假期必刷16 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示-【快乐假期】2024年高二数学暑假衔接一轮大作业

三002 假期必刷16 平面向量的概念及线性运算、平面向量 基本定理及坐标表示 思维整合室 3.平面向量的坐标运算 1.向量的线性运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 向量 设a=(x1,y1),b=(x2,y3),则a+b 法则（或儿 定义 运算律 运算 何意义) a-b= ha= ,al= (2)向量坐标的求法 (1)交换律： a+b= ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标 求两个向量 三角形法则 加法 (2)结合律： 和的运算 即为向量的坐标， b/atb (a+b)+c= a ②设A(x1y),B(x2y2),则AB= .ABI= 平行四边形法则 4.共线向量定理及坐标表示 ①定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件 求两个向量 减法 a-b=a+(-b) 差的运算 a 是：存在唯一一个实数入，使 三角形法则 ②坐标表示：设a=(x1y1),b=(x2y2),向 规定实数入 (1)【a|= 量a,b(b≠0)共线的充要条件是 与向量a 入(0)= 的积是一 (2)当A>0时，a的 个向量，这 方向与a的方向 (a十)a= 《技能提升台 数乘 种运算叫 :当λ<0时， ； 1.下列四个命题中，正确的是 做向量的 a的方向与a的方 A(a+b)= A.若a∥b,则a=b 数乘，记 向 :当1=0 B.若|a=|b,则a=b 作a 时，a= C.若|a=b,则a∥b 2.平面向量的基本定理 D.若a=b,则|a=|b e1,e2是同一平面内的两个 2.在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表 条件 示出来的是 对于这一平面内的任一向量a,有且 A.e1=(0,0),e2=(1,2) 结论 只有一对实数入1，入2，使a= B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 若e,e ,我们把{e1,e2}叫 3.设向量a=(一1,1)，b=(0,2),则( 基底 做表示这一平面内所有向量的一个 A.lal=b B.(a-b)⊥a 基底 C.(a-b)∥a D.a·b=-2 31 飞密快禾假阴 SE 4.如图，在△ABC中， 9.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点， 设AB=a,AC=b, 则下列说法正确的是 () BD =2 DC,AE= A.若AM=2AB+2AC,则点M是边BC 4ED,则BE 的中点 B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的 延长线上 a+b C.- D.a+ C.若AM=-BM-CM,则点M是△ABC 5.如图，已知AB=a,AC=b.BC=4BD,CA= 的重心 3CE,则DE= D.若Ai=xA店+yAC,且x十y=号则 △MBC的面积是△ABC面积的2 10.(多选)已知向量OA=1,-3),OB=(2,-1), A.- B.5 0、3 C=(m十1，m-2),若点A,B,C能构成三 角形，则实数m可以是 ( C.a-gb D.12b-ja A.-2 B号 C.1D.-1 6.如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的 11.已知0为坐标原点，向量OA=(1,2),OB 中点，CE=-2DE,若EF=xAB+yAD, =(-2,-1),若2AP=AB,则1OP 则x十y= 12.(2023·高考天津卷)在△ABC中，∠A= 60°，BC=1,点D为线段AB的中点，点 E为线段CD的中点，若设AB=a,AC=b, A.1 B.6C.6 D. 则AE可用a,b表示为 7.已知向量a=(3,1),b=(0,-1),c=(k, 13.如图，在△ABC 中，点D是BC √3)，若(a一2b)∥c,则实数k的值为( 的中点，点E在 A.1 B.-1C.5 D.-3 边AC上，且满 8.(多选)以下选项中，能使a∥b成立的条 足3AE=AC,BE交AD于点F,设BF 件有 入AB+uAC(A,∈R),则入十= A.lal=b B.a=0或|b=0 C.a=-2b D.a与b都是单位向量 32三0022 二教) 10.解析：如图所示：记AB=c,AC=b, 假期必刷16 BC=a. 思维整合室 22+8-2×2×b×cos60°=6， 1.b+a a+(b+e)llal 相同相反0a和+m 因为b>0,解得b=1+√5， ha+ib 由S△Ar=S△ABe十S△D可得， 2.不共线向量c十入e不共线 合×2×6Xsin60 3.(1)(1+当+y)(x1-xy一)(A1Ay) =专×2 XADX sin30+号×ADX6Xn30 √+y(2)(x-xy-y)√（知-）+(y-y 4.b=ia riy:-r:y=0 解得AD=h=2BI+园=2. 3+/3 技能提升台 1,D[A中，a∥b,则a=h,故A不正确：B、C中，由于向量 答案：2 a,b的大小相等，但其方向不骑定，故B,C都不正确：D显然 11.解：(1)因为A+B=3C,所以A+B=3(π-A-B), 正确.门 所以A+B=经，所以C= 4· 2.B[对于A,C,D都有e1∥e2,所以只有B成立，] 另外，由题意得2sin(A一C)=sin(A十C), 3.B[对于A,因为|a=√-1)+1下-2，b1=√个+2 Ep2sin Acos C-2cos Asin C =2,所以a≠b,故A不正确：对于Ba一b=(一1,1) =sin Acos C+cos Asin C, (0,2)=(-1,1),图为(a-b)·a=(-1,-1)·(-1,1)= 所以sinA=3cosA,变形得sinA=9(1-sinA). (一1)×（一1）十(-1)×1=0，所以(a-b)⊥a,故B正确：对 于C,由B可知(a-b)⊥a,故C不正确，对于D,因为a·b= 故sinA=31⑥ 10 (-11)·(0,2)=2≠-2，故D不正确.] (2)由sinA=3cosA, 4.D[成-花-成=专市-a=号+励)-。 得asA=了如A=, 10 =励-a=×号成-a=是-a)- 所以sinB=sin(A十C)=sin Acos C+cos Asin C -3×号+×竖-25，由B品 10 sin B sin C' 解得AC=2√10， 5.D[D=D心+座=C+号=(ad-A 所以5m-号×5×2V而×3=15， 专C-心-￥=0-4] 10 6.C[因为四边形ABCD是平行四边形， 设AB边上的高为点，则2AB·A=15,解得A=6, 所以AB=DC,AD=BC, 故AB边上的高为6. 因为C正=一2D正，所以E式=号A店。 12.解：1)周为十Cd-2c04=2k=2. cos A cos A 成-成+亦=号A成-C-号成-A市. 所以bc=1. (2)ucos Bbcos Absin Acos B-sin Beos A sin B 又因为EF-xAB+yAD, acos B+bcos A c sin Acos B+sin Bcos A sin C 所以=号=故=言 =1. 所以sin(A-B》-sinB=sinA=B)一sinB=1, 7.A[根据题意，向量a=(3,1),b=(0,一1)，则a一2b= sin(A+B)sin C sin C (3,3):若(a-2b)∥c,且c=(k√3)，则有3k=3×3,解 所以sin(A-B)-sinB=sinC=sin(A+B), 得-1.] 所以sin Acos B-sin BcosA-sinB 8.BC[对于A、D,不妨取a,b分别为xy轴上的单位向量， sin Acos B+sin Bcos A, 满足“|a=|b”,满足“a与b都是单位向量”，但是a∥b不 即c0sA=一名由A为三角形内角得A=受】 3 成立.故A、D错误：对于B,由零向量与任何向量平行，可知 a=0或|b=0时，a∥b.故B正确：对于C,图为a=一2b, △MBC面款S-女inA-号X1×9-9 所以a∥b.故C正确.] 99 化曼快乐假颈 0M-= g.ACD[若Ai=号A店+号AC.则点M =C-a盛. 是边BC的中点，故A正痛：若AM=2A正 解得入=一 3 -AC,即有AM-AB=AB-AC,即BM=B = CB,则，点M在边CB的延长线上，故B错误；若AM=一BM 则有+一怎- -CM,即AM+BM+CM=0,则点M是△ABC的重心，故 答案：-是 C正确：如图AM=xA市+yA亡，且x+y=,可得2A 假期必刷17 =2xAB+2yAC,设AN=2AM,则M为AV的中点，则 思维整合室 △MBC的面积是△ABC面积的？，故D正确.] 1.(2)lallblcos a lal blcos 0 10.ABD[各选项代入验证，若A,B,C三点不共线即可构成 技能提升台 三角形.因为AB=OB-0A=(2,-1)-(1.-3)=(1,2), AC=O元-OA=(m十1，m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假 1.B[BM=号M,Bi=是BC,B,Bi=B. 设A,B,C三点共线，则1×(m十1)一2m=0,即m=1.所 成-=专B18Cos吾-号×3×3×号-] 以只要m≠1，A,B,C三点就可构成三角形.A、B、D符合 题意.] 2.D[由已知可得a-b12=a2-2a·b+6=2-2a·b=1,则 11.解析：设P点坐标为(r,y).AB=O店-OA=(-2,-1) a…b=2,因此2a+b=√2a+b=√4a+a…b+b 1,2)=(-3,-3),AP=(x-1y-2), 则由2AP=AB,得2(x-1,y-2)=(-3,-3), =√7.] 3.B[以{AB,AD为基底向量，可知AB=AD1=2, 所以2一2=-3， r= 2 AB·AD=0. 解得 2y-4=-3, 1 y= 尉武-成+-多店+花 √+-号 ED-E成+A5-专AB+AD, 答案：号 所以之.E市=（侵AB+A而）·（店+AD) 12.解析：在△ABC中，∠A=60,BC1=1,点D为AB的中 AB+A市=-1+4=3.] =- 点，点E为CD的中点，A店=a.AC=b,则A正=号(AD+ 4.D[(a+b)·(a+b)=a2+(λ+4)(a·b)+b 0=子+号=子a+6 =2(1十Ar)=0,所以Au=-L.] 5.B[由a·b=a·c,可得|ab cos(a,b)=alleleos(a,c), 答案：a+b 13.解析：设AF=mAD,BF=nBE, 周为1a0.所以cmsa:c)=:b=4Xcms吾=28， 根据向量共线定理，得AF=mAD, 所以c在a上的投影向量的长度为|ccos(a,c)l=2V3.] AF=nAE+(1-)AB.3 AE=AC, 6.C[在图③中，以O为坐标原点建立如 所以-号A心+1-。 图所示的平面直角坐标系，OM=2, 又图为市-名（店+心， oi=(2oms号2in吾）-1. 所以受AC+1-n)Ai=Ai+AC, M=专即-（侍0： m2 P成=号由国形知PN/OM,所以成=(G)月 解得 ,即 n=4 所-0i++时-（复，7） 代入B萨=nBE=A正-AB)=是(3AC-AB) 所以0i.0=1x号+x7g=6.] 100