专题10 概率章末重点题型归纳（四大题型）-2023-2024学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题10 概率章末重点题型归纳（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1 独立事件，互斥事件和对立事件的判断】 【题型2独立事件，互斥事件和对立事件概率的计算】 【题型3 古典概率】 【题型4 统计和概率相结合】 【题型1 独立事件，互斥事件和对立事件的判断】 1．多选题将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（    ） A．事件甲与事件丙是互斥事件 B．事件甲与事件丁是相互独立事件 C．事件乙包含于事件丙 D．事件丙与事件丁是对立事件 2．多选题口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球同色”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A．与互斥 B．与互为对立事件 C．与相互独立 D． 3．多选题一只袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白球和个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出个球．甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“至少有一次摸到黑球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则下列说法正确的是（    ） A．甲与丁互斥 B．乙与丙对立 C．甲与丙互斥 D．丙与丁独立 4．多选题A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥 C．甲与乙相互独立 D．乙与丁相互独立 5．多选题口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（    ） A．与互为对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 6．多选题若，，，则事件与的关系错误是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又独立 【题型2独立事件，互斥事件和对立事件概率的计算】 7．端午节是我国传统节日，记事件“甲端午节来宝鸡旅游”， 记事件“乙端午节来宝鸡旅游”，且，，假定两人的行动相互之间没有影响，则（    ） A． B． C． D． 8．甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（    ） A． B． C． D． 9．若事件E与事件F相互独立，且，则=（    ） A．0 B． C． D． 10．多选题甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为.则（    ） A．甲乙都研发成功的概率为 B．疫苗A研发成功的概率为 C．疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D．仅有一款疫苗研发成功的概率为 11．多选题一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（    ） A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等 C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是 D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是 12．甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为，乙的命中率为，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为 . 13．假设，，且与相互独立，则 ． 14．如图：三个元件，，正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是 ．    15．与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率： (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率 16．为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 17．猜灯谜是我国元宵节传统特色活动．在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中，组织者设置难度相当的若干灯谜，某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜，根据以往数据分析可知，甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为，． (1)任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求丙猜对该难度的每道灯谜的概率． 18．2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场进行．某学校的足球协会举办了足球知识考试，试卷中只有两道题目．已知小张同学答对每道题的概率为，小李同学答对每道题的概率为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．若两人答对题目数相同的概率为． (1)求的值； (2)求两人共答对两道题的概率． 【题型3 古典概率】 19．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）. A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75 20．从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（    ） A． B． C． D． 21．从，，，，中任取个不同的数，则取出的两个数之和是的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 22．下列实验中，是古典概型的有（    ） A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四名同学用抽签法选一人参加会议 D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率 23．一个盒子里装有标号为的5张标签，无放回的随机选取两张标签，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是（    ） A． B． C． D． 24．盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 ． 25．小强忘记了进门密码的最后两位，只记得最后一位是数字1，7中的一个，倒数第二位是数字3，6，9中的一个，则小强输入一次密码能成功开门概率是 ． 26．从3名男同学和2名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有两名男同学的概率为 . 27．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点，，，，中随机选择两个点，其中至少有一个“好点”的概率为 . 28．刘徽是魏晋时代著名的数学家，他给出的阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把排成的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等．如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有5的概率是 ． 8 1 6 3 5 7 4 9 2 29．先后抛掷两枚大小相同的骰子. 求: (1)朝上的一面点数相同的概率； (2)朝上的一面点数之和小于5的概率. 【题型4 统计和概率相结合】 30．本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图. (1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； (2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率. 31．某校高二年级共有800名学生参加2021年全国高中数学联赛初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩(单位:分)，并列出频数分布表如下: 分组 频数 5 7 13 10 5 (1)试估计该年级成绩不低于90分的学生人数； (2)成绩在区间上的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中随机选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生和一名女生的概率. 32．2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数； (2)估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数； (3)若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率． 33．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本每天阅读时间的第75百分位数； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率 34．今年11月份宜春中学组织120名青年教职工参加健康知识竞赛，现将120名教工的竞赛成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示： (1)求实数a的值，并求70分是成绩的多少百分位数？ (2)试利用频率分布直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩； (3)从这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教职工中，随机选取2名教工到翰林社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教工中恰有2名男性，求至少有1名男性教工被选中的概率． 35．学校组织数学知识应用能力测试，测试满分为100分，从测试卷中随机抽取400份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求a的值，并估计测试成绩的第80百分位数； (2)现从该样本成绩在与的学生中按分层抽样抽取6人，6人中再随机取2人，求2人的测试成绩来自不同组的概率． 36．袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是． (1)求的值； (2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率． 37．某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛(满分150分).已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求的值并估计这800名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)； (2)该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中取2名学生参与督查工作，其取办法是：先在第二组､第五组､第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生.记这2名学生的竞赛成绩分别为､.求事件的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 概率章末重点题型归纳（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1 独立事件，互斥事件和对立事件的判断】 【题型2独立事件，互斥事件和对立事件概率的计算】 【题型3 古典概率】 【题型4 统计和概率相结合】 【题型1 独立事件，互斥事件和对立事件的判断】 1．多选题将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（    ） A．事件甲与事件丙是互斥事件 B．事件甲与事件丁是相互独立事件 C．事件乙包含于事件丙 D．事件丙与事件丁是对立事件 【答案】AB 【分析】根据题意，利用列举法得到事件甲，乙，丙，丁，再由事件的关系，以及独立事件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，事件甲：第一次掷出的数字是1有：， 事件乙：第二次掷出的数字是2有：， 事件丙：两点数之和为8的所有可能为：， 事件丁：两点数之和为7的所有可能为：， 其中， 对于A中，事件甲与事件丙不能同时发生，所以事件甲与事件丙是互斥事件，所以A正确； 对于B中，由，所以， 所以事件甲与事件丁是相互独立事件，所以B正确； 对于C中，事件乙不包含于事件丙，所以C错误； 对于D中，根据对立事件的定义，可得事件丙与事件丁不对立，所以D错误. 故选：AB. 2．多选题口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球同色”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A．与互斥 B．与互为对立事件 C．与相互独立 D． 【答案】BC 【分析】首先将所有的基本事件，以及事件所包含的基本事件一一列举出来，根据互斥事件、对立事件的概念，独立事件的定义以及条件概率的计算方法验证即可. 【详解】基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12种， 事件“12，13，14，21，23，24”；事件“12，21，31，41，32，42”； 事件“12，21，34，43”；事件“13，14，23，24，31，41，32，42”． ∵，∴与不是互斥事件，故A错误； ，，∴与互为对立事件，故B正确； 事件“12，21”，∴，，，，∴与相互独立，故C正确； 事件“31，41，32，42”，，，∴，故D错误． 故选：BC. 3．多选题一只袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白球和个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出个球．甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“至少有一次摸到黑球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则下列说法正确的是（    ） A．甲与丁互斥 B．乙与丙对立 C．甲与丙互斥 D．丙与丁独立 【答案】AC 【分析】利用互斥事件的定义可判断AC选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，丁事件包含：一白一黑、两白，甲与丁互斥，A对； 对于B选项，乙事件包含：一白一黑、两黑，乙与丙不对立，B错； 对于C选项，甲与丙互斥，C对； 对于D选项，分别记事件丙、丁为、， 将个白球分别记为、、，个黑球记为、， 从上述个球中任意摸出个，所有的基本事件为：、、、、、、、、、，共种， 其中事件包含的基本事件为：、、、、、，共种， 事件包含的基本事件为：、、、、、、、、，共种， 所以，，，，故丙与丁不独立，D错. 故选：AC. 4．多选题A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（    ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥 C．甲与乙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】BCD 【分析】 根据互斥事件与相互独立事件的定义判断即可. 【详解】对于A选项，因为， ，，所以，所以甲与乙相互独立，故A选项错误； 对于B选项，丙与丁不会同时发生，故它们互斥，故B选项正确； 对于C选项，由A选项知故C选项正确； 对于D选项，因为，，所以，故乙与丁相互独立，故D选项正确. 故选：BCD. 5．多选题口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（    ） A．与互为对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】ACD 【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】先编号：红球为，白球为， 不放回依次取出两个，基本事件有，共种， 事件“”； 事件“”； 事件“”； 事件“”. A选项，，所以与互为对立事件； B选项，，所以与不是互斥事件； C选项，事件“”， 所以， 所以与相互独立，所以C选项正确. D选项，事件“”， ， 所以与相互独立，所以D选项正确. 故选：ACD 6．多选题若，，，则事件与的关系错误是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又独立 【答案】ABD 【分析】根据积事件概率不为零可确定与不互斥，不对立，可得ABD错误；根据独立事件概率公式可知C正确. 【详解】对于ABD，，事件与不互斥，不对立，ABD错误； 对于C，，，事件与相互独立，C正确. 故选：ABD. 【题型2独立事件，互斥事件和对立事件概率的计算】 7．端午节是我国传统节日，记事件“甲端午节来宝鸡旅游”， 记事件“乙端午节来宝鸡旅游”，且，，假定两人的行动相互之间没有影响，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得、相互独立，根据计算可得. 【详解】依题意，且、相互独立， 所以. 故选：A. 8．甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件概率求法，结合互斥事件加法求目标概率. 【详解】由题意，这两个零件中恰有一个一等品的概率为. 故选：C 9．若事件E与事件F相互独立，且，则=（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由独立事件的乘法公式求即可. 【详解】由题意. 故选：B 10．多选题甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为.则（    ） A．甲乙都研发成功的概率为 B．疫苗A研发成功的概率为 C．疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D．仅有一款疫苗研发成功的概率为 【答案】AB 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式可判断A项；结合对立事件的概率关系可判断B项；再由相互独立事件的概率公式可判断C项；分两种情况，由相互独立事件的概率公式可判断D项. 【详解】对于A项，由独立事件的概率乘法公式可知，甲乙都研发成功的概率为，故A项正确； 对于B项，因为疫苗A研发失败的概率为， 所以疫苗A研发成功的概率为， 故B项正确； 对于C项，由独立事件的概率乘法公式可知，疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为，故C项错误； 对于D项，仅有一款疫苗成功的概率为，故D项错误. 故选：AB. 11．多选题一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（    ） A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等 C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是 D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是 【答案】BD 【分析】根据对立事件的概念判断A选项即可；结合古典概型，列举基本事件，分别求对应的概率即可判断BCD. 【详解】对A，由题知，不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况， 所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误； 对B，记2个红球分别为，3个白球分别为1，2，3， 不放回地从中取2个球的样本空间 共20种， 记事件为“第1次取到红球”，事件为“第2次取到红球”， 则， 所以，故B正确； 对C，有放回地从中取2个球的样本空间 ，共25种； 记事件为“取出1个红球和1个白球”，则 ，共12种， 所以，故C错误； 对D，记事件为“取出2个白球”，则，共9种； 所以， 所以至少取出1个红球的概率为，故D正确. 故选：BD 12．甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为，乙的命中率为，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为 . 【答案】 【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件甲、乙分别向同一靶子射击一次，该靶子被击中， 则事件甲、乙分别向同一靶子射击一次，两人均未中靶， 故. 故答案为：. 13．假设，，且与相互独立，则 ． 【答案】0.92/ 【分析】由并事件的概率公式和相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】事件与相互独立，则， 由并事件的概率公式. 故答案为：0.92. 14．如图：三个元件，，正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是 ．    【答案】 【分析】由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率为，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案． 【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件， 则； 电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作， 、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率， 所以整个电路不发生故障的概率为 ， 故答案为： 15．与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率： (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可； （2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案. 【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C， 则，，， 即，， 所以，， 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，． （2）有3个家庭回答正确的概率为 ， 有2个家庭回答正确的概率为 ， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 16．为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛.甲、乙两名运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响.已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件概率即可得到答案； （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件，结合独立事件乘法公式，求出事件的概率即可， 【详解】（1）设甲第一次击中目标为事件，甲第二次击中目标为事件， 则. 因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件， 则所求的概率为. （2）设乙第一次击中目标为事件，乙第二次击中目标为事件， 则. 所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为， 所以所求的概率为 17．猜灯谜是我国元宵节传统特色活动．在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中，组织者设置难度相当的若干灯谜，某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜，根据以往数据分析可知，甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为，． (1)任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求丙猜对该难度的每道灯谜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式求解即可； （2）设事件E=“任选一道灯谜，丙猜对”，先求出甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率，再由对立事件的性质和相互独立事件的乘法公式求解即可； 【详解】（1）设事件A=“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B=“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件C=“任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对”． 则，，故，， 因为事件A与事件B相互独立， 所以． （2）设事件D=“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对”， 事件E=“任选一道灯谜，丙猜对”， 因为事件A、事件B、事件C两两独立，那么 ． 所以，，所以． 18．2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场进行．某学校的足球协会举办了足球知识考试，试卷中只有两道题目．已知小张同学答对每道题的概率为，小李同学答对每道题的概率为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．若两人答对题目数相同的概率为． (1)求的值； (2)求两人共答对两道题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设{甲同学答对了i道题}，{乙同学答对了i道题}，，根据两人答对题目数相同的概率为，列出方程求解即可； （2）两人共答对两道题的概率，计算即可. 【详解】（1）设{甲同学答对了i道题}，{乙同学答对了i道题}，， 所以，，， ，，， 因为两人答对题目数相同的概率为， 所以， 解得或（舍），即的值为； （2）由（1）可得：，，， 两人共答对两道题的概率 ， 即两人共答对两道题的概率为. 【题型3 古典概率】 19．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）. A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75 【答案】D 【分析】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故选：D 20．从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得2分的涂法种数，求得所求概率． 【详解】随机地填涂了1个或2个或3个选项，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14种涂法， 得2分的涂法为BC，BD，CD，B，C，D，共6种， 故能得2分的概率为． 故选：B． 21．从，，，，中任取个不同的数，则取出的两个数之和是的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从，，，，中任取个不同的数的可能结果有，， ，，，，，，，共个， 其中两个数之和是的倍数的有，，共个结果， 所以取出的两个数之和是的倍数的概率. 故选：C 22．下列实验中，是古典概型的有（    ） A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四名同学用抽签法选一人参加会议 D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率 【答案】C 【分析】根据古典概型的性质判断各项所描述的试验是否满足要求即可. 【详解】由古典概型性质：基本事件的有限性及它们的发生是等可能的， A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足； B：基本事件坐标系中整数点是无限的，不满足； C：基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足； D：基本事件是区间上所有实数是无限的，不满足； 故选：C 23．一个盒子里装有标号为的5张标签，无放回的随机选取两张标签，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出总的基本事件的总数，其中两张标签上的数字为相邻整数的事件数，利用列举法即可求概率. 【详解】由题意得：总的基本事件为，共10个. 其中两张标签上的数字为相邻整数的事件为，共4个. 所以两张标签上的数字为相邻整数的概率是. 故选：C. 24．盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 ． 【答案】 【分析】求出总的基本事件数，然后求出符合题目要求结果的基本事件数，再利用古典概型的公式求解即可. 【详解】首先从中任取两个小球有共个基本事件， 取出的小球中至少有一个号码为奇数有共个基本事件， 所以取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为. 故答案为：. 25．小强忘记了进门密码的最后两位，只记得最后一位是数字1，7中的一个，倒数第二位是数字3，6，9中的一个，则小强输入一次密码能成功开门概率是 ． 【答案】 【分析】利用古典概型概率公式运算即可得解. 【详解】解：由条件可知，小强可能输入的密码包含 ，，，，， 共6种情况，其中正确的密码有1个， 所以输入一次密码正确的概率. 故答案为： 26．从3名男同学和2名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有两名男同学的概率为 . 【答案】/0.6 【分析】利用列举法计算古典概型的概率. 【详解】设2名女同学为，3名男同学为，从以上5名同学中任选3人总共有 共10种情况. 选中的3人中有两名男同学的情况有共6种情况， 故所求概率为. 故答案为： 27．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点，，，，中随机选择两个点，其中至少有一个“好点”的概率为 . 【答案】/0.7 【分析】先判断出这五个点中“好点”的个数，再用列举法和古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】设此指数函数为，显然不过点，， 若设对数函数为，显然不过点， 当点为“好点”时，，得； 当点为“好点”时，，得， 所以“好点”有两个，分别为，， 从五个点中选择两个点的样本空间为 ，共10个样本点， 记“其中至少有一个好点”， 则，共7个样本点， 故所求概率为. 故答案为：. 28．刘徽是魏晋时代著名的数学家，他给出的阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把排成的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等．如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有5的概率是 ． 8 1 6 3 5 7 4 9 2 【答案】/ 【分析】先列举出所有基本事件，再找出含有5的基本事件，由古典概型求解即可. 【详解】随机抽取和为15的三个数包含的基本事件为共8个， 其中含有5的基本事件有共4个，则含有5的概率是. 故答案为：. 29．先后抛掷两枚大小相同的骰子. 求: (1)朝上的一面点数相同的概率； (2)朝上的一面点数之和小于5的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）基本事件总数，利用列举法求出朝上的一面点数相同包含的基本事件有6个，再求出朝上的一面点数相同的概率； （2）利用列举法求出朝上的一面点数之和小于5包含的基本事件有6个，再求出朝上的一面点数之和小于5的概率. 【详解】（1）基本事件总数， 朝上的一面点数相同的基本事件有6个：， 故朝上的一面点数相同的概率. （2）朝上的一面点数之和小于5包含的基本事件有6个：， 故朝上的一面点数之和小于5的概率为. 【题型4 统计和概率相结合】 30．本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图. (1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； (2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率. 【答案】(1)平均数为75.5，分位数为88； (2). 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求出后，再由平均数，百分数的算法求出即可； （2）利用分层抽样和古典概率的算法求出即可； 【详解】（1）由，解得. 该校高三学生期初数学成绩的平均数为. 前3组的频率和为，所以分位数为. （2）分层抽样抽取的6人中，的有人，记为 的有人，记为， 从6人中任取2人，基本事件有，共15种， 其中2人分数都在的有共6种， 所以从6人中任取2人，分数都在的概率为. 31．某校高二年级共有800名学生参加2021年全国高中数学联赛初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩(单位:分)，并列出频数分布表如下: 分组 频数 5 7 13 10 5 (1)试估计该年级成绩不低于90分的学生人数； (2)成绩在区间上的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中随机选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生和一名女生的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，计算出样本中成绩不低于90分的频率，即可求出结果； （2）根据条件，列出样本空间中的样本点及事件包含的样本点，再利用古典概型概率公式，即可求出结果. 【详解】（1）估计该年级成绩不低于90分的学生人数为. （2）分别记男生为1，2，3号，女生为4，5号，从中随机选出2名学生，对应的样本空间， 共有10个样本点，每个样本点发生的可能性相等. 设事件 “恰好选中一名男生和一名女生”，则事件包含的样本点有：，共6个， 所以. 32．2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数； (2)估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数； (3)若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图求出成绩在内的频率，即可估计人数； （2）根据百分位数计算规则计算可得； （3）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 成绩在内的频率为， 则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为人； （2）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 所以成绩在分以下的学生所占的比例为， 成绩在分以下的学生所占的比例为， 所以成绩的分位数一定在内，即， 因此估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数为； （3）因为，，， 所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人， 其中有人为航天达人，设为， 有人不是航天达人，设为， 则从6人中选择2人作为学生代表， 有， 共种， 其中2人均为航天达人为共种， 所以被选中的2人均为航天达人的概率为． 33．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本每天阅读时间的第75百分位数； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率. 【答案】(1) (2)84分钟 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的所有矩形面积之和为1列出方程即可求解. （2）根据百分位数的定义先确定第75百分位数的位置；再列出方程即可求解. （3）先根据分层抽样的方法确定位于分组，和的年轻人的人数；再利用古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1， 所以，解得. （2）因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 所以第75百分位数落在. 设第75百分位数为m， 由，解得， 故第75百分位数为84， 所以估计该地年轻人阅读时间的第75百分位数约为84分钟. （3）由题意，阅读时间位于的人数为， 阅读时间位于的人数为， 阅读时间位于的人数为， 所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为， 则抽取的5人中位于区间有1人，设为a，位于区间有3人，设为，，，位于区间有1人，设为. 则从5人中任取3人，样本空间共含有10个样本点. 设事件A为“恰有2人每天阅读时间在”， ，含有6个样本点. 所以， 所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为. 34．今年11月份宜春中学组织120名青年教职工参加健康知识竞赛，现将120名教工的竞赛成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示： (1)求实数a的值，并求70分是成绩的多少百分位数？ (2)试利用频率分布直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩； (3)从这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教职工中，随机选取2名教工到翰林社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教工中恰有2名男性，求至少有1名男性教工被选中的概率． 【答案】(1)；70分是成绩的45百分位数 (2)71分 (3)． 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质及百分位数定义计算即可； （2）利用频率分布直方图的平均数求法计算即可； （3）利用古典概型计算即可. 【详解】（1），解得； 根据频率分布直方图可知分前三个区间所占频率为：， 所以70分是成绩的45百分位数； （2）由频率分布直方图可知： 分， 所以这次知识竞赛的平均成绩是71分． （3）这次知识竞赛成绩落在区间内的教工有名． 记“至少有一个男性教工被选中”为事件A， 记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男性教工为1，2号，则样本空间 ，所以． 故至少有1名男性教工被选中的概率为． 35．学校组织数学知识应用能力测试，测试满分为100分，从测试卷中随机抽取400份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求a的值，并估计测试成绩的第80百分位数； (2)现从该样本成绩在与的学生中按分层抽样抽取6人，6人中再随机取2人，求2人的测试成绩来自不同组的概率． 【答案】(1)，第80百分位数为86； (2). 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出a值，再求出第80百分位数作答. （2）求出6人中在与的人数，再利用列举法求出古典概率作答. 【详解】（1）因为，所以， 设知识竞赛成绩的第80百分位数为， 由的频率为0.65，的频率为0.9，则位于， 则，解得， 所以知识竞赛成绩的第80百分位数为86. （2）成绩在和内的频率分别为，， 则在内选取2人，记为，在内选取4人，记为， 从这6人中选取2人的所有选取方法： ，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 2人的竞赛成绩来自不同组的选取方法：，，，，，，，，共8种， 所以所求概率为. 36．袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是． (1)求的值； (2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型公式求解即可； （2）将所有基本事件列出，再分析满足各条件的事件个数，进而根据古典概型公式求解即可. 【详解】（1）由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有个结果，每个结果可能性相同， 其中事件发生有种结果，所以，解得． （2）由（1）可知连续取球两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑），（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑），（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑），（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑），所以基本事件的总数为16． 设事件：连续取两次分数之和为3分， 设事件：连续取两次分数之和为4分， 设事件：连续取两次分数之和大于2分，则，且事件与事件互斥， 因为事件所包含的基本事件有：（红，白1），（红，白2），（白1，红），（白2，红），所以， 因为事件所包含的基本事件有：（红，红），所以， 故． 即两次取球所得分数之和大于2分的概率为． 37．某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛(满分150分).已知这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求的值并估计这800名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)； (2)该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中取2名学生参与督查工作，其取办法是：先在第二组､第五组､第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生.记这2名学生的竞赛成绩分别为､.求事件的概率. 【答案】(1)；平均成绩120分 (2) 【分析】（1）根据频率之和为求得，根据平均数的求法求得平均成绩. （2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得所求概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 解得， 这800名学生数学成绩的平均数为： ； （2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为，，则，； 第五组抽取3名学生，其成绩记为，，，则； 第六组抽取1名学生，其成绩记为，则； 现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为： ，，，，，，，，， ，，，，，共15个. 其中事件包含的基本事件为：，，，，，，共7个； 记“这2名学生的竞赛成绩分别为､，其中”为事件，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$