假期必刷21 空间几何体的结构特征、表面积和体积-【快乐假期】2024年高二数学暑假衔接一轮大作业

假期必刷21 空间几何体的结构特 恢弘志士之气,不宜妄自菲薄。 征、表面积和体积 完成日期:_月__口 《《思维整合室 3.柱、锥、台、球的表面积和体积 1.空间几何体的结构特征 名称 表面积 体积 (1)多面体的结构特征 几何体 楼桂 楼锥 名称 楼台 柱体(校柱和圆杜) S面积-S+2S V- ### 锥体(校锥和圆锥) S表面积-S+S V- 图形 V-(S+s# 台体(校台和圆台) Sx面积=S+S++S+ 多边形 互相且 底面 +S:S)h 相交于__, 延长线交 球 侧校 V 但不一定相等 于 侧面 样形 《技能提升台 形状 1.如图,一个水平放置的平 (2)旋转体的结构特征 面图形的直观图是一个 名称 圆杜 园锥 圆台 球 底角为45{的等腰梯形, 图形 已知直观图OABC的面积为4,则该平面图 二0二1一 ( 形的面积为 ) 互相平行 延长线交 A.2 且相等, B.4/2 母线 相交于 于 C.82 底面 D.2/2 轴截面 等腰梯形 圆面 2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为 ( ) 侧面展 扇环 开图 A.12r 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 C.8r D.4π 公式 3.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半 圆柱 圆锥 圆台 径为3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母 2 2r2nt 侧面展 线,_AOB- 开图 0 2:0 9、③ ,则该圆锥的体积为 ( 4 ) Sm锥侧一 侧面积 S台一 S桂 A.r B.6r 公式 C.3元 D.36x ##期 4.如图,在正四梭柱ABCD一 8.(多选)下列说法中正确的是 A.BCD. 中,AB=1,AA A.各个面都是三角形的几何体是三梭锥 B.过球面上任意两点可作球的一个大圆或 ③,点E为AB上的动点,则 无数个大圆 D.E十CE的最小值为 ) C.三校锥的四个面都可以是直角三角形 A.2/2 B./10 D.梯形的直观图可以是平行四边形 C./5十1 D.2十/2 9.(多选)在一个密闭透明的圆柱简内装一定 5.如图,一个直三校柱 体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜 形状的容器中盛有 放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出 的几何形状可能是 ( 水,侧校AA.-4,若 A.圆面 侧面AA.B.B水平放置时,水面恰好过 B.矩形面 AC,BC,A.C,B.C 的中点,当底面ABC C.梯形面 ( 水平放置时,则水面的高为 ) D.圆面或部分圆面 .7 A.2 C.3 10.(多选)(2023·新高考II卷)已知圆锥的顶 点为P,底面圆心为O,AB为底面直径 6.如图,一个矩形边长为1和4, APB=120{*,PA=2,点C在底面圆周 绕它的长为4的边旋转二周 上,且二面角P-AC-O为45*,则( ) 后所得如图所示的一开口容 A.该圆锥的体积为元 器(下表面密封),P是BC中点,现有一只 B.该圆锥的侧面积为4/③ 蚂蚁位于外壁A处,内壁P处有一米粒,若 C.AC-2/② 这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处 D.△PAC的面积为/③ 取得米粒,则它所需经过的最短路程为 11.(2023·新高考II卷)底面边长为4的正四 ,。 _ 校锥被平行于其底面的平面所截,截去一 A.V{+36 B.2+16 个底面边长为2,高为3的正四校锥,所得 D.、$4^2+1 C.4r^{}+36 校台的体积为 12.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则 7.(2023·高考天津卷)在三校锥P一ABC 该圆锥内半径最大的球的体积为 13.(2024·湖南岳阳校考)在四面体S一ABC 3 中,SA-$B=2,且$AI$B,BC=/5,AC 锥P一AMN和三校锥P一ABC的体积之 一、③,则该四面体体积的最大值为 比为 ( ) ,该四面体外接球的表面积为 B.2 . .-02 9.解析:S=1×2+2×2+..+n×2”. 12.解:(1)因为2S-na.. 则2S-1×2+2×2+..+n×2,两式相减 当n-l时,2a-a,即a-0; 当n-3时,2(1+a)-3a。,即a-2. 一n.2+. 当n3时,2S-(n-1)a.-1. 故S-2+(n-1).2.又a-2. 所以2(S -S.)=na.-(n-1)a-2a。. 'S.-n.+50-2+(n-1)·2-n·2+50 化简得:(n-2)a。-(n-1)a.-1. -52-2,依题意52-21<0. 故最小正整数n的值为5. 当n-1,2,3时都满足上式, 答案:5 所以a.-n-1(nEN). 10.解析:.数列a.)的后7项成等比数列,a.0. (2)为“,以.,一1()△→×()} '.a=a-v12x192-48, 3#()(). 一##一# #1.-1×()+2×()+.+(Gn-1)×()*+ #() .a.-3×2-6, 又该数列的前3项成等差数列, 两式相减得, 3(a+a)6x(2-1) 心数列a。》的所有项的和为一 1.-()+(){}+()+.+() -× 2 2-1 3X(1+3)+378-384. (4)()() 2 1-} 答案:48 384 11.解:(1)设{a的首项为a.,公差为d,由S-32, =1-(1+)(), 得4a.+6d-32. #$ -a -6,b-2a -2a+2 d,b-a -6-a +2 -6 即T.-2-(2+”)()eN. 所以T-4a.+4d-12-16,即a+d-7, 假期必刷21 解得{ (a-5. d-2. la:十-7。 思维整合室 所以a.)的通项公式a.一2n十3. 1.(1)平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 (2n一3,n为奇数. 平行四边形 三角形 (2)证明:由(1)知b一 (4n十6,n为偶数. (2)垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 矩形 扇形 当n2k(N)时,T.- (-1)+(-1)x4+14+ 2.2xrl πrl x(r.+r)1 2 3.Sh #1sS AR1R &(-1)×8-6^+7h. 2 技能提升台 S.-2^×5+2(2h-1)×2-4^{+8k, 1.C [由$s=2②S+,得San-2②×4-8v2] 2 T.-$-2}--(2-1). 2.A [由题意可知正方体的校长为2,其体对角线为2③即为 当n5即 2时,(2 -1)>0. 球的直径,所以球的表面积为4xR^{}一(2R)^{}π-12π.] 所以TS: 3.B [在△AOB中,AOB-120{*,而OA-OB=③,取AB 当n-2k+1(beN )时:T.-+1)(-1)+1) ×4+ 中点C,连接OC,PC,有OC)AB,PC1AB,如图. 2 14七+&1)×8-6般+11-1, 2 $.-(2+1)×5+(2+102×2-4+12+5. 2 T.-S-2k* -k-6-(2k+3)(-2). 当n5,即 >2时,(2h+3)(-2)>0. 所以T.>S.. ### 乐假期 Va-PAC 3SAPA·BB ##93得×3XPC-9# 3×(PA·MM)·NN' #3×(PA·Cc)·BB ##(3#-{{#一 8.BC [对于A,如两个同底的三极锥构成的六面体,不是三 极锥,故错误;对于B,球面上任意两点与球心共线时,可以 所以锥的体积V-XOA×PO-(\③){ 作球的无数个大园,与球心不共线时,可以作球的一个大圆, -6π] 故正确;对于C,一条侧校垂直于底面直角三角形的一个锐 4.B [如图,连接AD,BC. 分别延长至 角顶点的三校锥满足题意,故正确;对于D,作直观图时,平 F.G.使得AD=AF,BC-BG,连接EG. 行于x轴的线段长度不变,平行于v轴的线段长度减半,故 FG.·'四梳柱ABCD一ABC.D 为正 错误。了 四校柱,.AB平面ADDA,ABI平 9.ABD [将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面为 面BCCB..'.AB AF.ABIBG 圆面或部分圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形面,但 又AB-AD-AF. 圆柱桶内的水平面不可以呈现出样形面, '四边形ABF为正方形 10.AC[如图,由APB一 120*,AP-2可知,底面直 '$EG-BE+BG-BE+BC -CE, 径AB-23,高P0-1,故 '.DE十CE的最小值为DG 该园锥的体积为π,故AA 对:该圆锥的侧面积为 又 D G-DF+FG=9+1-10. 2\3π.故B错;连接CB,取AC中点为Q,连接Q0.PQ,易 ..DE+CE的最小值为10.] 证二面角P一AC-O的平面角为 PQ0-45{*},所以Q0= 5.C [当侧面AA.B.B水平放置时,水的形状为四校柱,底面 PO-1.PQ-v②,所以BC-2.所以AC-2v2,故C对; 是梯形,面积为S,此时水的体积V一S·AA.一4S,当底面 Sro-AC·PQ-2,故D错.] ABC水平放置时,水的形状为三校柱,设水面高为力,此时水的 11.解析:由题意易求正四梭锥的高为6,V.。一V一 1x4×4×6-x2x2×3 6.A [依题意可得圆柱的底面半径r一1,高h一4,将圆柱的 V校一 例面(一半)展开后得矩形ABCD,其中AB一π,AD一4,问 -28. 题转化为在CD上找一点Q,使AQ十PQ最短,作P关于 答案:28 CD的对称点E,连接AE,令AE与CD交于点O(图略),则得 12.解析;圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切 AQ+PQ的最小值就是AE- +(4+2)=x+36.] 球,设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB, 7.B [如图,分别过M.C作MM 如图所示,则△PAB的内切圆为圆锥的内切 1PA,CCPA,垂足分别为 球的大圆,在△PAB中,PA一PB一3,D为 M,C',过B作BB'1平面PAC AB的中点,AB-2,E为切点,则PD-22. 垂足为B,连接PB,过N作 NN'|PB,垂足为N. 因为BB'1平面PAC,BB'C平面PBB, ##,$切珠的为#{})#一#### 所以乎面PBB 乎面PAC 又因为平面PBBO平面PAC-PB,NN'IPB 答案:# NNC乎面PBB',所以NN'乎面PAC 且 BB/NN. 13.解析:四面体的体积最大时即平面SAB1平面ABC 在△PCC中,因为MM PA,CC'PA. SA-SB-2,且SA1$B,BC-5.AC-3. 所以ACB-90{, 取AB的中点H,连接CH,SH, SH AB,乎面SABO乎面ABC=AB,SH在乎面SAB 106 高二数学 内,而$H-v②·sA-. 则FO-1,FO-v2. '.EF与平面ABCD所成的角的正切A 所以SH1平面ABC,所以Vs-Ax-·S_△e·SH 值为^{。) #-#×##-## 5.B [对于A,当P是A.C. 的中点时, - 则外接球的球心在SH上,设球心为O.连接OC. BP与DD,是相交直线;对于B,根据异面直线的定义知, CH-·AB-xv·SA-2 BP与AC是异面直线;对于C,当点P与C.重合时,BP与 AD.是平行直线;对于D,当点P与C,重合时,BP与BC 因为SH-25SA-2. 是相交直线.] 6.C [如图,取AB的中点E,连接 所以O与H重合,所以R-CH-SH-2. CE,DE,因为△ABC是等腰直角 所以四面体的外接球的表面积S一4xR{}一8π 三角形,且AB为斜边, 则有CEAB. 又△ABD是等边三角形, 则 DE1AB 从而CED为二面角C一AB一 D的平面角, 即CED-150*, 显然CEODE一E,CE,DEC平面CDE,于是AB]平面 答案:30 81 CDE,又ABC平面ABC 假期必刷22 因此平面CDE 平面ABC,显然平面CDEO平面ABC -CE. 思维整合室 直线CDC平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为 1.一条直线 交线 相交直线 相交 交线 两条相交直线 直线CE. 平行 垂线 /二3 交线 /二 从而 DCE为直线CD与平面ABC所成的角. 2.(2)(o】 3.(1)射影90*(2)[o.吾] 令AB-2,则CE-1,DE-3,在△CDE中. 由余弦定理得: 4.(1)两个半平面(2)乙AOB CD=CE+DE-2CE·DEeos CED 技能提升台 #1+3-2×1×\×-#7.# 1.C [如图,连接BE,因为AB/CD,所 以异面直线AE与CD所成的角等于相 A CD 交直线AE与AB所成的角,即为 之EAB.不妨设正方体的核长为2,则 得sin DCE3sin 150*3 7 27' CE-1,BC-2,由勾股定理得BE-5. 又由AB 1平面BCC.B,可得AB BE,所以tan EAB 显然 DCE是锐角,cos DCE=1-sin DCE #7 ###)### 2.B [根据mCa,m//③得不到a/B,因为a,③可能相交,只要 m和a,③的交线平行即可得到m/B;反之,a/B,m二a,所以 m和3没有公共点,所以n/B.即由a/③能得到m/B.所以 “m/”是“a/了”的必要不充分条件,] 所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为 3.B [A中,m,"可能平行,相交或异面;C中,a与③可能平 行或相交;D中,a与③可能平行或相交。] 7.C [如图,过E作EO1平面ABCD,垂足为O,过E分别作 4.D[如图,取BC的中点O,连接OE,OF,.F是B.C的中 EG |BC,EM1AB,垂足分别为G.M,连接OG,OM. 点...OF/BB...FO平面ABCD. #7# '. /FEO是EF与平面ABCD所成的角 设正方体的枝长为2. 107