假期必刷17 平面向量的数量积及其应用-【快乐假期】2024年高二数学暑假衔接一轮大作业

三0022 富二教学的， 有志者，事竟成。 假期必刷17平面向量的数量积及其应用 完成日期： 月 《思维整合室 【《技能提升台 1.平面向量数量积的有关概念 1.在边长为3的等边三角形ABC中，BM= (1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b,O 吉MC.则B所，Bi ( 是平面上的任意一点，作OA=a,OB=b, 则∠AOB=0(0≤≤π)叫做向量a与b的 A号 B c D. 夹角. 2.已知向量a,b满足a=|b=|a-b|=1, (2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b, 则2a+b|= ) 它们的夹角为0，我们把数量 A.3 B.3 C.7 D.√7 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作 3.(2023·全国乙卷（文）)正方形ABCD的边 a·b,即a·b= 规定：零向 量与任一向量的数量积为0，即0·a=0. 长是2，E是AB的中点，则EC·ED= (3)投影向量 ( 如图，在平面内任取一点O,作 A.5 B.3 C.25 D.5 OM=a,ON=b,过点M作直 4.(2023·新高考I卷)已知向量a=(1,1),b BM N 线OV的垂线，垂足为M,则OM就是向 (1,-1),若(a十b)⊥(a十b),则 () 量a在向量b上的投影向量. A.λ十=1 B.λ十=-1 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的 C.4=1 D.4=-1 夹角为0，则OM与e,a,0之间的关系为 5.非零向量a,b,c满足a·b=a·c,a与b的夹 OM,=lal cos 0e. 角为，b=4,则c在a上的投影向量的长 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 度为 ( 设向量a=（x1,y1),b=（x2,y2),0为向量 A.2 B.23 C.3 D.4 a,b的夹角. 6.在北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开 (1)数量积：a·b=abcos=x1x2+y1y2 始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十 (2)模：a=√a·a=√+y 分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长 (3)夹角：cos0= a·b x1x2十y12 围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫 ab 十·十 曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一 (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b=0台 种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过 x1x2十y1y2=0. 程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等 3.平面向量数量积的运算律 份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作 (1)a·b=b·a(交换律). 正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已 (2)a·b=入(a·b)=a·(b)(结合律). 知图①中正三角形的边长为3，则图③中OM· (3)(a十b)·c=a·c十b·c(分配律). OV的值为 33 快乐假 900= 14.在△ABC中，BC的中点为D,设向量AB =a,AC=b. ① ② (1)用a,b表示向量AD: A.35 B.63C.6 D.62 (2)若向量a,b满足a=3,b=2,〈a,b》 7.(2023·全国甲卷（理）)向量a=|b=1,c =60°，求AB·AD的值. =2,且a十b十c=0,则cos(a一c,b-c〉= A-号B-号 c号 8.(多选)下列关于向量a,b,c的运算，一定成立 的是 () A.(a+b)·c=a·c+b·c B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b≤a·lbl D.la-bl≤a+|b 9.(多选)已知向量a十b=(1,1),a一b=(一3,1)， c=(1,1),设a,b的夹角为0，则 () 15.已知向量m=(W3sinx,cosx一1)，n= A.al=b B.a⊥c (cosx,cosx+1),若f(x)=m·n. C.b∥c D.0=1359 (1)求函数f(x)的单调递增区间； 10.(多选)已知平面向量a=(1,2),b=(一2,1)， (2)在Rt△ABC中，角A,B,C的对边分 c=(2,t),下列说法正确的是 () 别为a,b,c,若∠A=90°，f(C)=0,c=3, A.若(a十b)∥c,则t=6 CD为∠BCA的角平分线，E为CD的中 且若a+b)1c,则1=号 点，求BE的长. C.若1=1，则cos(a,c)= 5 D.a+c|<3 11.(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足 1a-b|=3,|a+b|=12a-b1,则1b|= 12.已知向量a,b的夹角为受，(a-b)Lb,则 a+bl 'a-bl 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=2,CA=4,P 在边AC的中线BD上，则CP·BP的最小值 为 34## 乐期 9. ACD [若AM-AB+AC,则点M -AC-3A. 是边BC的中点,故A正确;若AM-2AB AC.即有AM-AB-AB-AC,即BM- CB,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若AM一一BM 则有文十--.Af-1. 2AD2 -CM.即AM+BM+CM-0,则点M是△ABC的重心,故 #答案:-# C正确;如图,AM-:AB+yAC,且x+y-,可得2AM 假期必刷17 -2rAB+2yAC,设AN-2AM,则M为AN的中点,则 思维整合室 △MBC的面积是△ABC面积的,故D正确,] 1.(2)lallblcos θ allblcose 10.ABD[各选项代入验证,若A,B.C三点不共线即可构成 技能提升台 三角形.因为AB-0B-0A-(2.-1)-(1.-3)-(1,2). A--A-(m+1.m-2)-(1,-3)-(m,m+1).假 1.B ['BM-MCBMBCBA·BM-BA· 设A,B.C三点共线,则1×(m十1)-2m-0,即m=1.所 $$ -3B||B[lcos -33-3] 以只要m-1,A,B.C三点就可构成三角形,A、B、D符合 题意,] 2. D[由已知可得 a-b^}=a^}-2a·b+b-2-2a·b-1,则$ 11.解析:设P点坐标为(c.y).AB-OB-OA-(-2.-1)- a·b-,因此l2a+bl=(2a+b){}-4a+4a·b+b^ (1.2)-(-3,-3),AP-(r-1,y-2), 则由2AP-AB,得2(x-1,y-2)-(-3,-3), -/7.] 3.B [以AB,AD为基底向量,可知AB]-AD|-2, (2r-2--3. AB·AD-0. →_→ 所以 解得 (2y-4--3. 则EC-EB+BC-AB+AD. ##10##+-# #D.# ED-EA+AD-- 答案 所以EC·ED-(AB+AD)·(-AB+AD) 12.解析:在△ABC中, A-60{,BC-1,点D为AB的中 1AB+AD--1+4-3.] 点,点E为CD的中点,AB-a,AC-b,则A-(AD+ 4.D [(a+xb)·(a十b)=a十(+)(a·b)+b ##)#-AB+4-#a+. -2(1+)-0,所以--1.] #答案:+## 5.B [由a·b=a·c,可得lal|blcosa,b)-allclcos(a,c), 因为al0,所以clcos(a.c)=bcos(a,b)-4×cos 2. 13.解析:设AF-mAD,BF-nBE, 根据向量共线定理,得AF-mAD. 所以c在a上的投影向量的长度为llclcos(a,c)|-2v3.] -AE+(1-)AB3AE-AC. 6.C [在图③中,以O为坐标原点建立如y 所以Ar-AC+(1-)AB. 图所示的平面直角坐标系,OM-2. ##-(200哥2in)-(1、v) 又因为AD-(A+). #MPl-.M-(.). 所以AC+(1-n)AB-"(AB+A). _。_ P-,由因形知PNV/OM,所以PN(#^}). 解得{ 所以oN-o+M+PN-(吾.#{). 代$BF-BE--(AE-AB)-3(AC-AB) 所以OM·0-1x+373-6.] 100 7.D [由a+b十e=0,得a+b=-c.所以(a+b)}=(- )^, 13.解析:依题意,以C为坐标原点, 即}+2a·b+b=c,又al=l$bl=1,lcl= 分别以AC,BC所在的直线为1 所以a·b-0,所以a b. 轴,v轴,建立如图所示的平面 10(02343 如图所示:a-c-CA,b-c=CB. 直角坐标系, 由余弦定理得CA-CB-5. 则B(0,2),D(2,0),所以直线BD的方程为y=-+2. 所以cos ACB=cosCA.CB) 因为P点在边AC的中线BD上,所以可设P(t,2-1)(0 # $<2),所以C$-(,2-),B-(.-). 所以CP·B- - (2-t)=2^-2-=2(1-)第-. 当1-时,C·取得最小值一.# 8.ACD [根据数量积的分配律可知A正确;B中,左边为c的 答案:一} 共线向量,右边为a的共线向量,故B错误:根据数量积的定 义可知a·b-alblcos(a,b al· bl,故C正确:a-b 14.解.(1)AD-(AB+A#-a+b#AD-a+b (lal+|bl)-2a·b-2la|lbl<o,故la-bl<(lal+ b)},即a一ba+b,故D正确, (2)AB#AD-a(a+)-+.# 9.BD[由a+b-(1,1),a-b=(-3,1),得a=(-1,1),b- (2.0),则lal-②,lbl-2,故A不正确;a·c=-1x1+1 -y3+×3X2×cos 60”-6,所以AB·AD-6. X1一0,故B正确;不存在xR,使b一c成立,故C不正 15.解:(1)f(x)-m·n-3sinx·cosx+cosx-1 确;cos)-ab a.b /2x2 #sin 2x+co2-c--sin(2+)-# 正确,] 令0+[2^--<x+寻](6e2), 10.BC [a+b-(-1,3),若(a+b)/c,则-t-6-0,所以t -6.故A错误;若(a+b)Ic,则-2+3z-0,所以1-2 #则xE [6--#<ax+](e2). .f# a.c 故B正确;若t-1,则cos(a,c)= 所以函数/(c)的单调增区间为 -<吾(<z). 故C正确;a十e-(3,t+2),则a十cl-9十(t+2)3, (2)/(c)-sin(2c+)--0 故D错误,] 11.解析:由a+bl-l2a-bl,得a-2a·b; sin(2c+)-.又ce(0.).所以c-. 由la-bl-3,得a-2a·b+b-3,即^-3. 所以b-③. 答案v③ BE=#2+{}# -2# 12.解析:由向量a,b的夫角为吾,且(a-b)lb, 假期必刷18 得(a-b)·b-a·b-b-1allb1-1b1-0. 思维整合室 1.(1同一个常数 (2)a十b 2.(1)a.+(n-)d(2)na.n(n-1)d 因为la+bl= (a+b)-a+2a·b+b n(a十u.) 2 = 4b+2b+b-/7b, 3.(1)(n-m)d (2)a.+a-a.+a.(3)md la-bl- (a-b)= a-2a·b十b 技能提升台 46|2b+1b-b,所以 +b |_21 a-b{ # 答案:2 3-,解得-. a.-1+(n-1)#-”11 101