假期必刷20 数列的综合问题-【快乐假期】2024年高二数学暑假衔接一轮大作业

三0022 假期必刷20数列的综合问题 积土而为山，积水而为海。 完成日期： 《思维整合室 (2)分组转化法 1.典型的递推数列及处理方法 把数列适当拆分，分为几个等差、等比数 列，先分别求和，然后再合并，形如： 递推式 方法 示例 ①{an士bn},其中{an}是等差数列，{bn}是 a1=1, 等比数列： aa+1=an十f(n) 累加法 am+1=an十2n @a,=nn=2k-1. g(n),n=2k(k∈N*) a1=1, (3)裂项相消法 an+=a,f(n) 累乘法 an+1=2"an 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相 消，剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 am+1=pan十g 化为等 a1=1, 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等 (p≠0,1,9≠0) 比数列 am+1=2an+1 差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 an+=pan 化为等 a1=1,am+1 主要用于一个等差数列与一个等比数列对 十q·p+1 差数列 =3an十3"+1 应项相乘所得的数列的求和，即等比数列 (p≠0,1,9≠0) 求和公式的推导过程的推广，形如：{a,· Aa 两边同时 6,…份}其中(a,是等差数列.6，是等 如am+1一 Ba,+C 取倒数构 2an am+1 (A,B,C为常数) 造新数列 am十2 比数列. (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解， (1)am+1=pa,十q(p≠0,1，q≠0)的求解方法 则称之为并项求和.形如an=(一1)”f(n) 是：设a+1十入=p(an十A),即am+1=pa,十 类型，可采用两项合并求解.例如，S,= p以一入，与am+1=pan十q比较即可知只要入 1002-992+982-972+…+22-12=100 +99)+(98+97)+…+(2+1)=5050. p-1 《技能提升台 (2)a+1=pa,十q·p(p≠0,1,9≠0)的求解方 1.数列{a,}的通项公式是an=(一1)”(2m一1)，则 法是两端同时除以少，即得。岩一会= 该数列的前100项之和为 () A.-200B.-100C.200D.100 数列4}为等差数列. 2.设数列{an}的前n项和为Sw,若an= p” 1 2.求数列的前n项和的方法 二，则Sg= ( n+I+ (1)公式法 A.7 B.8 C.9 D.10 ①等差数列的前项和公式 1 s,=n(a+a）=a,+nn,1)d. 3数列1235g76,(2m-1D+ 2 2 …的前n项和Sn的值等于 ( ②等比数列的前n项和公式 (i)当g=1时，Sn=na1; A+1是 B.2m2-n+1-1 2” （i)当9≠1时，S=a11-92_a1-a,9 C.n2+1- 1 1-q 1-q 2 D.n2-n+1- 2 39 快乐假期 90-= 4.在数列a中a=2a=a+h1+》则 10.(2023·高考北京卷)我国度量衡的发展有 着悠久的历史，战国时期就出现了类似于 an等于 ( 砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知 A.2+In n B.2+(n-1)In n 9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成 C.2+nln n D.1+n+ln n 项数为9的数列{an},该数列的前3项成 5.(2023·新高考I卷)记Sn为数列{an}的前 等差数列，后7项成等比数列，且a=1,a n项和，设甲：{an}为等差数列；乙： 为 =12,a。=192,则a7= ,数列{an} n 的所有项的和为 等差数列.则 ( 11.(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 列，6=只。一6，n为奇数， 记Sn,Tm分别为 2amn为偶数， C.甲是乙的充要条件 数列{an},{bn}的前n项和，S=32,T D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 =16. 条件 (1)求{an}的通项公式： 6.(多选)数列{an}的前n项和为S,,已知Sn (2)证明：当n>5时，Tn>S =一n2十7n,则 A.{an}是递增数列 B.a1o=-12 C.当n>4时，an<0 D.当n=3或4时，S,取得最大值 7.(多选)如图所示， 将平面直角坐标系 中的格点（横、纵坐 标均为整数的点) 的横、纵坐标之和 0 12.(2023·全国甲卷（理）)已知数列{am}中， 作为标签，例如：原 iae_jaz_g--6 ao a2=1,设S。为{an}前n项和，2Sn=nan 点处标签为0，记 (1)求{a.}的通项公式； 为a;点(1,0)处 标签为1，记为a1;点(1,1)处标签为2，记为 （2)求数列，十1的前n项和T 2” a2:点(0,1)处标签为1，记为a3;点(-1,1) 处标签为0，记为a:…以此类推，格点(i, j)(i,j∈Z)处标签为i+j,记S。=a1+a2十 …十an则 A.a2023=-1 B.S22z=-1 C.asn=0 D.S(n1) 2 8.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1, Sn+1-2S。=1,n∈N”,则数列{an}的通项 公式为 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且am=2”, 且使得S。一a+1十50<0的最小正整数n 的值为 400M-= 12.解：(1)因为3a4=3a1十a1,故3d=a1=a1+2d,即a1=d, 5.C[因为{an}为等差数列，设其首项为a1,公差为d,则S 故a,=nd,所以么=”_”，s.=m+1☑ nd d 2 =m+n2D4,=a+"=号+a,-号 2 2 无-结”.8+T-21.即34-21 2d 2d 即2d-71+3=0,故d=3或d=号（含 故（倍}为等差数到，则甲是乙的克分条件： 故{an}的通项公式为a=3n. n2十n 反之侣倍}为等装载到：中岩-各-5》8 n(n+1) (2)易知6.-a,十(m-1Dd 所以么=品-4a 阳一S为常数，设为” n(n十1) 1 即阳1一S 因为{b,是等差数列，所以2b=b十b, n(n十1) =1,故S=a+1一4·n(n十1) 所以十品 故S.-1=(n-1)a.-t·n(n-1),n≥2. 两式相减有：a。=na1-(n-1)a,-2n→a.+1一a.=21,且 整理得(a1-2d)(a1-d)=0.所以a1=2d或a1=d. 为常数，对n=1也成立，故{a.}为等差数列，则甲是乙的必 当a=d时，a,=nd,a1=d>1. 要条件，故甲是乙的充要条件，] 于是么，="宁，8=mD.T,=n》, 6.BCD[A选项，当n≥2时，a。=S。-S-=-2n十8，又a 2 2d =S,=6=-2×1十8，所以a。=-2m十8，因为a+1一a,= 而S,-T4=99,所以50d-5=1,解得d=到或d=-1 d 50 一2(n+1)+8+2n-8=一2<0，则{a.)是递减数列，故A (舍去). 错误；B选项，由an=一21十8，可得a1u=一12，故B正确：C 当a=21时a,=a+1Dd.6-””-子故 选项，令4，=一2n十8<0，解得n>4,故C正确：D选项，因 S.-u(n3d.T.-D,x--99. 为y=-+7的对称轴为r=子，开口向下，又nEN,所 2 2d 以当n=3或4时，S。取得最大值，故D正确.门] 脚99X102d_99X100=99,脚51d-4-50=0,所以 2 2d 7.AD[对A,由题意得，第一图从a1(1,0)到au(1,一1)共8 个点，由对称性可得a1十a:十…十ag=0,第二圈从a(2, d=- 职（含）或d=1(合)：蜂上可知d=品 -1)到a,(2,一2)共16个点，由对称性可得a十@10十…十 假期必刷20 4=0,根据归纳推理可得第n圈共有8n个，点，这8n项的 技能提升台 和也是0.设a1m在第n图，则8十16+…十8n=4m(n十1)， 且4×22×(22十1)=2024，由此可知前22图共有2024个 1.D[S1m=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199) 点，即S:21=0,且a224对应点为(20，一22)，所以a2对应 =2×50=100.] 点为(21，一22)，所以a:a=21-22=-1,故A正确：对B, 2.c[a.= 1 =√m十I-Vn,所以Sm=(2-1)+ n1+ 因为S224=0,所以Sm=S24一a::一a:=0一(22 (5-√2)+…+（√100-√99）=√100-1=9.] 22)一(21一22)=1，故B错误：对C,由图可得a牡对应点为 (1,3),所以a0=1+3=4≠0，故C错误：对D,因为S,2, 3.A[8=[1+3+…+(2m-1D]+(侵+号++） =S2n-(a2+n十aw2+w-1十…十an2+w+),又aw2+n对 应点为(m,一n).所以a,2+n=0,a4+-t对应点为(n-1 2 =+1-] 一n).所以an2+u-1=一1，…a4w+3w+1对应点为(1.一n),所 12 以a42+m1=-(n-1),所以S2+3m=0-[-1-2-… 4.A[周为a+:-a,-ln+-ln(m+1)-lnn, (m-1)门=nnD,故D正确.] 2 所以ag-a1=ln2-ln1ag-a=ln3-ln2, 8.解析：因为Sw+1一2S。=1,所以S.+1=2S.十1. 4-a=In 4-In 3. 因此S。+1+1=2(S.十1)，因为a1=S,=1,S,+1=2,所以 (S,十1}是首项为2，公比为2的等比数列. a.-a.-1=In n-In(n-1)(n22). 所以S.十1=2°.S=2-1. 把以上各式分别相加得a.一a=lnn一ln1, 当n≥2时，a,=S。-S,-1=21,a1=1也满足此式， 则an=2+lnn(n≥2)，且a1=2也造合， 所以a,=2"-1,n∈N”. 因此a.=2+lnn(n∈N).] 答案：a.=2-',n∈N 104 三0022 9.解析：5。=1×2+2×2十…十n×2°， 12.解：(1)因为2S=0。, 则2S。=1×2+2×2十…十n×2"+1,两式相减得 当n=1时，2a1=41,即a1=0: -5.=2+2++2-4·21=21-22-n·2+1. 当n=3时，2(1+a)=3ag,即a=2 1-2 当n≥3时，2S。-1=(n-1)aw-1 故S=2+(n-1)·2+.又a,=2, 所以2(S.-S。-1）=na.-(n-1)a.-1=2an, ∴S。-a,+1+50=2+(n-1)·2t1-n·2+1+50 化简得：(n-2)a=(n-1)d.-1, =52-2+1,依题意52-2+1<0， 当≥8时片一-号-1，即a,=1一1， 故最小正整数n的值为5. 当n=1,2,3时都满足上式， 答案：5 所以a.=n-1(n∈N”). 10.解析：：数列{a,)的后7项成等比数列，a,>0, .a,=√aa=√/12X192=48, ②周为-兰所以工，=1×（付）+2×（位）广 2 a 3x(侵）)++x(侵)八 x.=1x(传)广+2x(传）广++m-1x(合)广 a1=3×2=6, x(位)”. 又该数列的前3项成等差数列， 两式相减得， 六数列(a,的所有项的和为3(a十a)+6×(2-业 2 2一1 是x.=(位)+（侵）+()+…+()-× 3×(1+32+378=384. 答案：48384 】 1-2 11.解：(1)设{a.}的首项为u1,公差为d,由S=32, 得4a1+6d=32, 1(+号)2： 又b1=a1-6,b=2a2=2a1+2d,b=a-6=a1+2d-6, 即T=2-(2+(2)厂meN. 所以T3=4a1+4d-12-16,即a1+d=7, 4a1+6d=32 解得，5， 假期必刷21 由 a+d=7, (d=2, 思维整合室 所以a.}的通项公式a.=2n+3. 1.(1)平行全等平行相似平行且相等一点一点 平行四边形三角形 (2)证明：由(1)知b,= 2n-3,n为奇数， 4n十6，n为偶数. (2)垂直一点一点矩形等腰三角形矩形扇形 当n=2k(k∈N)时，T,=k(-1D+E2D×4十146+ 2.2xrlπrlπ(r:十r)l 2 a.sh吉s%4R专成 k(k-1D×8=6k+7k 2 技能提升台 S=26X5+2k(26-DX2=4k+8k. 2 L.C[由S时w=22S发m,得Samw=2V2×4=82.] T.-S.=2k2-k=k(2k-1), 2.A[由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2√即为 当m>5即k>2时，k(2k-1)>0, 球的直径，所以球的表面积为4πR2=(2R)”T=12元.] 所以T>S: 3.B[在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=3,取AB 中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图， 当=2k+1(∈N)时，T,=(k+1)(-1D++D×4+ 2 14k+,D×8=6k+1k-1, 2 s=(2+1DX5+2+)2×2=4k+12k+5. 2 T,-S.=2k-k-6=(2k+3)(k-2), 当n>5,即k>2时，(2k+3)(k-2)>0, 所以T.>S 105