2.1第1课时不等关系教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第1课时：不等关系 1.课时教材分析： 本课是高中数学必修第一册第二章2.1等式性质与不等式性质.从内容理解上来说，难度并不大，主要是通过义教阶段的学习，学生对相等关系与不等关系、等式性质与不等式性质有了初步的了解.本课时在此基础上，进一步通过实际问题背景抽象出一些不等关系，再通过实数比较大小的基本事实，利用作差法，比较两个多项式的大小，并能证明一些不等式，提升逻辑推理素养. 2.课时学情分析： 学生在义教阶段积累了部分数学建模的经验，体验了数学的应用性，对现实生活中的不等关系有了较为深入的了解，而且通过一元一次不等式（组）的求解，加深了对不等式的了解，这些都为本课的学习奠定了知识基础.但是，对于数学对象的抽象性与表达的严谨性，尚有不足，应该通过本课的学习加强这些方面的理解，为接下来的高中学习奠定良好的基础. 3.课时学习重点： 从实际问题背景中抽象出不等关系，并能运用实数比较大小的基本事实，即作差法，比较这些不等关系，证明一些简单的不等式. 4.课时学习难点： 从实际问题背景中抽象出不等关系，并用数学的方法加以证明. 5.开放性学习环境： 小组交流，黑板，白板，视频展台平台. 6.课时学习目标： （1）通过从实际问题背景中抽象出不等关系，发展学生的数学抽象素养； （2）通过由一些基本事实出发比较一些不等关系，灵活掌握证明不等式的多种方法，发展学生的数学运算与逻辑推理素养. 7.课时教学过程： 引导语：我们知道，数学来源于生活、又应用于生活，现实世界和日常生活中存在大量的相等关系与不等关系.反映在数量上，就是相等与不等；它们表示成数学关系式，就是等式（方程）与不等式（组）.初中阶段，我们研究过相等关系与不等关系，还学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法.本节课是在此基础上，进一步系统地研究不等关系. 【设计意图】让学生明确相等关系与不等关系是指实际背景中隐含的关系；而相等与不等，等式（方程）与不等式（组）是反映在数学上的关系，它们之间有联系，也有区别. 环节一：从实际问题背景中的不等关系提取不等式（组） 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速； （2）某品牌酸奶的质量检查规定酸奶中脂肪的含量应不少于％，蛋白质的含量应不少于％； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有直线中，垂线段最短. 【师生活动】（1）（2）是现实生活中常遇到的不等关系；（3）（4）是数学中的一些客观事实反映出的不等关系.学生理解上并不困难，难在能否用严谨的数学表达出这些不等关系，如（1）中，设该路段行驶的汽车的速度为，汽车不超速的要求是；（3）（4）要强调数形结合，由文字语言转化成图形语言，再转化成符号语言. 追问：你还能举出现实生活中或数学中的其它例子，并用不等式或不等式组表示它们的不等关系吗？ 【师生活动】引导学生得出“糖水加糖水更甜”的不等式：已知克糖水中有克糖，现加入克糖，则有（，）.（教材P43第10题） 【设计意图】理解两类背景下抽取不等关系的区别，以及理解实际背景的含义，准确运用符号语言严格表达数学关系式，如是还是？，有没有上限或下限？这些都是为高一学生养成良好的学习习惯做好准备. 问题2：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于万元？ 【师生活动】分析得知，提价前，价格是元，销量是万本，销售总收入就是万元.该问题实际的用意是：提价后，销售总收入不低于怎样才能不低于提价前的. 怎样引入未知数？由“杂志的单价每提高元，销售量就可能减少本”得，若提高个元，此时，则定价为，销量是万本，所得不等式为：，这样就能求出的取值范围，从而知道定价的范围. 也可以直接设定价为元，此时，则销量为万本，所得不等式为：，求出的范围就是定价的范围. 追问：上述关系可用不等式组表示，你知道怎么解吗？ 【设计意图】理解好问题2的数学建模过程，强调问题细节的处理，提出要解好不等式，必须先研究不等式的性质，引出研究的必要性. 环节二：类比两个实数比较大小的基本事实，比较两个多项式的大小. 问题3：解不等式本质上是比较不等式两边的多项式的大小，可以类比两个实数的大小比较方法去理解它.你还记得怎么比较两个实数的大小吗？ 【师生活动】从数与形两个角度分别理解： 从数的角度：要比较实数，的大小，可以通过作差的方法比较，即 ；；. 这种方法谓之作差法.• • • • 从形的角度： 追问1：如何证明上述的糖水不等式：（，）. 【师生活动】由上可知，可以对不等式的两边先作差，然后跟比较. 因为，而， 所以，，，即，故. 追问2：还有其它的证法吗？有作差法，那有没有作商法呢？ 【师生活动】要比较实数，的大小，可以通过作商后跟比较，. 因为，，所以且，， 又由，得，所以（此性质要下节课才学到）， 所以，即得证. 【总结】作差法与作商法都是比较两数大小，或证明不等式常见的方法，作差法的限制条件会少一些，而用作商法要比较的两数应该先转化成正数进行比较. 【设计意图】运用比较两数大小的两个基本事实，提炼出比较大小的两种基本方法，并通过方法的对比运用，让学生体会其中的区别与联系. 巩固练习： 1.（教材P38例1）比较和的大小. 2.（教材P43第11题）已知，证明. 【师生活动】第1题容易，运用作差法即可解决；第2题的结论显而易见，但是如何证明其不等式成立呢？运用作商法，由得，所以，得证.若用作差法并不太能清楚，作为拓展练习，也可以考虑正难则反，运用反证法，拓宽学生的思维. 环节三：研究赵爽弦图，找出图中的相等关系与不等关系，并给予证明. 引语：前面我们从现实生活中，以及数学情境中得出不等关系，列出了不等式（组）.可见，不等式关系蕴含在很多客观事实中.在北京召开的第24届国际数学大会会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的（图1），它看起来像一个风车，把它抽象成几何图形（图2），在正方形中有个全等的直角三角形，每个直角三角形的长分别为，. 图1 图2 问题4：请你画出如图2的赵爽弦图，并在图中找出一些相等关系和不等关系. 【师生活动】（1）四个直角三角形的面积和加一个小正方形的面积等于大正方形的面积， 设，则，即勾股定理. （2）大正方形的面积大于四个直角三角形的面积和，即. 追问1：什么情况下，上式不等式取等号？ 【师生活动】当上图中时取等号，即（当且仅当时取等号）， 追问2：你能用证明它的成立吗？ 【师生活动】从结论出发，要证，即证， 因为，当且仅当时取等号，得证. 反过来说就是，因为（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号）. 【总结】上述证法一中，是从结论出发，执果索因，逆向推理，谓之分析法；而证法二是从条件出发，执因索果，谓之综合法.它们都是证明的重要方法. 【设计意图】让学生画赵爽弦图是重要的一步，能更好地理解它的奥妙.另外，运用分析法与综合法证明这个重要的不等式，是在作差与作商的基础上，进一步研究证明不等式的常用方法，提升学生的逻辑推理能力，为下一节课证明不等式的性质做好铺垫. 环节四：学习小结，归纳提升 （1）本节课的学习线索主要是： 实际问题情境 或数学情境 提取不等关系 用不等式（组）表示 证明或解不等式（组） （2）本节课我们初步接触了运用作差法、作商法与反证法比较两式大小或证明不等式，它们是证明不等式的基本方法.从另一个角度来说，还接触了分析法与综合法，分析法是执果索因，而综合法是执因索果，也是证明不等式的基本思路. 8.课时作业设计： 基础性作业：教材P42第2、3、4题. 拓展性作业：（1）已知，，证明：. （2）查阅网络资料，进一步研究赵爽弦图，并以探究小论文的形式上交. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$