专题03 平面直角坐标系和一次函数-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题03 平面直角坐标系和一次函数 题型一 平面直角坐标系 1．（2024·江苏常州·二模）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2024·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 ．    4．（2024·江苏无锡·二模）如图，平面直角坐标系中，点，，，，连接、．将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为 ． 5．（2024·江苏宿迁·二模）学习感知： 在坐标平面内，如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴，且有一条对角线恰好平分另一条对角线，则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“筝状四边形”． 初步运用： 填空： （1）已知筝状四边形的三个顶点坐标分别为，则顶点D的坐标为 ； （2）如果筝状四边形三个顶点坐标分别为，则顶点D纵坐标y的取值范围是 ． 延伸拓展： 已知面积为30的筝状四边形相邻两个顶点的坐标分别为，其中一条对角线长为6，M、N分别是的中点，P为对角线上一动点，连接，试求周长的最小值． 题型二 一次函数 6．（2024·江苏扬州·二模）一次函数的图象不经过(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2024·江苏徐州·二模）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 （     ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏泰州·二模）下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏徐州·二模）若一次函数与交于A点，则A点的坐标为 ． 10．（2024·江苏苏州·二模）如图，已知点是直线上一点，点C是x轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点P，若的最小值为，则点B的坐标为 ． 11．（2024·江苏泰州·二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 cm3． 12．（2024·江苏泰州·二模）若点在直线上，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为 ． 13．（2024·江苏盐城·二模）如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是 ． 14．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线上一动点，连接．将线段绕点O顺时针旋转得线段，以，为一组邻边构造平行四边形．连接，则线段的最小值为 ． 15．（2024·江苏南京·二模）某通信运营商提供，两种流量套餐，收费方案如下：套餐按实际使用的流量收费，每收费元；套餐每月基本费用是元，可以免费使用的流量，超出部分的流量每收费元．，两种套餐每月收费（元）和每月使用流量（）的部分函数图像分别如图所示． (1)　　，　　； (2)选择哪种套餐更划算？请说明理由． 16．（2024·江苏南京·二模）甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处，图①、②分别表示甲跑步的路程（单位：），甲乙两人之间的距离（单位：）与甲出发的时间（单位：）的函数关系，若乙先出发． (1)甲的跑步速度是______，乙的跑步速度是______； (2)求甲到达B处所用的时间； (3)直接写出甲、乙两人之间的距离不超过的总时间． 17．（2024·江苏无锡·二模）某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． (1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？ (2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 18．（2024·江苏南京·二模）今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元． (1)求甲、乙两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用． 19．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： (1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 20．（2020·江苏盐城·二模）甲、乙两名工人分别加工个同种零件，甲先加工一段时间，由于机器故障进行维修后继续按原来的工作效率进行加工，当甲加工小时后，乙开始加工，乙的工作效率是甲的工作效率的倍，下图分别表示甲、乙加工零件的数量(个)与甲工作时间(时)的函数图象． 甲的工作效率为 个/时，维修机器用了 小/时；乙的工作效率是 个/时； 乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同，并求此时乙加工零件的个数； 若乙比甲早小时完成任务，求的值． 21．（2024·江苏南京·二模）今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元． (1)求甲、乙两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用． 22．（2024·江苏常州·二模）定义：若实数满足（为常数，），则在平面直角坐标系中，称点为的“值友好点”．例如，点是点的“1值友好点”． (1)在，，，四点中，点______是点的“值友好点”． (2)设点是点的“值友好点”． ①当时，求的值． ②若点坐标为，当时，请直接写出点的坐标以及的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面直角坐标系和一次函数 题型一 平面直角坐标系 1．（2024·江苏常州·二模）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择． 【详解】解：汽车经历：加速−匀速−减速到站−加速−匀速， 加速：速度增加， 匀速：速度保持不变， 减速：速度下降， 到站：速度为0. 观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合. 故选B. 2．（2024·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作使得，，连接，则长的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】过点作，交过点平行于轴的直线于点，证明，得到，进而求出的长，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出，根据，进行求解即可． 【详解】解：过点作，交过点平行于轴的直线于点， 则：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∵， ∴长的最大值为8； 故选C． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 3．（2024·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 ．    【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F，则四边形是矩形，得到，勾股定理得到，则，得到，在中，由勾股定理得到，求出，则，即可得到点B的坐标． 【详解】解：过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F，    ∵点A的坐标是 ∴， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∵顶点B在第一象限的角平分线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（不合题意舍去） ∴， ∴， ∴点 B的坐标为， 故答案为： 4．（2024·江苏无锡·二模）如图，平面直角坐标系中，点，，，，连接、．将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．根据图形旋转的性质即可解决问题． 【详解】解：因为线段由线段旋转得到，且点与点重合，点与点重合， 所以的垂直平分线和的垂直平分线都经过旋转中心． 如图所示，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 5．（2024·江苏宿迁·二模）学习感知： 在坐标平面内，如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴，且有一条对角线恰好平分另一条对角线，则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“筝状四边形”． 初步运用： 填空： （1）已知筝状四边形的三个顶点坐标分别为，则顶点D的坐标为 ； （2）如果筝状四边形三个顶点坐标分别为，则顶点D纵坐标y的取值范围是 ． 延伸拓展： 已知面积为30的筝状四边形相邻两个顶点的坐标分别为，其中一条对角线长为6，M、N分别是的中点，P为对角线上一动点，连接，试求周长的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据“筝状四边形”的定义即可求出点D坐标． （2）画出图形，即可判定点D的纵坐标y的取值范围． 延伸拓展：分两种情形讨论①当点P在对角线上时，作点M关于的对称点K，连接交于点P，此时的周长最 小．②当点P在对角线上时，的周长的最小值不存在． 【详解】解：（1）如图1中，    由题意垂直平分线段线段， B、D关于直线对称， ∵， ， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，    由题意可知，垂直平分线段， ∵四边形是凸四边形，， ，即， ∴顶点D纵坐标y的取值范围：， 故答案为：； 延伸拓展：如图3中，    ①当点P在对角线上时，作点M关于的对称点K，连接交于点P， 此时的周长最小． ， 对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 的周长的最小值为； ②当M，N分别是的中点，为对角线上一动点， 同法可求周长的最小值为． ∴的周长的最小值问题或． 【点睛】本题考查三角形综合题、轴对称-最短问题、“筝状四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用轴对称解 决最短问题，属于中考创新题目． 题型二 一次函数 6．（2024·江苏扬州·二模）一次函数的图象不经过(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数和判断即可． 【详解】解：中，， 图象一定经过一、三象限， 又， 图象一定经过一、三、四象限， 不经过第二象限． 故选：B． 7．（2024·江苏徐州·二模）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．根据函数图象知：一次函数过点；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出、的关系式；然后将、的关系式代入中进行求解 【详解】解：一次函数经过点，函数值随的增大而减小， ； 令，则， ； 解关于的不等式，移项得：； 两边同时除以， ， ． 故选：C 8．（2024·江苏泰州·二模）下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数，一次函数和反比例函数的性质，根据一次函数的性质解答即可，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、函数中，时，随的增大而增大，不符合题意； B、函数中，时，随的增大而增大，不符合题意； C、函数中，只是在每一个象限中，随的增大而减小，不符合题意； D、函数中， 随的增大而减小，符合题意． 故选：D． 9．（2024·江苏徐州·二模）若一次函数与交于A点，则A点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数与交于A点，得出，解出，再代入，求出的值，即可作答． 【详解】解：∵一次函数与交于A点， ∴， ∴， 把代入， ∴， 则A点的坐标为， 故答案为：． 10．（2024·江苏苏州·二模）如图，已知点是直线上一点，点C是x轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点P，若的最小值为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】直线与坐标轴夹角为，在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点，此时点与点关于直线成轴对称，，的值最小．根据已知求得点的坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为，根据两点间距离公式进行求解即可． 【详解】解：在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点， 直线是两坐标轴夹角的角平分线， 点与点关于直线成轴对称， ， ， ∴当最小时，最小， ∵两点间线段最短， ∴当、P、B在同一直线上时，最小，即最小，且最小值为， ∴此时， 将点代入， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ∴点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为， ∴， 解得：（舍去），， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，轴对称最短路径，两点间距离公式，解题的关键是：根据一次函数图象上点的坐标表示出线段长． 11．（2024·江苏泰州·二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 cm3． 【答案】80 【分析】本题考查了一次函数的应用，设，将，代入解析式求得，进而可得烧杯的质量为140g，72g该种液体和烧杯的总质量为，求出的值即可． 【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量与液体的体积为一次函数关系， 设， 将，代入解析式得：， 解得：， ， 当时，，即烧杯的质量为 当该种液体时，时，即， 解得：． 故答案为：． 12．（2024·江苏泰州·二模）若点在直线上，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点为象限内的符号，应先判断出点的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断具体坐标，熟知象限内的符号特征是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得直线经过第一、二、四象限，， ①当在第一象限时， 可得，解得， ，符合前提条件； ②当在第二象限时， 可得，解得，不符合前提条件； ③当在第四象限时， 可得，解得， ，符合前提条件， 故a的值为或， 故答案为：或． 13．（2024·江苏盐城·二模）如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律．根据菱形的性质，一次函数的性质，求出，，，推出的纵坐标为，即可． 【详解】解：如图， 当，，则， 当，，则， ∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵菱形， ∴平分，， ∴，， 当，，则， 同理可求，， 当，，则， 同理可求，，…… ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是， 故答案为：． 14．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线上一动点，连接．将线段绕点O顺时针旋转得线段，以，为一组邻边构造平行四边形．连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】“瓜豆模型”主要用于解决动点问题，在这个模型中，有两个动点，一个动点（母点）的运动轨迹是确定的，另一个动点（子点）的运动轨迹与母点的运动轨迹相关，且子点的运动轨迹是由母点的运动轨迹所确定的．本题母点为点P，在直线上移动，OP绕点O顺时针旋转90°得线段，所以点Q运动轨迹也是一条直线．然后根据A，B两点确定点Q运动轨迹的两点可得出该解析式，点H坐标．最后再根据勾股定理和一元二次方程的知识点求出最小值即可． 【详解】始终为， 当点P移动到B点的位置时，点Q坐标为， 当点P移动到A点的位置时，点Q坐标为， 设点M坐标为，设点N坐标为， 连接，设该直线的解析式为：，代入点M、点N， 得：，解得， ． 设， 由平行四边形的性质可得：， 当时，的值最小， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式、勾股定理解直角三角形、一元二次方程、平行四边形的性质以及平面直角坐标系，掌握“瓜豆模型”找到点Q的运动轨迹是一条直线是解题关键． 15．（2024·江苏南京·二模）某通信运营商提供，两种流量套餐，收费方案如下：套餐按实际使用的流量收费，每收费元；套餐每月基本费用是元，可以免费使用的流量，超出部分的流量每收费元．，两种套餐每月收费（元）和每月使用流量（）的部分函数图像分别如图所示． (1)　　，　　； (2)选择哪种套餐更划算？请说明理由． 【答案】(1)； (2)当或时，选套餐划算；当或时，、套餐一样划算；当时，选套餐划算．理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据“单价＝总价÷数量”，结合套餐收费方案计算即可求出，结合套餐收费方案计算即可求出； （2）先根据，两种流量套餐的收费方案列出函数关系式，再分三种情况讨论求解即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：∵套餐按实际使用的流量收费，当使用为时，费用为元， ∴（元）， ∵套餐每月基本费用是元，可以免费使用的流量，当使用为时，费用为元， ∴（元） 故答案为：；； （2）根据，两种流量套餐的收费方案可知： ， ，即， 当时，解得：， 当时，解得：， ∴当或时，，选套餐划算； 当或时，，、套餐一样划算； 当时，，选套餐划算； ∴当或时，选套餐划算；当或时，、套餐一样划算；当时，选套餐划算． 16．（2024·江苏南京·二模）甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处，图①、②分别表示甲跑步的路程（单位：），甲乙两人之间的距离（单位：）与甲出发的时间（单位：）的函数关系，若乙先出发． (1)甲的跑步速度是______，乙的跑步速度是______； (2)求甲到达B处所用的时间； (3)直接写出甲、乙两人之间的距离不超过的总时间． 【答案】(1)150，100 (2)甲从A处到达B处用了 (3)． 【分析】（1）根据图①甲的跑步速度是，设乙的跑步速度是，根据图②得4秒时，两人间距离是0即甲追上了乙，由此得方程，解方程即可； （2）根据图②从第一次追上到目的地，乙行驶了，乙独立行驶全程共用时，计算全程长再除以甲的速度即可得解． （3）分乙出发甲没出发，都出发追上前与追上后，以及甲到乙没到这几种情况结合图形分别求解即可． 本题考查了函数图象信息题，待定系数法，熟练掌握图象信息的搜集与处理是解题的关键． 【详解】（1）根据图①甲的跑步速度是， 设乙的跑步速度是，根据图②得4秒时，两人间距离是0即甲追上了乙， 由此得， 解得， 故乙的跑步速度是， 故答案为：150，100． （2）根据图②从第一次追上到目的地，乙行驶了，乙独立行驶全程共用时， 故全程长， 甲行驶全程用时间为：． （3）乙先行，乙在甲前面， 根据图②得到，乙行驶了， 设解析式为，确定解析式为，得到，解得； 根据甲走完全程，得甲追上乙以后，再行驶两人距离最大，最大为， 设此段的解析式为，结合题意，得， 得， 故， 当， 解得； 此时，持续时间为 乙最后行驶，乙在甲后面， 故总时间为：． 17．（2024·江苏无锡·二模）某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． (1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？ (2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 【答案】(1)A型产品生产了200件，B型产品生产了300件 (2)利润的最大值是72000元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点， （1）根据该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和题意，可以写出y与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以求得最大利润； 解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 【详解】（1）设A型产品生产了m件，则B型产品生产了件， 由题意得：， 解之得：， ， ∴A型产品生产了200件，B型产品生产了300件； （2）由题意得： ， 随若x的增大而增大， 当时，y有最大值72000， 答：利润的最大值是72000元． 18．（2024·江苏南京·二模）今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元． (1)求甲、乙两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用． 【答案】(1)甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克． (2)甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式得应用； （1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，根据题意列二元一次方程组即可； （2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质求解即可 【详解】（1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，由题意可得： 解得 答：甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克． （2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元． 由题意得：． ∴ w随m的增大而增大． 又， ∴． ∴ 当时，w有最小值为（元）． 答：甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元． 19．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： (1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 【答案】(1)3000元 (2)甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出相应的方程和不等式． （1）先将代入，得出，求出乙种蔬菜的种植面积，然后求出乙种蔬菜的种植成本即可； （2）根据甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元，得出，求出x的值，根据甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩，求出，得出结果即可． 【详解】（1）解：令， ∴， 解得：， ∴乙种蔬菜种植面积为（亩）， （元） 答：乙种蔬菜总种植成本为3000元． （2）解：由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴，此时乙种蔬菜种植（亩） 答：甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩． 20．（2020·江苏盐城·二模）甲、乙两名工人分别加工个同种零件，甲先加工一段时间，由于机器故障进行维修后继续按原来的工作效率进行加工，当甲加工小时后，乙开始加工，乙的工作效率是甲的工作效率的倍，下图分别表示甲、乙加工零件的数量(个)与甲工作时间(时)的函数图象． 甲的工作效率为 个/时，维修机器用了 小/时；乙的工作效率是 个/时； 乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同，并求此时乙加工零件的个数； 若乙比甲早小时完成任务，求的值． 【答案】（1）20；0.5； 60；（2）0.5，乙加工30个零件；（3）a的值为60． 【分析】（1）由图像可知甲0.5小时加工了10个零件，利用工作效率=工作总量÷工作时间即可确定甲的工作效率，由图像直接读出维修机器用的时间即可；根据乙的工作效率是甲的工作效率的倍即可求得乙的工作效率； （2）利用待定系数法求得乙的函数解析式以及甲在大于1小时时的函数解析式，然后联立两个函数的解析式，求出它们的交点坐标的横坐标即可； （3）设点E（x1，a），点C（x2，a），分别代入两个函数的解析式，再根据x2-x1=1列方程求解即可． 【详解】解：（1）甲的工作效率是10 0.5=20（个时），维修机器用的时间为：1-0.5=0.5（小时）；由乙的工作效率是甲的工作效率的3倍、则乙的工作效率为60个时； 故答案为20，0.5，60； （2）如图，设直线BC对应的函数关系式为y=20x+b1， 将B（1，10）代入y=20x+b1，解得b1=-10 则直线BC所对应函数关系式为y=20x-10 设直线DE的关系式为y=60x+b2，把点D（1.5，0）代入得b2=-90. 则直线DE的关系式为y=60x-90 有题意得： 解得 2-1.5=0.5 所以乙加工0.5小时与甲加工的零件数量相同，且此时乙加工零件30个； （3）设点E（x1，a），点C（x2，a） 则有a=60x1-90，可得： a=20x2-10，可得： 有题意得：x2-x1=1，即，解得a=60 所以，若乙比甲早小时完成任务，则a的值为60． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求函数的解析式、一次函数的应用、一元一次方程的应用、函数的图象的识读以及数形结合思想，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 21．（2024·江苏南京·二模）今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元． (1)求甲、乙两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用． 【答案】(1)甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克． (2)甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式得应用； （1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，根据题意列二元一次方程组即可； （2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质求解即可 【详解】（1）设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，由题意可得： 解得 答：甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克． （2）设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元． 由题意得：． ∴ w随m的增大而增大． 又， ∴． ∴ 当时，w有最小值为（元）． 答：甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元． 22．（2024·江苏常州·二模）定义：若实数满足（为常数，），则在平面直角坐标系中，称点为的“值友好点”．例如，点是点的“1值友好点”． (1)在，，，四点中，点______是点的“值友好点”． (2)设点是点的“值友好点”． ①当时，求的值． ②若点坐标为，当时，请直接写出点的坐标以及的值． 【答案】(1) (2)①；②时，，时， 【分析】（1）根据“k值友好点”的定义代入验证即可； （2）①先求得，进而根据得出，根据点是点的“值友好点”．得出，进而根据，建立方程，解方程，即可求解． ②设的中点为，则即    ，作轴，轴，交于点，则，根据圆周角定理可得，进而根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：若是的“k值友好点”，则，不合题意； 若是的“k值友好点”，则，不合题意； 若是的“k值友好点”，则，不合题意， 若是的“k值友好点”，则，符合题意， 故答案为：； （2）①∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是点的“值友好点”． ∴ ∴ ∴ 即 解得： ②∵， 设的中点为，则即     如图所示，作轴，轴，交于点，则 ∴是直角三角形， ∴，且， 以为圆心为半径作圆， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 同理可得当以为圆心时，， 综上所述，时，，时，． 【点睛】本题考查了坐标与图形，新定义，勾股定理，圆周角定理，理解新定义是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$