期末复习（易错题60题35个考点）-2023-2024学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

期末复习（易错题60题35个考点） 一．函数的最值及其几何意义（共1小题） 1．已知向量、满足||＝1，||＝2，则|+|+|﹣|的最小值是 　4　，最大值是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得： |+|＝， |﹣|＝， 令x＝，y＝， 方法一、x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图， 令z＝x+y，则y＝﹣x+z， 则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为zmin＝1+3＝3+1＝4， 当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大， 由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的倍， 也就是圆弧MN所在圆的半径的倍， 所以zmax＝×＝． 综上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是． 方法二、由 z＝x+y＝+（0≤α≤π）， 可得z2＝10+2， 由0≤cos2α≤1，可得z2的最小值为16，即z的最小值为4， z2的最大值为20，即z的最大值为2． 故答案为：4、． 二．向量的概念与向量的模（共1小题） 2．有下列命题： ①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同； ②若，则； ③若，则四边形ABCD是平行四边形； ④若，，则； ⑤若，，则； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中，假命题的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若，则、不一定相同，∴②错误； 对于③，若，、不一定相等， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，若，， 当＝时，不一定成立，∴⑤错误； 对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误； 综上，假命题是②③⑤⑥，共4个． 故选：C． 三．向量相等与共线（共1小题） 3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量＝（a，b）与＝（cosA，sinB）平行． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a＝，b＝2，求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为m∥n，所以asin B﹣bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B﹣sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，从而tan A＝， 由于0＜A＜π，所以A＝．…﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccos A，及a＝，b＝2，A＝， 得7＝4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣3＝0， 因为c＞0，所以c＝3． 故△ABC的面积为bcsin A＝．…﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…（12分） 四．平面向量数量积的性质及其运算（共8小题） 4．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M、N满足，，则＝（　　） A．20 B．15 C．9 D．6 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，， ∴根据图形可得：＝+＝， ＝＝， ∴＝， ∵＝•（）＝2﹣， 2＝22， ＝22， ||＝6，||＝4， ∴＝22＝12﹣3＝9 故选：C． 5．在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则的值为（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0 【答案】C 【解答】解：解法Ⅰ，由题意，＝2，＝2， ∴＝＝2，∴BC∥MN，且BC＝3MN， 又MN2＝OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7， ∴MN＝； ∴BC＝3， ∴cos∠OMN＝＝＝， ∴•＝||×||cos（π﹣∠OMN）＝3×1×（﹣）＝﹣6． 解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形， 由OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2， 知＝﹣＝3﹣3＝﹣3+3， ∴＝（﹣3+3）• ＝﹣3+3• ＝﹣3×12+3×2×1×cos120° ＝﹣6． 故选：C． 6．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若＝2，＝λ﹣（λ∈R），且＝﹣4，则λ的值为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示， △ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2， ＝2， ∴＝+ ＝+ ＝+（﹣） ＝+， 又＝λ﹣（λ∈R）， ∴＝（+）•（λ﹣） ＝（λ﹣）•﹣+λ ＝（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22＝﹣4， ∴λ＝1， 解得λ＝． 故答案为：． 7．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则•的最小值为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意，得到AD＝BC＝CD＝1，所以•＝（）•（）＝（）•（） ＝＝2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120° ＝1++﹣≥+＝（当且仅当时等号成立）； 故答案为：． 8．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则•的值为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°， ∴BG＝＝，CD＝2﹣1＝1，∠BCD＝120°， ∵＝，＝， ∴•＝（+）•（+）＝（+）•（+） ＝•+•+•+• ＝2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120° ＝1+＝， 故答案为： 9．已知向量，满足，，求： （1）； （2）向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）因为，， 所以． 所以，所以． （2）因为， 所以， 所以cos＜+，﹣＞＝＝＝﹣． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sinx，cosx），x∈（0，）． （1）若⊥，求tanx的值； （2）若与的夹角为，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）若⊥， 则•＝（，﹣）•（sinx，cosx）＝sinx﹣cosx＝0， 即sinx＝cosx sinx＝cosx，即tanx＝1； （2）∵||＝，||＝＝1，•＝（，﹣）•（sinx，cosx）＝sinx﹣cosx， ∴若与的夹角为， 则•＝||•||cos＝， 即sinx﹣cosx＝， 则sin（x﹣）＝， ∵x∈（0，）． ∴x﹣∈（﹣，）． 则x﹣＝ 即x＝+＝． 11．已知||＝，||＝1，与的夹角为45°． （1）求在方向上的投影； （2）求|+2|的值； （3）若向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在方向上的投影为||cos45°＝×＝1； （2）•＝||•||•cos45°＝×1×＝1， |+2|2＝2+4•+42＝2+4+4＝10， 则|+2|＝； （3）向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角， 可得（2﹣λ）•（λ﹣3）＞0，且（2﹣λ）与（λ﹣3）不共线， 即为2λ2+3λ2﹣（6+λ2）•＞0， 即有7λ﹣（6+λ2）＞0，解得1＜λ＜6， 由（2﹣λ）与（λ﹣3）共线，可得2•（﹣3）＝﹣λ•λ， 解得λ＝±， 则实数λ的取值范围为（1，）∪（，6）． 五．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题） 12．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为　5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0） 设P（0，b）（0≤b≤a） 则＝（2，﹣b），＝（1，a﹣b）， ∴＝（5，3a﹣4b） ∴＝≥5． 故答案为5． 13．已知向量＝（sinA，cosA），＝（，﹣1），•＝1，且A为锐角． （1）求角A的大小； （2）求函数f（x）＝cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得•＝sinA﹣cosA＝1，2sin（A﹣）＝1，sin（A﹣）＝， 由A为锐角得A﹣＝，A＝． （2）由（1）知cosA＝，所以f（x）＝cos2x+2sinx＝1﹣2sin2x+2sinx＝﹣2（sinx﹣）2+， 因为x∈R，所以sinx∈[﹣1，1]， 因此，当sinx＝时，f（x）有最大值． 当sinx＝﹣1时，f（x）有最小值﹣3， 所以所求函数f（x）的值域是[﹣3，]． 六．平面向量的基本定理（共2小题） 14．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵＝+，， ∴＝+， ∵＝﹣，， ∴＝﹣ ∴＝+＝＝+（﹣）＝+， ∵， ∴λ＝，μ＝， 则λ+μ＝+＝， 故选：A． 15．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝，若＝x+y，则x＝　　，y＝　﹣　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由已知得到＝＝＝； 由平面向量基本定理，得到x＝，y＝； 故答案为：． 七．平面向量的坐标运算（共1小题） 16．已知点A（0，1），B（3，2），向量＝（﹣4，﹣3），则向量＝（　　） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4） 【答案】A 【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到＝（3，1），向量＝（﹣4，﹣3）， 则向量＝＝（﹣7，﹣4）； 故选：A． 八．平面向量共线（平行）的坐标表示（共1小题） 17．设向量＝（2，4）与向量＝（x，6）共线，则实数x＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解；因为向量＝（2，4）与向量＝（x，6）共线， 所以4x＝2×6，解得x＝3； 故选：B． 九．数量积表示两个向量的夹角（共3小题） 18．已知非零向量满足||＝4||，且⊥（），则的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由已知非零向量满足||＝4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ， 所以•（）＝0，即2＝0，所以cosθ＝，θ∈[0，π]，所以； 故选：C． 19．向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+， 所以＝++2•， 即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞， 解得cos＜，＞＝0， 所以⊥， 又﹣＝2+，﹣＝+2， 所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4， |﹣|＝|﹣|＝＝＝， 所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝． 故选：D． 20．已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：【方法一】由题意，设＝（1，0），＝（0，1）， 则﹣＝（，﹣1）， +λ＝（1，λ）； 又夹角为60°， ∴（﹣）•（+λ）＝﹣λ＝2××cos60°， 即﹣λ＝， 解得λ＝． 【方法二】， 是互相垂直的单位向量， ∴||＝||＝1，且•＝0； 又﹣ 与+λ的夹角为60°， ∴（﹣）•（+λ）＝|﹣|×|+λ|×cos60°， 即+（﹣1）•﹣λ＝××， 化简得﹣λ＝××， 即﹣λ＝， 解得λ＝． 故答案为：． 一十．正弦定理（共3小题） 21．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA＝bcosB，那么△ABC的形状一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB＝acosA， ∴sinBcosB＝sinAcosA ∴sin2A＝sin2B ∴A＝B，或2A+2B＝180°即A+B＝90°， 即有△ABC为等腰或直角三角形． 故选：C． 22．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为（　　） A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150° 【答案】B 【解答】解：由正弦定理可知 ＝， ∴sinB＝＝ ∵B∈（0，180°） ∴∠B＝60°或120° 故选：B． 23．在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝﹣． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC边上的高． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角， ∵cosB＝﹣，∴sinB＝＝＝， 由正弦定理得＝得sinA＝＝＝， 则A＝． （Ⅱ）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB， 即64＝49+c2+2×7×c×， 即c2+2c﹣15＝0， 得（c﹣3）（c+5）＝0， 得c＝3或c＝﹣5（舍）， 则AC边上的高h＝csinA＝3×＝． 一十一．余弦定理（共3小题） 24．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵b＝c， ∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝2b2﹣2b2cosA＝2b2（1﹣cosA）， ∵a2＝2b2（1﹣sinA）， ∴1﹣cosA＝1﹣sinA， 则sinA＝cosA，即tanA＝1， 即A＝， 故选：C． 25．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）． （1）证明：2a2＝b2+c2； （2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析． （2）14． 【解答】（1）证明：△ABC中，sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）， 所以sinC（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sinB（sinCcosA﹣cosCsinA）， 所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC， 即sinA（sinBcosC+cosBsinC）＝2cosAsinBsinC， 所以sinAsin（B+C）＝2cosAsinBsinC， 由正弦定理得a2＝2bccosA， 由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA， 所以2a2＝b2+c2； （2）当a＝5，cosA＝时，b2+c2＝2×52＝50，2bc＝＝＝31， 所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝50+31＝81，解得b+c＝9， 所以△ABC的周长为a+b+c＝5+9＝14． 26．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcosA＝4+9﹣2×2×3×＝7， 因为BC＞0，所以BC＝． （2）由正弦定理可得：，则sinC＝＝＝， ∵AB＜BC，BC＝，AB＝2，角A＝60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2， ∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC＝＝＝． 因此sin2C＝2sinCcosC＝2×＝． 一十二．解三角形（共4小题） 27．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若a＝2，求△ABC面积的最大值． 【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）△ABC中，，即bsin（﹣）＝asinB， 由正弦定理得，sinBcos＝sinAsinB， 因为B∈（0，π），所以sinB≠0， 所以cos＝sinA，即cos＝2sincos， 又因为A∈（0，π），所以∈（0，），cos≠0， 所以sin＝，所以＝，A＝． （2）因为a＝2，A＝， 由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA， 即4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时等号成立， 所以△ABC的面积为S△ABC＝bcsinA≤×4×＝， 即△ABC面积的最大值为． 28．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且＝． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理设 则＝＝＝ 整理求得sin（A+B）＝2sin（B+C） 又A+B+C＝π ∴sinC＝2sinA，即＝2 （Ⅱ）由余弦定理可知cosB＝＝① 由（Ⅰ）可知＝＝2② 再由b＝2，①②联立求得c＝2，a＝1 sinB＝＝ ∴S＝acsinB＝ 29．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsinA＝a（2+cosB）． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为bsinA＝a（2+cosB）． 由正弦定理得． 显然sinA＞0，所以． 所以2sin（B﹣）＝2，∵B∈（0，π）． 所以，∴． （2）依题意，∴ac＝4． 所以时取等号． 又由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2+ac≥3ac＝12．∴． 当且仅当a＝c＝2时取等号． 所以△ABC的周长最小值为． 30．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km． （1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km） （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F， 在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝×8＝4， ∴DF＝； 在Rt△ABF中，BF＝＝3， ∴BD＝DF﹣BF＝4﹣3≈3.9． （2）过点D作DE⊥AC于点E， sin∠ABF＝，在Rt△DBE中，sin∠DBE＝， ∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE＝，∴DE＝BD•sin∠DBE＝×（4﹣3）＝≈3.1（km） 由题意可知∠CDB＝75°，sin∠DBE＝＝0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52° 在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，∴DC＝≈4（km） ∴景点C与景点D之间的距离约为4km． 一十三．复数的运算（共1小题） 31．＝（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 【答案】D 【解答】解：＝＝＝2﹣i， 故选：D． 一十四．共轭复数（共1小题） 32．复数的共轭复数是（　　） A． B． C．﹣i D．i 【答案】C 【解答】解：复数＝＝＝i，它的共轭复数为：﹣i． 故选：C． 一十五．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题） 33．如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（　　） A．4π B．5π C．6π D．8π 【答案】B 【解答】解：设底面圆半径为r，由母线长为4， 所以侧面展开扇形的圆心角为α＝＝； 将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B， 最短距离为BM，如图所示： 在△ABM中，由余弦定理得，BM的长度为： BM＝＝＝2， 解得cos＝0，所以r＝1， 所以圆锥的表面积为S＝π×12+π×1×4＝5π． 故选：B． 一十六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题） （多选）34．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长相等，且均为2，N在△ABC内及其边界上运动，则下列说法中正确的是（　　） A．存在点N，使得C1N⊥平面A1B1C B．若，则动点N的轨迹长度为 C．E为A1C1中点，若C1N∥平面AB1E，则动点N的轨迹长度为 D．存在点N，使得三棱锥C﹣A1BN的体积为 【答案】BCD 【解答】解：对于A中，取A1B1的中点D1，AB的中点为D，连接D1C1，DD1，DC， 由△A1B1C1为等边三角形，所以A1B1⊥C1D1， 又由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得CC1⊥A1B1， 因为C1D1∩CC1＝C1，且C1D1，CC1⊂平面D1DCC1，所以A1B1⊥平面D1DCC1， 又因为A1B1⊂平面A1B1C，所以平面A1B1C⊥平面D1DCC1， 因为平面A1B1C1∩平面D1DCC1＝D1C， 过C1作C1H⊥D1C于H，根据面面垂直的性质定理，可得C1H⊥平面A1B1C， 在矩形D1DCC1中，|D1C1|＜|DD1|，所以∠D1C1D＞45°＞∠D1C1H， 如图所示，此时C1H的延长线与线段CD无公共点， 所以不存在点N，使得C1N⊥平面A1B1C，所以A错误； 对于B中，因为，在直角△C1CN中，可得， 所以点N的轨迹为以C为圆心，以1为半径的圆弧， 又因为，所以动点N的轨迹长度为，所以B正确； 对于C中，由点E为A1C1中点，取AC的中点F，连接C1F，BF，BC1， 可得C1F∥AE，BF∥B1E， 因为C1F⊄平面AB1E，且AE⊂平面AB1E，所以C1F∥平面AB1E， 同理可得BF∥平面AB1E， 又因为C1F∩AB＝F，且C1F，AB⊂平面C1BF，所以平面C1BF∥平面AB1E， 因为平面C1BF∩平面ABC＝BF， 由C1N∥平面AB1E，所以动点N的轨迹为线段BF，其长度为，所以C正确； 对于D中，由，当点N在△ABC内及其边界上运动时， 可得，因为， 所以存在点N，使得三棱锥C﹣A1BN的体积为，所以D正确． 故选：BCD． 35．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的体积为　8　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：＝2， 所以棱锥O﹣ABCD的体积为：＝8． 故答案为：8 一十七．球的体积和表面积（共2小题） 36．过长方体的一个顶点的三条棱的长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这球的表面积是（　　） A．20π B．25π C．50π D．200π 【答案】C 【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2＝32+42+52＝50， ∴R＝． ∴S球＝4π×R2＝50π． 故选：C． 37．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为（　　） A．π B． C． D． 【答案】A 【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径， 设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab＝，ac＝，bc＝， 解得：a＝，b＝，c＝1， 所以球的直径为： 它的半径为， 球的体积为＝； 故选：A． 一十八．平面图形的直观图（共1小题） 38．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2， ∴直角三角形的直角边长是， ∴直角三角形的面积是， ∴原平面图形的面积是1×2＝2 故选：D． 一十九．异面直线及其所成的角（共2小题） 39．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点， 则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0，]）， 可知MN＝AB1＝， NP＝BC1＝； 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形； ∵PQ＝1，MQ＝AC， △ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC ＝4+1﹣2×2×1×（﹣） ＝7， ∴AC＝， ∴MQ＝； 在△MQP中，MP＝＝； 在△PMN中，由余弦定理得 cos∠MNP＝＝＝﹣； 又异面直线所成角的范围是（0，]， ∴AB1与BC1所成角的余弦值为． 【解法二】如图所示， 补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可； BC1＝，BD＝＝， C1D＝， ∴+BD2＝， ∴∠DBC1＝90°， ∴cos∠BC1D＝＝． 故选：C． 40．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解答】解：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形， ∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角， 又A1D＝A1B＝DB＝AB， 则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60° 故选：C． 二十．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题） 41．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 【答案】B 【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错； B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确； C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错； D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错． 故选：B． 二十一．直线与平面平行（共3小题） （多选）42．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC， ∴AB∥平面MNP，故A成立； 在B中，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N， ∴AB与面MNP不平行，故B不成立； 在C中，过M作ME∥AB，则E是中点， 则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交， ∴AB与面MNP不平行，故C不成立； 在D中，连接CD，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立． 故选：AD． 43．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形． （1）求证：DM∥平面APC； （2）求证：平面ABC⊥平面APC； （3）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D﹣BCM的体积． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（I）由已知得，MD是△ABP的中位线 ∴MD∥AP∵MD⊄面APC，AP⊂面APC ∴MD∥面APC； （II）∵△PMB为正三角形，D为PB的中点 ∴MD⊥PB，∴AP⊥PB又∵AP⊥PC，PB∩PC＝P ∴AP⊥面PBC（6分）∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC 又∵BC⊥AC，AC∩AP＝A∴BC⊥面APC， ∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC； （III）由题意可知，三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形． MD⊥面PBC，BC＝4，AB＝20，MB＝10，DM＝5，PB＝10，PC＝＝2， ∴MD是三棱锥D﹣BCM的高，S△BCD＝×＝2， ∴． 44．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD， ∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ； （Ⅱ）已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC＝90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．…（2分） 当M为PC的中点，即PM＝MC时，MN为△PAC的中位线， 故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分） （2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VP﹣BMQ＝VA﹣BMQ＝VM﹣ABQ， 取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，，…（7分） 又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD． 又，PD＝CD＝2，所以AQ＝1，BQ＝2，，…（10分） 所以VP﹣BMQ＝VA﹣BMQ＝VM﹣ABQ＝.，…（11分） 则点P到平面BMQ的距离d＝…（12分） 二十二．直线与平面垂直（共2小题） 45．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E．求证： （1）DE∥平面AA1C1C； （2）BC1⊥AB1． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）如图所示， 由据题意得， E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC； 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C； （2）【方法一】因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC， 因为AC⊂平面ABC， 所以AC⊥CC1； 又因为AC⊥BC， CC1⊂平面BCC1B1， BC⊂平面BCC1B1， BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1； 又因为BC1⊂平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC； 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 所以BC1⊥平面B1AC； 又因为AB1⊂平面B1AC， 所以BC1⊥AB1． 【方法二】根据题意，A1C1⊥B1C1，CC1⊥平面A1B1C1， 以C1为原点建立空间直角坐标系， C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，如图所示； 设BC＝CC1＝a，AC＝b， 则A（b，0，a），B1（0，a，0），B（0，a，a），C1（0，0，0）； ∴＝（﹣b，a，﹣a），＝（0，﹣a，﹣a）， ∴•＝﹣b×0+a×（﹣a）﹣a×（﹣a）＝0， ∴⊥， 即AB1⊥BC1． 46．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD； （Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝， 从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD （Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长， 射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则 A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）． ＝（﹣1，，0），＝（0，，﹣1），＝（﹣1，0，0）， 设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则 即， 因此可取＝（，1，） 设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则， 即：， 可取＝（0，1，），cos＜＞＝＝ 故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣． 二十三．平面与平面之间的位置关系（共1小题） 47．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　） A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m 【答案】A 【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确； 对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误； 对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误； 对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误． 故选：A． 二十四．平面与平面平行（共1小题） 48．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，求证： （1）MN∥平面CC1D1D； （2）平面MNP∥平面CC1D1D． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）连接AC，CD1， ∵ABCD是正方形，N是BD中点， ∴N是AC中点， 又∵M是AD1中点， ∴MN∥CD1， ∵MN⊄平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D， ∴MN∥平面CC1D1D； （2）连接BC1，C1D， ∵B1BCC1是正方形，P是B1C的中点， ∴P是BC1中点， 又∵N是BD中点， ∴PN∥C1D， ∵PN⊂平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D， ∴PN∥平面CC1D1D， 由（1）得MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N， ∴平面MNP∥平面CC1D1D． 二十五．平面与平面垂直（共1小题） 49．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE． （Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC； （Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （I）在图1中， 因为AB＝BC＝＝a，E是AD的中点， ∠BAD＝， 所以BE⊥AC， 即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC， 从而BE⊥面A1OC， 由CD∥BE， 所以CD⊥面A1OC， （II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高， 根据图1得出A1O＝AB＝a， ∴平行四边形BCDE的面积S＝BC•AB＝a2， V＝＝a＝a3， 由V＝a3＝36，得出a＝6． 二十六．直线与平面所成的角（共1小题） 50．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点． （Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC； （Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（I）∵AB＝AC＝2，D是B1C1的中点． ∴A1D⊥B1C1， ∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥BC， ∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO， ∴A1O⊥AO，A1O⊥BC ∵BC∩AO＝O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC ∴A1D⊥平面A1BC 解：（II） 建立坐标系如图 ∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4 ∴O（0，0，0），B（0，，0），B1（﹣，，），A1（0，0，） 即＝（0，，﹣），＝（0，，0），＝（，0，）， 设平面BB1C1C的法向量为＝（x，y，z）， 即得出 得出＝（，0，1），||＝4，||＝ ∵＝， ∴cos＜，＞＝＝， 可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为 二十七．二面角的平面角及求法（共1小题） 51．在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3． （Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD； （Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（Ⅰ）证明：△QCD中，CD＝AD＝2，QD＝，QC＝3，所以CD2+QD2＝QC2，所以CD⊥QD； 又CD⊥AD，AD∩QD＝D，AD⊂平面QAD，QD⊂平面QAD，所以CD⊥平面QAD； 又CD⊂平面ABCD，所以平面QAD⊥平面ABCD． （Ⅱ）解：取AD的中点O，在平面ABCD内作Ox⊥AD， 以OD所在直线为y轴，OQ所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示： 则O（0，0，0），B（2，﹣1，0），D（0，1，0），Q（0，0，2）， 因为Ox⊥平面ADQ，所以平面ADQ的一个法向量为＝（1，0，0）， 设平面BDQ的一个法向量为＝（x，y，z）， 由＝（﹣2，2，0），＝（0，﹣1，2）， 得，即， 令z＝1，得y＝2，x＝2，所以＝（2，2，1）； 所以cos＜，＞＝＝＝， 所以二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值为． 二十八．互斥事件与对立事件（共1小题） 52．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（　　） A．是必然事件 B．M∪N是必然事件 C．与一定为互斥事件 D．与一定不为互斥事件 【答案】A 【解答】解：因为M、N为互斥事件，如图： ， 无论哪种情况，是必然事件． 故选：A． 二十九．概率及其性质（共1小题） 53．下列说法正确的是（　　） A．任何事件的概率总是在（0，1）之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 【答案】C 【解答】解：由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A不正确． 频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故B、D不正确． 频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值， 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故C正确． 故选：C． 三十．古典概型及其概率计算公式（共1小题） 54．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83． （1）求x和y的值； （2）计算甲班7位学生成绩的方差s2； （3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵甲班学生的平均分是85， ∴， ∴x＝5， ∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y＝3； （2）甲班7位学生成绩的方差为s2＝＝40； （3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B， 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E， 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况： （A，B），（A，C），（A，D），（A，E）， （B，C），（B，D），（B，E）， （C，D），（C，E）， （D，E） 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）． 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生， 甲班至少有一名学生”为事件M，则． 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为． 三十一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题） 55．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（　　） A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 【答案】B 【解答】解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C； 则P（A）＝0.9； A1、A2至少有一个正常工作的概率为1﹣P（）P（）＝1﹣0.2×0.2＝0.96； 则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864； 故选：B． 三十二．分层抽样方法（共1小题） 56．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　） A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、20 【答案】D 【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为＝， 则在高一年级抽取的人数是300×＝15人，高二年级抽取的人数是200×＝10人， 高三年级抽取的人数是400×＝20人， 故选：D． 三十三．频率分布直方图（共2小题） 57．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]． （1）求频率分布图中a的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10＝1，解得a＝0.006； （2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10＝3（人），记为A1，A2，A3； 受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10＝2（人），记为B1，B2． 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种， 分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}， 又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}， 故所求的概率为P＝． 58．我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中a的值； （Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （Ⅲ）估计居民月均水量的中位数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（I）∵1＝（0.08+0.16+a+0.42+0.50+a+0.12+0.08+0.04）×0.5， 整理可得：2＝1.4+2a， ∴解得：a＝0.3． （II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下： 由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5＝0.12， 又样本容量为30万， 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12＝3.6万． （Ⅲ）根据频率分布直方图，得； 0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5＝0.48＜0.5， 0.48+0.5×0.5＝0.73＞0.5， ∴中位数应在[2，2.5）组内，设出未知数x， 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.5×x＝0.5， 解得x＝0.04； ∴中位数是2+0.04＝2.04． 三十四．众数、中位数、平均数（共1小题） 59．已知样本数据x1，x2，…，xn的均值＝5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值为 　11　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数为均值＝5， 则样本数据 2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值为：＝5×2+1＝11； 故答案为：11． 三十五．极差、方差与标准差（共1小题） 60．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…10）．试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi﹣yi（i＝1，2，⋯，10），记z1，z2，⋯，z10的样本平均数为，样本方差为s2． （1）求，s2； （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据表中数据，计算zi＝xi﹣yi（i＝1，2，…，10），填表如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 zi＝xi﹣yi 9 6 8 ﹣8 15 11 19 18 20 12 计算平均数为＝zi＝×（9+6+8﹣8+15+11+19+18+20+12）＝11， 方差为s2＝＝×[（﹣2）2+（﹣5）2+（﹣3）2+（﹣19）2+42+02+82+72+92+12]＝61． （2）由（1）知，＝11，2＝2＜2＝5， 所以≥2，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（易错题60题35个考点） 一．函数的最值及其几何意义（共1小题） 1．已知向量、满足||＝1，||＝2，则|+|+|﹣|的最小值是 　 　，最大值是 　 　． 二．向量的概念与向量的模（共1小题） 2．有下列命题： ①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同； ②若，则； ③若，则四边形ABCD是平行四边形； ④若，，则； ⑤若，，则； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中，假命题的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 三．向量相等与共线（共1小题） 3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量＝（a，b）与＝（cosA，sinB）平行． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a＝，b＝2，求△ABC的面积． 四．平面向量数量积的性质及其运算（共8小题） 4．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M、N满足，，则＝（　　） A．20 B．15 C．9 D．6 5．在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则的值为（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0 6．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若＝2，＝λ﹣（λ∈R），且＝﹣4，则λ的值为　 　． 7．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则•的最小值为　 　． 8．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则•的值为　 　． 9．已知向量，满足，，求： （1）； （2）向量与的夹角的余弦值． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sinx，cosx），x∈（0，）． （1）若⊥，求tanx的值； （2）若与的夹角为，求x的值． 11．已知||＝，||＝1，与的夹角为45°． （1）求在方向上的投影； （2）求|+2|的值； （3）若向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 五．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题） 12．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为　 　． 13．已知向量＝（sinA，cosA），＝（，﹣1），•＝1，且A为锐角． （1）求角A的大小； （2）求函数f（x）＝cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域． 六．平面向量的基本定理（共2小题） 14．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为（　　） A． B． C． D． 15．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝，若＝x+y，则x＝　 　，y＝　 　． 七．平面向量的坐标运算（共1小题） 16．已知点A（0，1），B（3，2），向量＝（﹣4，﹣3），则向量＝（　　） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4） 八．平面向量共线（平行）的坐标表示（共1小题） 17．设向量＝（2，4）与向量＝（x，6）共线，则实数x＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 九．数量积表示两个向量的夹角（共3小题） 18．已知非零向量满足||＝4||，且⊥（），则的夹角为（　　） A． B． C． D． 19．向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（　　） A． B． C． D． 20．已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是　 　． 一十．正弦定理（共3小题） 21．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA＝bcosB，那么△ABC的形状一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 22．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为（　　） A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150° 23．在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝﹣． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC边上的高． 一十一．余弦定理（共3小题） 24．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（　　） A． B． C． D． 25．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）． （1）证明：2a2＝b2+c2； （2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长． 26．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值． 一十二．解三角形（共4小题） 27．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若a＝2，求△ABC面积的最大值． 28．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且＝． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S． 29．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsinA＝a（2+cosB）． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 30．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km． （1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km） （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km） 一十三．复数的运算（共1小题） 31．＝（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 一十四．共轭复数（共1小题） 32．复数的共轭复数是（　　） A． B． C．﹣i D．i 一十五．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题） 33．如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（　　） A．4π B．5π C．6π D．8π 一十六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题） （多选）34．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长相等，且均为2，N在△ABC内及其边界上运动，则下列说法中正确的是（　　） A．存在点N，使得C1N⊥平面A1B1C B．若，则动点N的轨迹长度为 C．E为A1C1中点，若C1N∥平面AB1E，则动点N的轨迹长度为 D．存在点N，使得三棱锥C﹣A1BN的体积为 35．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的体积为　 　． 一十七．球的体积和表面积（共2小题） 36．过长方体的一个顶点的三条棱的长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这球的表面积是（　　） A．20π B．25π C．50π D．200π 37．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为（　　） A．π B． C． D． 一十八．平面图形的直观图（共1小题） 38．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是（　　） A． B．1 C． D． 一十九．异面直线及其所成的角（共2小题） 39．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 40．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 二十．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题） 41．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 二十一．直线与平面平行（共3小题） （多选）42．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（　　） A． B． C． D． 43．如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形． （1）求证：DM∥平面APC； （2）求证：平面ABC⊥平面APC； （3）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D﹣BCM的体积． 44．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD， ∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ； （Ⅱ）已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离． 二十二．直线与平面垂直（共2小题） 45．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E．求证： （1）DE∥平面AA1C1C； （2）BC1⊥AB1． 46．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD； （Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 二十三．平面与平面之间的位置关系（共1小题） 47．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　） A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m 二十四．平面与平面平行（共1小题） 48．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，求证： （1）MN∥平面CC1D1D； （2）平面MNP∥平面CC1D1D． 二十五．平面与平面垂直（共1小题） 49．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE． （Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC； （Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值． 二十六．直线与平面所成的角（共1小题） 50．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点． （Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC； （Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值． 二十七．二面角的平面角及求法（共1小题） 51．在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3． （Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD； （Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值． 二十八．互斥事件与对立事件（共1小题） 52．设M、N为两个随机事件，如果M、N为互斥事件，那么（　　） A．是必然事件 B．M∪N是必然事件 C．与一定为互斥事件 D．与一定不为互斥事件 二十九．概率及其性质（共1小题） 53．下列说法正确的是（　　） A．任何事件的概率总是在（0，1）之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 三十．古典概型及其概率计算公式（共1小题） 54．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83． （1）求x和y的值； （2）计算甲班7位学生成绩的方差s2； （3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率． 三十一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题） 55．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（　　） A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 三十二．分层抽样方法（共1小题） 56．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　） A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、20 三十三．频率分布直方图（共2小题） 57．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]． （1）求频率分布图中a的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率． 58．我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中a的值； （Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （Ⅲ）估计居民月均水量的中位数． 三十四．众数、中位数、平均数（共1小题） 59．已知样本数据x1，x2，…，xn的均值＝5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值为 　 　． 三十五．极差、方差与标准差（共1小题） 60．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…10）．试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi﹣yi（i＝1，2，⋯，10），记z1，z2，⋯，z10的样本平均数为，样本方差为s2． （1）求，s2； （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$