假期必刷27 双曲线-【快乐假期】2024年高二数学暑假衔接一轮大作业

快乐期 假期必刷27 双曲线 《《思维整合室 ②当a一0时,即得到一个一次方程,则/ 与双曲线相交,且只有一个交点,此时,直 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F,F。的距离差的绝对 线/与双曲线的渐近线平行 值等于非零常数(小于F、F。)的点的轨迹 (2)弦及弦中点问题的解决方法与弦长的求解 叫双曲线,其数学表达式:集合P三M 方法与圆类似 ||MF -MF=2a,F F=2c,其中 《《技能提升台 a,c为常数且a>0,c>0. 1.已知双曲线 -*-1(a>0)的离心率是 (1)若 ,则集合P为双曲线; (2)若a一c,则集合P为 /5,则a- ( , ) D. (3)若 ,则集合P为空集. A.6 B.4 C.2 2.双曲线的标准方程和几何性质 2.(2023·上海卷)已知P,Q是曲线P上两 标准方程 点,若存在M点,使得曲线P上任意一点P ### 都存在Q使得MP ·MQ=1,则称曲线 P是“自相关曲线”,现有如下两个命题; 图 形 ①任意圆都是“自相关曲线”;②存在双曲 线是“自相关曲线”,则 ( ) A.①成立,②成立 范围 xa或r一a,yER B.①成立,②不成立 对称性 对称轴: ;对称中心: C.①不成立,②成立 顶点 A.(o.-a).A(o.a) D.①不成立,②不成立 3.(2023·全国乙卷(文))设A、B为双曲线 渐近线 _士 --1上两点,下列四个点中,可为线段 9 也智 离心率 .eE(1,+oo) ( AB中点的是 ) A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) 线段AA。叫做双曲线的实轴,它的长度lAA。 D.(-1,-4) 一2a;线段B.B。叫做双曲线的虚轴,它的长度 4. 惊艳全世界的南非双 实虚轴 |B.B。 一2b;a叫做双曲线的实半轴长,叫做 曲线大教堂是由伦敦 双曲线的虚半轴长 著名的建筑事务所 steynstudio完成的,建筑师的设计灵感源 n.bc的关系 于想法:“你永无止境的爱是多么的珍贵,人 3.直线与双曲线的位置关系 们在你雄伟的翅膀下庇护”,若将如图所示 (1)将直线/的方程Ax+By+C=0(A、B不 的双曲线大教堂外形孤线的一段近似看成 同时为0)代入双曲线方程F(x,y)一0.消 去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方 777 程ax②+bx+c=0(或ay{}+by十c-0). 此双曲线的一条渐近线方程为2x-my-0,则 ( ①当a关0时,则△>0时,直线/与双曲线 此双曲线的离心率为 ) 相交;△一0时,直线/与双曲线相切;△<0 B.5 C.2 D.3 时,直线/与双曲线相离 5.(2023·全国甲卷(理))已知双曲线 =1(a>0,0)的离心率为/5,其中一条渐 近线与圆(x-2)^{}+(y-3)^{}=1交于A,B$$$ (1)求双曲线C的方程; 两点,则]AB一 ( ) (2)设过点(1,0)的直线/与双曲线C交于 C.25 D.#5 M,N两点,问在x轴上是否存在定点Q 使得QM·QN为常数,若存在,求出Q点 {_#} 坐标及此常数的值;若不存在,请说明 理由, 为C,则下面四个命题中错误的是 ( _ A.若C为圆,则1<3 B.若C为双曲线,则t>3或1 C.曲线C可能是圆 D.若C为圆,且长轴在v轴上,则1 2 7.(多选)已知双曲线C过点(3,/2)且渐近线 ) 12.已知等轴双曲线C的焦点在x轴上,焦距 为42. (1)求双曲线的标准方程; B.C的离心率为③ (2)斜率为的直线/过点P(1,0),且直 C.曲线y-e-?-1经过C的一个焦点 线/与双曲线C的两支分别交于A、B 两点, D.直线x-/②v-1=0与C有两个公共点 ①求的取值范围; 8.经过点P(3,2/7),Q(-62,7)的双曲线 ②若D是B关于x轴的对称点,证明直线 的标准方程为 AD过定点,并求出该定点坐标. 9.(2023·北京卷)已知双曲线C的焦点为 (一2,0)和(2,0),离心率为/2,则C的方程 为 =1(a>0,>0)的左、右焦点分别为 F.,F,点A在C上,点B在y轴上,FA化曼味系限观 0M- 11.解：(1)由条件可得PC+|PF1=|PC+|PB1=|BC 技能提升台 =4>1FC=2, 所以动点P的轨迹E是以F,C为焦点的椭圆， 上D[由双南我方程号-y=1,得公=1， -=1(a>b>0) c2=a2+1. 所以2a=4,2c=2,所以a=2,c=1.b=3, -+中1=1+ 片以特点P的软瓷E的方程为号十号=1 a Q. 结合。>0，解得。=子] (2)设M(E1y1),N(x), 2.B,椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得 民主+号可得19z+16m+m120 |MP|·|MQ=1成立，故①正确，在双曲线中，PM|m,一 (y=2x十m, 十∞，而QMm是个固定值，则无法对任意的P∈C,都存 由4=256m2-76(4m2-12)>0,得m∈(-√19，√19). 在QEC,使得|PMIQM=1,故②错误.] 由报与系数的关系得十。-一密车-如。 19 3.D[设A(x4y),B(x2y),则AB的中点 因为MN|=√(1+k)(十x2)-42] M(西十，当） 2 2 /256m16m-481 5(361 19 -1230,解得m=士1 19 当十 12.解：()周为AB为P的长轴，梯形ABCD的高为2 1 可得ku=片二兰，k= 2二=十业 i-x: 十x工十 AB∥CD, 2 所以C点的议生标为号代入轴国方程得后十片= -普- 因A,B在双曲线上，则 可得r=m,又因为C在AB上的射影为r的焦点， 2 ÷c=√m-=3m,解得m=4, 2 两式相减得(x-)-。上=0， 9 m>1..m=2. (2)由题意，桃圈r:号+y=1, 所以如=产=8 直线CD的方程为y=kr十2(k∈R), 对于选项A,可得k=1,k灿=9， 设C(1y)D(xy),则 2+y-1 则AB:y=9x一8， /y=9r-8 y=kx十2 联立方程 化简得(2k2+1)x2+8kx+6=0, 4=64-212+1>0,得>号 72.x2-2×72x+73=0, -8k 6 六+2欢千42k+1 此时△=(-2×72)一4×72×73=-288<0. 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误： ∴OC.0D=十y为=x1x十(k,+2)(kx十2) =(k+1)x1x4+2k(x+x:)+4 对于选项B,可得=一26u=一号 -6(k+D-16k2+8k2+4-2k+10 2k+12k+12k2+12k+1 9 5 则AB:y=一2I-2· =-1+ y= >号所以-1K-1+< 1山<7 联立方程 ,消去y得 新以0心.0心的取值范醫为(-1，子)】 45.x2+2×45.x+61=0, 假期必刷27 此时4=(2×45)2-4X45×61=-4×45×16<0, 思维整合室 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误： 1.(1)a<c(2)两条射线(3)a>c 对于选项C,可得k=3,k=3,则AB:y=3r 2.x∈Ry≤-a或y>a坐标轴原点A(一a,0),A(a,0) 由双曲线方程可得a=1,b=3, y=±台。+6 别AB:y=3x为双曲线的渐近线， 116 三0022 高二数 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误： 9.解析：令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,山，显然双曲 对于选项D,k=4,bu=号，则AB:y-号一子 7 线C的中心为原点，焦点在工轴上，其半焦距c=2, 97 由双曲线C的离心率为√2，得￡=√2，解得a=√2， y=4x4 联立方程 ,消去y得63.x2+126.x-193=0, r-y 则b=√-a=2, =1 9 此时△=126+4×63×193>0，故直线AB与双曲线有交 所以议线C的方程为号一苦= 两个交点，故D正确.] 答案号-号1 4.B[双曲线y-亡=1(m>0)a=1,b=m 1a解折：P-号F店 因为双曲线的一条渐近线方程为2x一my=0,即y= 2 得EA=2」 所以2=上解得m=4. F.B 3 所以a=1,b=2,c=5e=￡=5.] 设F2A=2x,|FB=3x, 5D[双南我C号-芳-1o>0,6>0y的有心来为后.可行 由对称性可得F,B引=3x,由定义可得，AF,=2x+2a, c=√5a,所以b=2a,所以双曲线的渐近线方程为y=士2r A店=5，设∠F,A,=0,时sn0=号>os0=青 一条渐近线与圆(x一2)2+(y一3)=1交于A,B两点，圆 =2十2a,解得x=a.所以AF=4a.AF=2a, 5.x 的间心(2,3)，半径为1，周的圆心到直线y=2x的距离为 是有a-2-5 在△AF,F:中.由余弦定理可得cos0=16a+4a-4C 16a 6AD[著>3，期方程可变形为片名写-1，它表亲接点 =言即5=9d, 在销上的双由线：著心1，时方程可变彩为亡亡 可得e=3⑤ 5 1,它表示焦点在x轴上的双曲线；若2<13，则0<3一1< 答案3 一1，故方程千，十片=1表示焦点在y轴上的精圆：若 1<2,时01一1长3-：截方写十片=1表示焦点 y a 解得a2=4,b=1. 金x的上的箱国：若=2，到方报去十片=1，即为十 人y2 1.解：1)由题意得，上=5 a 2· y=1,它表示圈，综上，选项AD符合题意.] a+6=c2, AC[双曲线C的新运线为y=士号，设双南线C的 双南线C的方程为号-了=1。 (2)假设存在定点Q.设定点Q(1,0), 方程为写y=a≠0，又双曲线C过点(3②，得=1 当直线斜率不为0时，设直线1的方程为x=my十1， 故A三璃：此时C的离心率：=2故B错误：南线y 联立) 4-y=1, 得(m-4)y+2my-3=0, e1一1经过C的焦点(2,0)，故C正确：联立直线和双曲线 r=my+1. C的方程，得△=0，故有一个公共点，所以D错误，] .m-4≠0，且△=4m+12(m2-4)>0,解得m>3且 8.解析：设双曲线方程为m.r2十y2-1(mm<0), m≠4. 因为所求双曲线经过点P(3,2√7)， 设M(x1y),N(xy) Q(-62,7), 2m 3 …y十yg= m一4y为=- n4 所以(9m+28n=1, 75 解得 72m+49拉=1， t6=mg+2-2 -8 251 无x2=(my+1)(my+1)=m2为y+m(y+y2)+1 故所求双曲线的标准方程为 2575=1. =一 3m-2m+1=-4n+4=-4-20 m°-4m2-4 m2-4 m4 QM.QN=(r-t.y).(-t.) 117 快乐假期 990= =(x1-1)(x2-)+My=x12-1(.x1+)+1+yy 假期必刷28 20 8 =一4 3一+ m一4m-4 思维整合室 =-4+2+81-23 1.(1)相等准线 m一4 技能提升台 由QM.Q元为常数，得81-23=0，即1=2 L.D[依题意，动点P到直线x一2=0的距离比它到点 8 M(一4,0)的距离小2，所以动点P到直线x一4=0的距离 此时Q@i:N-器 和它到点M(一4,0)的距离相等，所以点P的轨迹是抛 当直线1斜率为0时，Q.QN=273 物线.] 64 2.A[抛物线y=一子的标准方程为2=一4，开口向 “在x轴上存在定点Q(得0）使得Q,Q为常数 下p=2,号=1，故焦点坐标为(0，-1).] [a=b [a=2 3.A[以桥顶为坐标原点，桥形的对 12.解：(1)由题意可得 2c=42 →b=2 称轴为y轴建立直角坐标系xOy,结 a+6=c2 c=2② 所以双商我的新液方程为号一苦1 合题意可知，该抛物线x=一2py(P >0)经进点（受-A小则号=2hp (2)设直线1y=(一1)，A(y),B(y),D,一为)， /y=k(x-1) 解得一品批桥彩对应的抛物线的焦点到准线的距离为 联立 -1清去)整理可得 44 (1-k)x2+2k2x-k2-4=0, 4.C[依题意，设点A(xy),B(x2y),C(xay), 则△=4k+4(1-k)(k十4)=4(4-3k2), 又焦意F(合0）所以x++=3×名= 又=装+= 2k2 则成++-（+)十(+)十(s+) ①图直线1与双曲线交于两支，所以△>0且x1x<0, 4(4-3k2)>0 即 +2∠0 →-1<k<1: 5.D[图为抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x= 1-k -2,点M在C上， ②设ADy-》+兰(x-x)+y 所以M到准线x=一2的距离为|MF, C1一tg 又M到直线x=一3的距离为5， 令y=0,剥=4X+=出 所以MF|十1=5，故MF引=4.] y1十y: y1十y 6.BCD[因为以FAI为半径的周交1 2.x1x-(x1+x2) 于B,D两，点，所以|FA|=FB:又 十2-2 IBF|=|FD|=|FAI,所以∠ABD -器-是4 =90°，FA=AB,可得△ABF为等 所以直线AD过定点(4,0) 边三角形，B正确：过F作FC⊥AB交 于C,则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为 台，所以A的横坐标为号代入抛物线可得=3p, 2 -p,△ABF的面软为9，脚号（-)x-号· (修+号)·p=9,原，解得p=3,所以袋扬线的方程为 少=6r,D正确：焦点坐标为（受0小所以焦成到准线的距 离为2×2=3，C正璃：此时点A的横整标为号所以BF =1AF=AB=号+号=6，A不正确.] 118