专题02 方程（组）与不等式（组）（五大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题02 方程（组）与不等式（组） 题型一 一元一次方程 1．（2024·江苏连云港·二模）若是关于x的方程的解，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．（2024·江苏连云港·二模）某市出租车收费标准为：起步价元，后每千米元．某人坐出租车后付款元，则此人乘车的路程为 （     ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏盐城·二模）在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为41．这3个数的位置可能是 （     ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·二模）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数物价各几何?意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少?若设人数为x人，则可列方程为 ． 题型二 二元一次方程组 5．（2024·江苏无锡·二模）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏无锡·二模）若x，y满足方程组，则 ． 7．（2024·江苏扬州·二模）关于x，y的方程组的解满足，则 ． 8．（2024·江苏南京·二模）解方程组：． 9．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如． (1)求的值； (2)若，且，求+的值． 题型三 一元二次方程 10．（2024·江苏南通·二模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 （    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 11．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 12．（2024·江苏宿迁·二模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 13．（2024·江苏苏州·二模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 14．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 15．（2024·江苏无锡·二模）直线经过点且平行于轴，二次函数的图象与直线没有公共点，那么应满足条件： ． 16．（2024·江苏徐州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 17．（2024·江苏泰州·二模）随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？ 题型四 分式方程 18．（2024·江苏无锡·二模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 20．（2024·江苏泰州·二模）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A，B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少，若两人各收割6亩水稻，则乙比甲多用0.4小时完成任务．求甲、乙两人分别操控A，B两种型号的收割机每小时各能收割多少亩水稻？ 21．（2024·江苏南通·二模）为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 效率（单位：千克/时） m 每台价格（单位：万元） 4 6 已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等． (1)求m的值； (2)若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 22．（2024·江苏扬州·二模）某商场从生产厂家购进、两种玩具，再进行销售，进价和售价如下表所示： 进价元件 售价元件 已知该商场用元从生产厂家购进玩具的数量与用元购进玩具的数量相同． (1)求的值； (2)该商场计划同时购进、两种玩具共件，其中玩具最多购进件，最少购进件．实际进货时，由于生产厂家做优惠活动，所以每件玩具的进价下调元．若该商场保持玩具的售价不变且所有玩具都能售出，求该商场销售这些玩具能获得的最大利润． 23．（2024·江苏连云港·二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 题型五 一元一次不等式（组） 24．（2024·江苏南京·二模）某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是（　　） A． B． C． D． 25．（2024·江苏泰州·二模）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数为 （     ） A．6 B．7 C．8 D．9 26．（2024·江苏南通·二模）若关于的不等式组的解集中至少有1个整数解，则整数a的最小值为 （     ） A． B．0 C．1 D．2 27．（2024·江苏苏州·二模）解不等式组：． 28．（2024·江苏徐州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组： 29．（2024·江苏扬州·二模）解不等式组：，并判断、这两个数是否为该不等式组的解？ 30．（2024·江苏常州·二模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程（组）与不等式（组） 题型一 一元一次方程 1．（2024·江苏连云港·二模）若是关于x的方程的解，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解和解一元一次方程等知识点 ，把方程的解代入方程，可得关于m的一元一次方程，解方程即可得到答案，熟练掌握方程的解的定义和解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】把代入，得： ， 解得， 故选：A． 2．（2024·江苏连云港·二模）某市出租车收费标准为：起步价元，后每千米元．某人坐出租车后付款元，则此人乘车的路程为 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．根据起步价元，千米后每千米收取元，乘坐该市出租车后付款元，直接列出方程即可． 【详解】解：设小明乘坐了千米， 由题意可知： ， 解得：， 故选：D． 3．（2024·江苏盐城·二模）在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为41．这3个数的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设最小的数为，则其他3个数分别为，根据不同位置列方程解出的值，由为正整数即可判断； 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握月历中数字变化的规律． 【详解】设最小的数为 (为正整数)，则其他3个数分别为， A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得不符合题意； D、，解得，不符合题意；     故选：A． 4．（2024·江苏无锡·二模）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数物价各几何?意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少?若设人数为x人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，每人出八钱，会多三钱得到总钱数为，每人出七钱，又差四钱得到总钱数为，根据总钱数相等建立方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 题型二 二元一次方程组 5．（2024·江苏无锡·二模）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有醇酒瓶，薄酒瓶，根据题意可列方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 【详解】设有醇酒瓶，薄酒瓶， 根据题意得：， 故选：． 6．（2024·江苏无锡·二模）若x，y满足方程组，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程进行相加，即可得出结果． 【详解】解：， ，得：； ∴； 故答案为：1． 7．（2024·江苏扬州·二模）关于x，y的方程组的解满足，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．让方程组中的两个方程直接相减得到，于是得出，结合已知，即可得出的值． 【详解】解：， ①②，得， ， ， ， ， 故答案为：3． 8．（2024·江苏南京·二模）解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法，代入消元法是解题的关键．利用加减消元法解方程组即可得答案． 【详解】解： 将，得，③ 将，得，④ ，得，， 将带入①，得， ∴方程组得解为． 9．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如． (1)求的值； (2)若，且，求+的值． 【答案】(1)1； (2) ． 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，，        ， 则有方程组，        解得，           ∴． 题型三 一元二次方程 10．（2024·江苏南通·二模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 （    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键． 把代入原方程，可得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 11．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先把方程的一个根代入方程中，得到关于的一元一次方程，再求出的值即可． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得， 故答案为：． 12．（2024·江苏宿迁·二模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意：，则把原式展开最后整体代入求值即可． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ； 故答案为：． 13．（2024·江苏苏州·二模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解的意义，一元二次方程根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入化简即可解答． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ，即， ∴． 故答案为： 14．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：， ∴关于y的方程的两根为， ∴； 故选A． 15．（2024·江苏无锡·二模）直线经过点且平行于轴，二次函数的图象与直线没有公共点，那么应满足条件： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质和解不等式，由，再根据题意可得，再解不等式即可，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由， ∵二次函数的图象与直线没有公共点， ∴，解得：， 故答案为：． 16．（2024·江苏徐州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查求一元二次方程，求不等式组的解集： （1）因式分解法解方程即可； （2）先求出每一个不等式，找到它们的公共部分即为不等式组的解． 【详解】解：（1）， ∴， ∴； （2）， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 17．（2024·江苏泰州·二模）随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该市充电桩数量的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】设该市充电桩数量的年平均增长率为，可列方程： 解得，（舍去） 答：该市充电桩数量的年平均增长率为． 题型四 分式方程 18．（2024·江苏无锡·二模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将分式方程化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤即可解答．本题考查了解分式方程一般步骤，学会将分式方程化为一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， ， 去括号，得， ， 移项，得， ， 合并同类项，得， ， 系数化为，得， ， 检验：将代入， ∴是原分式方程的解， 故选． 19．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识， 首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可． 【详解】∵，是一对“互助数” ∴ 去分母得， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得， ∴ ∴或 ∴或 ∴解得或 但当时，，，不符合题意， 所以或， ∴p的值可以为． 故选：A． 20．（2024·江苏泰州·二模）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A，B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少，若两人各收割6亩水稻，则乙比甲多用0.4小时完成任务．求甲、乙两人分别操控A，B两种型号的收割机每小时各能收割多少亩水稻？ 【答案】甲操控型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控型号收割机每小时收割6亩水稻 【分析】本题考查了分式方程的应用以，设甲操控型号收割机每小时收割亩水稻，则乙操控型号收割机每小时收割亩水稻，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入中即可求出乙操控型号收割机每小时收割水稻的亩数，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程． 【详解】解：设甲操控型号收割机每小时收割亩水稻，则乙操控型号收割机每小时收割亩水稻， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲操控型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控型号收割机每小时收割6亩水稻． 21．（2024·江苏南通·二模）为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 效率（单位：千克/时） m 每台价格（单位：万元） 4 6 已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等． (1)求m的值； (2)若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)90 (2)当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元 【分析】本题考查分式方程及一次函数的应用，掌握分式方程的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据“搬运时间＝搬运量÷搬运效率“及“甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等”列方程并求解即可； （2）设总费用为w万元，购买甲型号的机器人x台，则乙型号的机器人为台，根据“每小时甲种型号机器人搬运量+每小时乙种型号机器人搬运量”列不等式并求出x的解集；设购买机器人的总费用为W元，写出W关于x的函数表达式，根据它的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W的值最小，求出其最小值及此时的值即可． 【详解】（1）由题意列方程，得． 解得． 检验：当时，． 所以原分式方程的解为． 答：m的值为90； （2）设总费用为w万元，购买甲型号的机器人x台，则乙型号的机器人为台， 则． ∵， ∴． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w取得最小值，最小值为48万元． ∴当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元． 22．（2024·江苏扬州·二模）某商场从生产厂家购进、两种玩具，再进行销售，进价和售价如下表所示： 进价元件 售价元件 已知该商场用元从生产厂家购进玩具的数量与用元购进玩具的数量相同． (1)求的值； (2)该商场计划同时购进、两种玩具共件，其中玩具最多购进件，最少购进件．实际进货时，由于生产厂家做优惠活动，所以每件玩具的进价下调元．若该商场保持玩具的售价不变且所有玩具都能售出，求该商场销售这些玩具能获得的最大利润． 【答案】(1) (2)该商场销售这些玩具能获得的最大利润为元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，得出需要的函数关系式． （1）利用数量总价单价，结合该商场用元从生产厂家购进玩具的数量与用元购进玩具的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设购进件玩具，该商场销售完这些玩具获得的总利润为元，则购进件玩具，利用总利润每件玩具的销售利润购进玩具的数量每件玩具的销售利润购进玩具的数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：的值为； （2）解：设购进件玩具数量，该商场销售完这些玩具获得的总利润为元，则购进件玩具， 根据题意得：， 即， ， 随的增大而减小， 又， 当时，取得最大值，最大值（元）． 答：该商场销售这些玩具能获得的最大利润为元． 23．（2024·江苏连云港·二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】(1)甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元 (2)购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键． 【详解】（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为10万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元． 题型五 一元一次不等式（组） 24．（2024·江苏南京·二模）某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键．小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据得分不低于70分，列出不等式即可． 【详解】解：小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据题意得： ， 故选：C． 25．（2024·江苏泰州·二模）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：B． 26．（2024·江苏南通·二模）若关于的不等式组的解集中至少有1个整数解，则整数a的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 解不等式组可得，，由关于的不等式组的解集中至少有1个整数解，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵关于的不等式组的解集中至少有1个整数解， ∴， 解得，， ∴整数a的最小值为1， 故选：C． 27．（2024·江苏苏州·二模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 28．（2024·江苏徐州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了解分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）方程两边同乘化为整式方程后求解，检验整式方程的根是否使得为零，即可得解； （2）分别求解两个不等式，然后再求公共解集即可； 【详解】（1）， ， ， ， 检验，， 故原方程的解为： （2） 由得， ， ， 解得， 由得， ， ， 解得， 故原不等式的解集为：． 29．（2024·江苏扬州·二模）解不等式组：，并判断、这两个数是否为该不等式组的解？ 【答案】不等式组的解集为：；、是该不等式组的解 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再进行判断即可．关键是求出不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得：； 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 、是该不等式组的解． 30．（2024·江苏常州·二模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子； (2)有商人种购买方案，①购买头牛，只羊；②购买头牛，只羊；③购买头牛，只羊． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买头牛，则购买 只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 由题意得：， 解得：， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； （2）设购买头牛，则购买 只羊， 依题意得：， 解得：， 为整数， ，，， 有商人种购买方案： ①购买头牛，只羊； ②购买头牛，只羊； ③购买头牛，只羊． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$