2.1等式性质与不等式性质（第1课时） 教案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课程基本信息 学科 高中数学 年级 高一 学期 秋季 课题 2.1 等式性质与不等式性质（第1课时） 教科书 书 名：普通高中数学 必修一 教材A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1. 了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系。 2. 会用作差法比较两个代数式的大小关系。 3. 掌握并会应用重要不等式。 数学学科核心素养 1. 数学抽象:掌握等式性质与不等式性质以及推论。 2. 数学运算:进一步掌握作差比较法比较实数的大小。 3. 逻辑推理:能利用不等式的性质证明简单的不等式、求代数式的取值范围。 教学重难点 教学重点： 掌握不等式性质及其应用。 教学难点： 类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异。 教材分析 本节内容是人教版高中数学必修一第二章第一节第一课时的内容。等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，有着重要的实际意义．同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫。 学情分析 学生在小学和初中阶段已经接触过不等式，但上升到理论层次，例如比较大小的理论根据——作差法，对不等式性质的推导与证明，利用不等式性质解决简单的证明等问题，还有一定的难度，所以在教学过程中，注意引导学生分析不等式性质的条件及结论，做到有理有据、严谨细致、条例清楚，提高逻辑推理和数学运算的核心素养。 教学方法 小组合作、自主学习、提问启发、分组讨论、多媒体领悟 教学工具 希沃白板、课件、多媒体视频 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 温故知新 回顾知识：通过思维导图的形式，带领学生回顾第一章《集合与常用逻辑用语》的内容，包括集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词。 回忆旧知 加深记忆 通过引导学生回忆，加深学生对所学知识的记忆。 情景引入 情景1：教师借助多媒体播放宇宙飞船飞行速度的相关视频： 中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了圆满的成功．我们知道，它的飞行速度（）不小于第一宇宙速度（记作），且小于第二宇宙速度（记作）。 教师提问：视频中体现了哪些不等关系？你能用不等式或不等式组表示这些不等关系吗？ 情景2：在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2m(含1.2m)而不超过1.5m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5m时应买全价票。每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。 教师提问：设儿童的身高为米，如何利用不等式或不等式组来表示“身高超过1.2m(含1.2m)而不超过1.5m”、“身高超1.5m”和“身高不足1.2米”呢？ 观看视频 思考回答 通过探究，引导学生发现生活中的相等关系与不等关系，并能用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。 新知探究一 不等关系与不等式 1.不等关系与不等式 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存的，用数学符号“≠”“>”““≥”“<”“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子叫做不等式。 用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式 2 用不等式组表示不等关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等关系时,需要用不等式组来表示不等关系。 【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 答案： （1）设该路段行驶的汽车速度为，则； （2），； （3）设三角形三边分别为，则； （4）设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ。 【问题2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 答案：提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8－×0.2)x万元， 那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： (8－×0.2)x≥20。 问题探究 思考讨论 分享展示 通过例题，使学生熟练不等关系与不等式，培养数学运算的核心素养。 新知探究二 比较两个实数的 大小 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系： 如图，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B。 当点A在点B的左边时，；当点A在点B的右边时，；当点A和点B重合时，。 【归纳新知】 关于大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么；如果等于0，那么；如果是负数，那么。反过来也对。 这个基本事实可以表示为： ① ② ③ 教师总结：从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。 【问题3】例1:比较和的大小。 解：∵ ∴ 思考讨论 归纳新知 巩固练习 利用数轴，帮助学生理解作差法比较两数的大小关系。 通过例题，使学生熟练作差比较大小的方法及过程，培养数学运算的核心素养。 课堂练习 1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系. (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4m； (2)a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍。 答案： （1）0<h≤4； （2）a＋b≥0； （3） 2.比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小。 解：因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6) ＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0， 所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6)。 3.已知a>b，证明 证明： 即 同理 即 所以 4.(2019北京理,14,5分,中)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒,为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. ①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元; ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 。 思考答题 通过做题巩固本节课的所学知识。 了解等式和不等式涉及到的高考题型，提高应试的实战经验。 课堂总结 1.知识总结：教师带量学生总结本节课的知识内容。 2.课外拓展： 3.课后作业：完成本节课的课后练习题，预习下节课的学习内容。 归纳总结 拓展知识 巩固本节课的知识内容，拓展数学知识，培养数学思维。 板书设计 2.1 等式性质与不等式性质（第1课时） 1.不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 2．作差比较法 步骤：作差，变形，定号 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$