2024·江苏连云港·二模）如图，点是反比例函数图象上一点，连接交反比例函数的图象于点，作轴，为垂足，轴，为垂足，则四边形的面积等于 (     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义；根据反比例函数的几何意义，分别求得和，即可求得四边形的面积． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∵反比例函数的图象于点， ∴， ∴． 故选：A． 5．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围． 【详解】解：，且， ∴反比例函数的图像在第二、四象限， ， ， 故选：B． 6．（2024·江苏常州·二模）已知两点和在反比例函数 的图像上，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的增减性，根据反比例函数解析式得出当，y随着x的增大而减小，据此得解． 【详解】解：在反比例函数 中，， ∴反比例函数 的图象经过第一、三象限，且在每个象限内图象下降， ∴当，y随着x的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：D． 7．（2024·江苏盐城·二模）若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图像．由点，，在同一个函数图像上，可得点与点关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点，， ∴点与点关于轴对称， 即这个函数图像关于轴对称，故选项A，C不符合题意； ∵，， ∴当时，随的增大而增大， 故选项B符合题意，选项D不符合题意． 故选：B． 8．（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为 (     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，把变形为，即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ，， ， ， 当，时，有最小值为， 故选：A． 9．（2024·江苏无锡·二模）已知，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立，则符合题意的函数可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数和二次函数及一次函数图象上点的坐标特征．先确定自变量每增加1个单位，函数值变化越大，再根据各函数逐项分析判断即可． 【详解】解：∵，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立， 自变量每增加1个单位，函数值变化越大． A、，自变量每增加1个单位，函数值变化越大，符合题意； B、，随先减小后增大，不符合题意 C、，随的增大而增大，均匀增大，不符合题意； D、，，不符合自变量每增加1个单位，函数值变化越大，不符合题意． 故选：A． 10．（2024·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数（）的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4.5，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，证明是解题的关键．过点B分别作于点M， 于点N，证明，得到，即，求出点，则点，进一步由，即可求解． 【详解】解：过点B分别作于点M， 于点N，    设点，则， ∵于点N， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， 即， 即， 则，则， 则点，则点， 设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为：， 当，， 解得，， ∴点； 设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为：， 当，， ∴点，则， ∵， 则， 故选：C． 11．（2024·江苏宿迁·二模）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据双曲线分布的象限，得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， 故答案为：． 12．（2024·江苏南京·二模）若反比例函数的图象经过点，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键在于熟记性质．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：设反比例函数的图象为， 把点代入得：， 则反比例函数的图象为， 把代入得：， 解得：． 故答案为：1． 13．（2024·江苏无锡·二模）如图，正方形的顶点在轴上，是的中点，反比例函数的图象经过正方形的顶点B．若，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．作轴，垂足为，利用相似比求出，，继而求出点坐标，最后求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 是的中点，，， ， ， ， ∵， ， ， ，， ， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：10． 14．（2024·江苏南通·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上，点为边的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则与的关系为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，利用平行四边形和反比例函数的点的特征是解题的关键．利用平行四边形性质设出点和点坐标，再表示出点坐标，代入即可解决． 【详解】解：∵中，， ∴点和点纵坐标相同， ∵点在反比例函数上，点在反比例函数上， 设，则， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴点坐标为， 即， ∵点在反比例函数上， ∴， 化简得， 故答案为：． 15．（2024·江苏泰州·二模）如图，正方形的顶点A、D分别在一次函数和反比例函数的图像上，顶点B、C在x轴上，则该正方形边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数、反比例函数的性质和正方形的性质，设点，则点，结合正方形的性质可得，解得a，即可求得正方形的边长． 【详解】解：设点，则点， ∵是正方形， ∴， 即， 解得：（负值舍去） ∴， 故答案为：． 16．（2024·江苏徐州·二模）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点，，．若的面积为4，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形和反比例函数，利用分割法求面积是解题的关键．过点作于点，过点作于点，设，由于，故，，根据点在上，得到矩形的宽，再根据，列方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 设，由于，故，， 点在上， ， 为矩形的对称中心， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 17．（2024·江苏无锡·二模）一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A，与x轴、y轴分别交于点B、C，若，则k的值是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，先求出点B、C的坐标，根据中点坐标公式求出点A的坐标，代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：在一次函数中， 当时，， 当时，，解得， ∴点B、C的坐标分别为，， ∵， ∴点C是的中点， ∴ 解得 ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴， 解得， 故答案为：8 18．（2024·江苏徐州·二模）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M．若的面积为4，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，利用中心对称的性质可得，则，再根据比例关系得到，从而计算出，继而求出k值． 【详解】如图，M是矩形的对称中心，延长必过点B，则， ∵的面积为4， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作轴于M，轴于N，通过证得得到 ， 设，则利用梯形的中位线定理得到即可得到作关于轴的对称点为交轴于D，连接， 交轴于Q，此时的值最小，最小值为由 利用勾股定理求得m的值，即可求得) ，得到利用勾股定理求得即可求得点的最小值，求得的坐标是解题的关键． 【详解】解：作轴于M， 轴于N，如图： 在和中， ， 设， 则 ∵ P是的中点， 的横坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， 作关于轴的对称点为交轴于D，连接， 交轴于Q， 此时的值最小，最小值为 在梯形中，是中位线， 即 解得 ， ∴的最小值为， 故答案为： 20．（2024·江苏徐州·二模）如图，中，对角线交于点E，反比例函数经过A、E两点，的面积为12，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】分别过点、作、垂直于轴于、，先求出，再由平行四边形面积公式求出即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， 设，， 则，，，，，， 、在双曲线上， 三角形与三角形的面积相等， 四边形是平行四边形， ， ， ∴ ， ，即， ， ， ， 平行四边形的面积， ，，即； 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的中位线定理，反比例函数的性质，平行线分线段成比例等知识点的理解和掌握，解题的关键是根据这些性质正确地进行计算． 21．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数与的图象上．若，且，则k的值为 ． 【答案】/0.4 【分析】作轴于点M，轴于点E，轴于点F，根据题意，易证，，设，利用勾股定理、相似三角形和全等三角形的性质表示出点D的坐标，从而求出a，进而求出点C的坐标，根据反比例函数的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于点M，轴于点E，轴于点F， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， ，即， 由勾股定理有，即， ， ， ， ，， ， ， 点D在函数的图象上， ， （舍负）， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等，解题关键是灵活运用相关知识数形结合解决问题． 22．（2024·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，根据是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，得到点在反比例函数时有最大值，当点在线段时有最小值，即可得解． 【详解】解：如图，过点A作轴，轴，垂足分别为M，N， 则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，绕点逆时针旋转得到，则，， 设直线的表达式为：，代入， 得：， 解得：， 直线为， 设经过点的双曲线为：， 代入得：， ∴经过点的双曲线为， 是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． 23．（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且． (1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求该函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先因为，所以，，，再代入，得出，再比较与的大小关系，即可作答． （2）先表示，再结合，，解方程组，即，得出，再代入，即可作答． 【详解】（1）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上，且 ∴，， 则 则， ∵ ∴ （2）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上 ∴ ∵，， ∴ 整理得， ∴ 解得，（舍去） 经检验：是原分式方程的解， ∴． ∴ 24．（2024·江苏常州·二模）如图，，，反比例函数的图像过点，反比例函数经过点． (1)求和的值． (2)过点作轴，与双曲线交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，相似三角形的性质与判定，待定系数法求反比例函数解析式 （1）根据条件可得，利用一线三垂在得到，利用相似比求出点坐标即可解得值； （2）根据轴可得点的坐标为，，可得，依据代入数据计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象过点， ，即， ，， 如图所示，作轴，轴，垂足分别为， ，， ， ， ，， 点的坐标为， 将点坐标代入得， ． （2）轴，， 将代入中，得 ， 点的坐标为， 所在的直线为，当时，即， ， 25．（2024·江苏南京·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，． (1)求a、k的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据数形相结合的思想结合图形即可得解． 【详解】（1）解：∵点，都在反比例函数图象上， ∴， 整理得：， ∵， ∴，解得． ∵在直线的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴． ∴． （2）解：由（1）可知：，， 直线与x轴的交点坐标是， 根据函数图象可知，时，x的取值范围为：或． 26．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据题意可得，，结合，可得关于的一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴， 将点，代入一次函数， 可得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）设，则， ∵轴， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴， 整理可得 解得或， ∴点的坐标为或． 27．（2024·江苏盐城·二模）定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”． (1)如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ； (2)已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）； (3)已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数 的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4． ①求的值； ②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由； (4)已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)②③ (3)①；② (4) 【分析】（1）根据中心对称的性质，得点为点和点连线的中点，即可得到； （2）由（1）得当时，函数和互为“中心对称函数”，分别将①，②，③组内的两函数相加，若结果为，则互为“中心对称函数”，由此即可得出答案； （3）先求出函数的“中心对称函数”是，由，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点，可设，，再利用割补法求三角形面积得，进而得，再将的代数式代入点坐标，根据反比例函数的值相等，得，求解即可得点的坐标，进而得的值，然后求出的“中心对称函数”为，根据不等式公式可得当时，，当时，在第一象限内的值最小，求解即可得该函数在第一象限内最低点坐标； （4）由“中心对称函数”的定义得的“中心对称函数”为，根据，都在的图象上，可得，，再根据，将，的代数式代入不等式，得，结合，将不等式化简变形得，再根据点，的纵坐标相等，得抛物线的对称轴为，即，即可得到的取值范围为，然后令，化为顶点式为，根据二次函数的增减性即可得的取值范围． 【详解】（1）解：点和点关于点成中心对称， ， 故答案为：． （2）解：①令，， ， 和不互为“中心对称函数”， ②令， ， 和互为“中心对称函数”， ③令和， ， 和互为“中心对称函数”， 故答案为：②③． （3）解：函数的“中心对称函数”是， 如图，令函数与轴，轴的交点分别为，， 令，则，故， 令，则，得，故， 点，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点， 设，， ，的面积为4， ， ， ， ， 解得，， ， ， ， 的“中心对称函数”为， 当时，， ，即时，的值最小， 的函数图象在第一象限内最低点坐标为． （4）解：的“中心对称函数”为， ，都在的图象上， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点，的纵坐标相等， 抛物线的对称轴为，即， ， ， ， 令， 当时，随的增大而减小， 时，，即， 恒成立， ． 【点睛】本题综合考查了中心对称的性质，二次函数的图象与性质，反比例函数与一次函数交点问题，不等式的求解，解题关键是读懂题意，理解“中心对称函数”的定义，利用中心对称的性质找到的等量关系，利用割补法求三角形面积，确定反比例函数图象与直线的交点坐标，及待定系数法求函数解析式，掌握不等式的性质，利用二次函数的对称性求对称轴及利用二次函数的增减性求最值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$