假期必刷19 等比数列-【快乐假期】2024年高二数学暑假衔接一轮大作业

三022 工欲善其事，必先利其器。 假期必刷19 等比数列 完成日期： 月 思维整合室 《技能提升台 1.等比数列的概念 1.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与 项和为168，a2一a5=42,则a6= () 它的前一项的比都等于 常数，那 A.14 B.12 C.6 D.3 么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做 2.(2023·天津卷)已知{a.}为等比数列，S 等比数列的公比，公比通常用字母q表示 为数列{an}的前n项和，an+1=2S。十2，则 (显然q≠0). a,的值为 A.3 B.18 C.54D.152 数学语言表达式：。”=90≥2,0为非零 3.(2023·新高考Ⅱ卷)记S。为等比数列{am》 常数) 的前n项和，若S,=一5，S。=21S2,则S8= (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数 ( G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与 A.120 B.85 C.-85D.-120 b的等比中项.此时G2= 4.(2023·全国甲卷（理）)已知等比数列{am》 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 中，a1=1,Sn为{an}前n项和，S=5S-4, (1)若等比数列{a,n}的首项为a1,公比是q,则 则S4= ( 其通项公式为an= A.7 B.9 C.15D.30 通项公式的推广：an=ang” 5.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库 之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高 (2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，S。 窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石 =na1；当q≠1时，S。 窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每 =a1二ag 1-q 上层的数量是下层的2倍，总共有1016个 3.等比数列的性质 “浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图 已知{an}是等比数列，S,是数列{a,}的前n 案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一 项和 个数列{an},则log2(a3a)的值为() A.16B.12 C.10D.8 (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N),则有 6.(多选)若{an}是公比为q(q≠0)的等比数 ae·a1= 列，记S,为{an}的前n项和，则下列说法正 (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数 确的是 ( 列，即a,e+ma+2m…仍是等比数列，公 A.若a1>0,0<g<1,则{an}为递减数列 比为 B.若a1<0,0<q<1,则{an}为递增数列 (3)当g≠一1，或q=-1且n为奇数时，S。, C.若q>0,则S,+S>2S S2n一Sn,Sm一S2u,…仍成等比数列，其公 比为 D.若b,=上，则{h}是等比数列 37 火堡快乐慨期 S90= 7.(多选)下列命题中，正确的有 12.(2023·新高考I卷)设等差数列{an}的公 A.数列{an}中，“an=2am-1(n≥2，n∈N)” 差为d,且d>1.令6，=心十”，记S,T. 是“{an}是公比为2的等比数列”的必要 a 不充分条件 分别为数列{an},{bn}的前n项和. B.数列{an}的通项为an=2n2十n,若{a,》 (1)若3a2=3a1+ag,S3+T3=21,求{am》 为单调递增数列，则>一4 的通项公式： C.等比数列{an}中，a2,a1o是方程x2一8.x十 (2)若{bn}为等差数列，且Sg-Tg=99, 4=0的两根，则as=士2 求d. D.等差数列{an〉，{bn}的前n项和分别为 5工若产-则哈-得 b,13 8.(2023·全国乙卷（理）)已知{am}为等比数 列，a2a4as=a3a6,aa1o=-8,则a,= 9.已知等比数列{a,}共有2n项，其和为 一240，且奇数项的和比偶数项的和大80， 则公比9= 10.设数列{xn}满足logx+1=1十log（a>0, a≠1)，若x1十x2十…十x1=100,则x1o1十 102+…十x200= 11.已知公比大于1的等比数列{a,}满足a2十 a,=20,a3=8. (1)求{a}的通项公式； (2)求aa2-a2a3十…+(-1)-anan+1 38三022. 高二教学) 假期必刷19 所以有a,+1>a,→2(n十1)+(n+1)>2n2+n→A>-4n 思维整合室 一2，因为画数f(n)=一4n一1(n∈N)是减函数，所以> 1.(1)同一个(2)ab f(1)=一6，因此选项B不正确：因为在等比数列{，}中，设 2.(1)a1g- (2)41-g) 公比为q,a,am是方程x2一8x十4=0的两根，所以有a,· 1-g a1n=4>0,a2十a1o=8>0,于是有au>0,aw>0,而as= 3.(1)am·a,(2)g(3)g ar·g>0,所以a6=√a4m=√④=2，因此遮项C不正确： 技能提升台 因为等差数列(a},{b)的前n项和分别为S.,T.,所以由 1,D[设等比数列(an}的首项为a1,公比为q,由题意， S15 2 +a+a=168.中1++=168 鲁完贵年 (a2-a.=42 (a1g(1-g)=42 2 1a1(1+g十g)=168 项D正确，] (a1g(1-g)(1+g+g)=42 解得g=2a1=96, 8.解析：设{a.)的公比为g(g≠0)， 则aa,a=aa6=aug·aq,显然a,≠0， 所以a6=a1q=3.] 2.C[由题意可得：当n=1时，a2=2a,+2,即a,g=2a十2，① 则a,=q,即a1g=4,则a19=1, 因为aan=-8,则419·a1g=一8. 当n=2时，a3=2(a1十a)+2,即ad=2(a1+ag)+2,② 则4"=()2=-8=(-2)2，则g=-2, 联立①②可得a,=2,q=3,则a,=a1g2=2X3=54.] 则a,=a1g·=1×(-2)=-2. 3.C[由等比数列的性质可得S,S,一S,S一S,S一S,为 答案：一2 等比数列，因此(S-S)=S(S-S,),将S,=-5.S=21S 9.解析：由题设，Sm=S+一80.S。=一240. 代入上式.解得S=一1合)域，此时S=1,由等比数到 (54十gS4=-240,.(S#=-80, 性质可知S,-S2,S6一S,S。一S。为等比数列，解得S= (gS4=S+-80, (g=2. -85.J 答案：2 4.C[等比数列{a.}中，设公比为g,a1=1,S。为{a.}前n项 10.解析：1logr+1=1十logx(a>0,a≠1). 和，S=5S,一4，显然q≠±1，（如果9=1，可得5=15-4矛 期1=bog.r.-log5,=log, 盾，如果q=-1,可得-1=-5-4矛盾)， 可得号-5昌号-4解释行=4，即9=2或9=-2 “出=a,数列{工，是公比为a的等比数列， x1十x2十…十x16=100, 所以事g-2时8-号--1返 ∴.xo1+x1r+…+x30=a(x1++…+1m) 当g=-2时，5，=1-91+2 -1-9-1-16 =一5，没有选项.] =100a. 答案：l00a∞ 5.B[现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是 11.解：(1)设(a.)的公比为q(g>1),且a2十a:=20,a1=8. 下层的2倍，总共1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一 幅优美的图案，从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列 9+a9=20. {an},则{a。}是以2为公比的等比数列，127a1=1016.解得 (a1g=8. a1=8,a,=8×2-1(1≤n≤7，n∈N) 消去a得叶日-2时=2成g-吉合 ∴a3·a=2×2=22,log(a,a）=log22=12.] 因此q=2,a1=2,所以{a.}的通项公式a.=2" 6ABD[A.B显然是正确的：C中，若a=1,g=名，则a,< (2)易知(-1)a,a,+1=(-1)-1·2+1, 则数列{（一1）2}公比为一4. a,即5-S,<S-5,故C错说：D中，=a=(g 故aag-a2a十…+(-1)1·a,a, ≠0)，《b}是等比数列.] =2-2+22-2°+…+(-1)-1·2+1 7.AD[因为当a.=0时，显然数列{a}不可能是等比数列， 1+4 但是{a}是公比为2的等比数列一定有a,=2a,,(n≥2 2-g1-(-门 n∈N)成立，因此选项A正确：因为{a.}为单调递增数列， -(-1.2 5 5 103 0M-= 12.解：(1)因为3a4=3a1十a1,故3d=a1=a1+2d,即a1=d, 5.C[因为{an}为等差数列，设其首项为a1,公差为d,则S 故a,=nd,所以么=”_”，s.=m+1☑ nd d 2 =m+n2D4,=a+"=号+a,-号 2 2 无-结”.8+T-21.即34-21 2d 2d 即2d-71+3=0,故d=3或d=号（含 故（倍}为等差数到，则甲是乙的克分条件： 故{an}的通项公式为a=3n. n2十n 反之侣倍}为等装载到：中岩-各-5》8 n(n+1) (2)易知6.-a,十(m-1Dd 所以么=品-4a 阳一S为常数，设为” n(n十1) 1 即阳1一S 因为{b,是等差数列，所以2b=b十b, n(n十1) =1,故S=a+1一4·n(n十1) 所以十品 故S.-1=(n-1)a.-t·n(n-1),n≥2. 两式相减有：a。=na1-(n-1)a,-2n→a.+1一a.=21,且 整理得(a1-2d)(a1-d)=0.所以a1=2d或a1=d. 为常数，对n=1也成立，故{a.}为等差数列，则甲是乙的必 当a=d时，a,=nd,a1=d>1. 要条件，故甲是乙的充要条件，] 于是么，="宁，8=mD.T,=n》, 6.BCD[A选项，当n≥2时，a。=S。-S-=-2n十8，又a 2 2d =S,=6=-2×1十8，所以a。=-2m十8，因为a+1一a,= 而S,-T4=99,所以50d-5=1,解得d=到或d=-1 d 50 一2(n+1)+8+2n-8=一2<0，则{a.)是递减数列，故A (舍去). 错误；B选项，由an=一21十8，可得a1u=一12，故B正确：C 当a=21时a,=a+1Dd.6-””-子故 选项，令4，=一2n十8<0，解得n>4,故C正确：D选项，因 S.-u(n3d.T.-D,x--99. 为y=-+7的对称轴为r=子，开口向下，又nEN,所 2 2d 以当n=3或4时，S。取得最大值，故D正确.门] 脚99X102d_99X100=99,脚51d-4-50=0,所以 2 2d 7.AD[对A,由题意得，第一图从a1(1,0)到au(1,一1)共8 个点，由对称性可得a1十a:十…十ag=0,第二圈从a(2, d=- 职（含）或d=1(合)：蜂上可知d=品 -1)到a,(2,一2)共16个点，由对称性可得a十@10十…十 假期必刷20 4=0,根据归纳推理可得第n圈共有8n个，点，这8n项的 技能提升台 和也是0.设a1m在第n图，则8十16+…十8n=4m(n十1)， 且4×22×(22十1)=2024，由此可知前22图共有2024个 1.D[S1m=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199) 点，即S:21=0,且a224对应点为(20，一22)，所以a2对应 =2×50=100.] 点为(21，一22)，所以a:a=21-22=-1,故A正确：对B, 2.c[a.= 1 =√m十I-Vn,所以Sm=(2-1)+ n1+ 因为S224=0,所以Sm=S24一a::一a:=0一(22 (5-√2)+…+（√100-√99）=√100-1=9.] 22)一(21一22)=1，故B错误：对C,由图可得a牡对应点为 (1,3),所以a0=1+3=4≠0，故C错误：对D,因为S,2, 3.A[8=[1+3+…+(2m-1D]+(侵+号++） =S2n-(a2+n十aw2+w-1十…十an2+w+),又aw2+n对 应点为(m,一n).所以a,2+n=0,a4+-t对应点为(n-1 2 =+1-] 一n).所以an2+u-1=一1，…a4w+3w+1对应点为(1.一n),所 12 以a42+m1=-(n-1),所以S2+3m=0-[-1-2-… 4.A[周为a+:-a,-ln+-ln(m+1)-lnn, (m-1)门=nnD,故D正确.] 2 所以ag-a1=ln2-ln1ag-a=ln3-ln2, 8.解析：因为Sw+1一2S。=1,所以S.+1=2S.十1. 4-a=In 4-In 3. 因此S。+1+1=2(S.十1)，因为a1=S,=1,S,+1=2,所以 (S,十1}是首项为2，公比为2的等比数列. a.-a.-1=In n-In(n-1)(n22). 所以S.十1=2°.S=2-1. 把以上各式分别相加得a.一a=lnn一ln1, 当n≥2时，a,=S。-S,-1=21,a1=1也满足此式， 则an=2+lnn(n≥2)，且a1=2也造合， 所以a,=2"-1,n∈N”. 因此a.=2+lnn(n∈N).] 答案：a.=2-',n∈N 104