假期必刷6 二次函数、幂函数、指数函数与对数函数-【快乐假期】2024年高二数学暑假衔接一轮大作业

三002 富二数学的 假期必刷6二次函数、幂函数、指数函数与对数函数 《思维整合室 4.指数函数和对数函数及其性质 (1)概念： 1.二次函数解析式的三种形式 ①函数y=logx(a>0,且a≠1)叫做对数函 一般式：f(x)= 数，其中x是自变量，定义域是(0，十∞) 顶点式：f(x)=a(x一m)2+n(a≠0)，顶点 ②函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函 坐标为 数，其中指数x是自变量，定义域是R 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)， (2)指数函数和对数函数的图象与性质 x1x2为f(x)的零点. 指数函数 对数函数 2.幂函数 a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 (1)幂函数的定义 11 图象 m,10 一般地，函数 叫做幂函数，其中x 01x 是自变量，α是常数. 定义域 定义域： (2)幂函数的性质 值域 值域： ①当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)》 过定点 ,即x 当x=1时，y=0,即 =0时，y=1 过定点 和(0,0)，且在(0，+∞)上单调递增； ②当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)， 性质 在（一oo, 在（一∞， 在(0，+c©) 在(0，十∞ 十∞)上 十∞)上 且在(0，十∞)上单调递减. 上是 上是 是 是 3.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①a,N=;②log.a=b 5.反函数 (a>0,且a≠1). 指数函数y=a'(a>0,且a≠1)与对数函数 (2)对数的运算性质 y=log。x(a>0,且a≠1)互为反函数，它们 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 的图象关于直线y=x对称.它们的定义域 ①log(MN)= 和值域正好互换 ②log.N 《技能提升台 ③logM"= (n∈R). 1.化简a· a (3)换底公式：logb A.a B.--a (a>0,且a≠1，b>0,c>0,且c≠1). C.-/a D./a 飞壑快乐假阴 990= 2.设a,b,c都是正数，且3”=4=6，那么下列 9.（多选)已知函数f(x)=x°的图象经过点 关系正确的是 (4,2),则下列命题正确的有 A.a+2b=c B.ac+bc=2ab A.函数f(x)为增函数 C.1+1=1 B.函数f(x)为偶函数 a 26 c n日+68 C.若x>1,则f(x)>1 3.若幂函数f(x)=(m一4m十4)·x”-m+8在 (0,十∞)上为增函数，则m的值为( D.若0<<，则f)十f) 2 A.1或3 B.1C.3 D.2 x1十x2 2 4.指数函数y=a(a>0,且a≠1)的反函数图 10.(多选)已知函数f(x)=2‘一2，有下列 象过点(4,2)，则a= 四个结论，其中正确的结论是 ( A.3 B.2 C.9 D.4 A.f(0)=0 5.已知a=log20.2,b=242,c=0.2.3,则 B.f(x)是奇函数 ( C.f(x)在（一o∞，+o∞）上单调递增 A.a<b<c B.a<c<b D.对任意的实数a,方程f(x)一a=0 C.c<a<b D.b<c<a 都有解 6.已知函数f(x)=lg(x-4x一5)在(a,十o∞)上 11.(2023·高考上海卷)已知函数f(x)=2+1, 单调递增，则a的取值范围是 ( log(x十1)，x>≥0 A.(-∞，-1] B.(-∞，2] 且g(x)= ,则方程g(x)=2 f(一x),x<0 C.[2,+∞) D.[5,十∞) 的解为 7.(2023·新高考I卷)设函数f(x)=2rr- 12.函数y=logx(a>0,且a≠1)在[2,4]上 在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是 的最大值与最小值的差是1，则a= ( fa,x≤1 A.(-∞，-2] B.[-2,0) 13.已知函数f(x) 1-2a,x> ,①如果 C.(0,2] D.[2,十∞) 8.(多选)下列各式正确的是 f(-2)=9,则a的值等于 ;②若 log.6 A.log.3 =1og2 B.lg2+1g5=1 满足对任意G,≠，都有)-)<0 T1一x2 C.(In x)2=2In x D.lgV-gx 成立，则实数a的取值范围是 12快乐假 SE 一(x一2)开口向下，对称轴为x=2,所以y=一(x一2)在 ≤3，故1<r≤3，则x∈(1,3]，故B正确：C项，f(x)=[x], (一0∞，2)上单调递增，在(2，十∞)上单调递减，故C错误； 则f(0.5)=1,f(-0.5)=0≠-f(0.5),则f(x)=[x]不是 对于D,y=x-8.x-6开口向上，对称轴为x=4,所以y R上的奇函数，故C错误：D项，[y门一1<y≤[yJ,若f(x) x2-8x一6在(-∞，4]上单调递减，故D错误.] =f(y),则[x]=[y],即[x]-1<y≤[x],则-[x]≤-y<1 2.B[画数y台1+在[2,3]上单洞递减， -[x],又[x]-1<r≤[x],由不等式的性质，-1<x一y<1, 则x一y<1,故D正确.J 六当1=2时y=一取得最大值号=2.] 9.解析：因为f八x)为R上的奇函数， 3.D[)=的定义线为rx≠0又e为妈孟 所以f(0)=0, 即f(0)=2°+m=0,解得m=一1， 数f-x)=f)二e re es-1e"-1 故f(x)=2'-1(x≥0). :e" 则f(-3)=-f(3)=-(2-1)=-7. ∴写ar=a=2] 答案：-7 4.A[由一x2+x十6>0，得一2<x<3,故函数的定义城为 〔-2≤a+1≤2， (一2,3)，令t=一x十x十6，则y=l0g号t,易知其为减画数. 10.解析：由条件知 -2≤2a≤2， 由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t=一x十x a+1>2a, 十6在（一2,3）上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得1= 解得一1≤a<1,即实数a的取值范围是[一1,1). -十x十6在定义城(-2,3)上的单调递减区间为（合3小 答案：[-1.1) 11.解析：依题意知函数f(x)是一个奇函数，又2一a≠0，所以 故原函数的单钢递增区间为 x≠loga,所以f(x)的定义城为{xx≠loga,因为f(x) 5.B[对任意的x(x≠)都有)-)<0成 的图象关于坐标原点对称，所以log2a=0,解得a一1， 立，f(x)在R上单调递减， 又-)=-，所以6+2与-（时）片 /a-2<0 所以-2）小中 ) -1≥2(a-2) 解得a<号即实量a的取值范国 多二1，所以6=将以+6=是 2°-1 为(]门 答案：号 6.C[因为定义在R上的奇函数f(.x)在（一∞，0）上单调递减， 且f1)=0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递减，且f(-1)= 12.解析：因为函数f(x)=3x-1与g(.x)=x-ax-a十4是 0,所以当(-∞，-1)U(0,1),f(x)>0,当(-1,0)U 区间[1,2]上的“2阶依附函数”，所以f(x)m·g(x)mn≥2 在[1,2上恒成立，又f(x)=3x-1在[1,2]上单调递增， 1.+oo)/r)<0,所以若xf-1)≤0，则C0 或 {x-1≤-1 则f(x)=f(1)=2,所以g(r)=r2-ar-a+4≥1在 r0x<1 或>1或x=0或x=1,解得x<1或 -1≤x-1<0x-1≥1 [,上楼底立，年a≤在[1,2]上位成立 x+1 x≥2，所以x的取值范国是(-∞，1门U[2,十∞).] +3-x+1+-2◆+1-，e[2., x+1 7.A[依题意，(a-1)+(b-1)°≥3(2-a-b)=3(1-a)+ 3(1-b),即(a-1)3+3(a-1)≥-[(b-1)3+3(b-1)] 段0=+片-2.0=1一产-学>≥0：则A0)在 (1-b)3+3(1-b),设f(x)=x2+3x,fx)是奇函数且f(x) [2,3]上单调递增，所以h(t=h(2)=2,所以a≤2. 在R上递增，所以f(a-1)≥f(1-b), 答案：(-6∞，2] 脚a-1≥1-b,a+b>2, 假期必刷6 由多本不等我得心+6≥如空>号-2，吉温仅当=b 思维整合室 =1时等号成立，所以a°十b的最小值为2.] 1.ax+bx十c(a≠0)(m,n) 8,ABD[由[x]表示不小于x的最小整数，则有[x]≥x且 2.(1)y=x [x]-1<x,即[x]-1<x≤[.x],A项，f(x)=[x]=2023, 3.(1)N (2)log M-+logN log M-log N nlog,M 则2023=[x]≥x,2022=[x]-1<x,即2022<x≤2023. 、logb 则x∈(2022,2023]，故A正确：B项，令t=[x],则t-51 (3)1og“ 十6≤0.解得2≤1≤3，又[x]为整数，则1=2.或1=3，当t= 4.(2)(0,+0∞)(0，十∞)R(0,1)(1,0)增函数减 2时，即[x]=2,则1<x≤2：当t=3时，即[x]=3,则2<x 函数增函数减函数 86 三0002 高二教学) 技能提升台 10.AD[x)=21-2,则0)=2-2=0，故A正确： 1.B[调为，厂言有意义，所以a<0,所以a=V瓜， f(-x)=2一2=一f(x),所以f(.x)是奇函数，故B正 所以a 确：)=-2在R上是减画数，故C错误：当一- =-√/-a.] 时.f(x)→+o:当x→十∞时，f(x)→-m,即f(x)的值 域是（一○，十©），它又是R上的减函数，因此对任意实数 2.C[由3=4=6=k,得a=logk,b=l0g,k,c=logk, a,f八x)=a都有解，故D正确.] =lg3,=log4,=lg6,则=og4=log2, 11.解析：当x≥0时，g(x)=2台og:(x十1)=2，解得x=3:当 银据be3+l6e2=l6g6可知，+元-之】 x<0时，g(x)=f(一x)=2+1=2,解得x=0(舍)：所以 g(x)=2的解为x=3. 3.B[由题意得m2-4m十4=1，m2-6m十8>0， 答案：x=3 解得m=1.] 12.解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有l0g4一log2=1, 4.B[指数函数y=a'(a>0,且a≠1)的反函数图象过点 解得a=2,②当0<a<1时，有log2-1og.4=1,解得 (4,2),指数函数图象过点(2,4)，可得4=a2,解得a=2.] 5.B[由对数函数的单调性可得a=log0.2<1og1=0,由指数 a=是所以a=2或a= 函数的单调性可得6=24>2°=1,0<c=0.2<0.2=1, 答案：2或号 所以a<c<h.] 4,r≤1 6.D[由x2-4r-5>0,得r<-1或x>5.令1=2-4r-5,则 13.解析：因为函数f(r)= 函效1=x2-4r-5在(-∞，-1)上单调递减，在(5，十∞) 120x>1又-2)=9，于是 上单调递增，函数y=g1为增函数，故要使函数f(x)= 得。=9.而a>0,解得a=号所以a的位等于号：周为 lg(x2-4.x-5)在(a,十o)上单调道增，则有(a,十∞) (5,+∞).即a≥5.] 对任意≠，都有)二2<0成立，所以高数 : 7.D[设1=xr一a)=r-ar,对称轴为x=兰，鹅物线开口 r0<a<1 向上，：y=2是1的增函数，∴.要使f(x)在区间(0,1)单调 )在R上单拥递减，所以1-2a>0,解得号<a<号 a≥1-2a 递减，则1=2-ar在区间(0，l1)单调递减，即号>≥1，即a≥ 所以实数。的取值范国是[宁） 2,故实数a的取值范围是[2，十o∞).] log.6 8.BD[A选项，由换底公式，可得Cg号一log6-1+log2,故 答案： [哈)】 A错误：B选项，lg2十lg5=lg(2×5)=1,故B正确：C速 假期必刷7 项，(lnx)2=In rX In r≠2lnx,故C错误：D选项，lg 思维整合室 =lg=多g,故D正确] 2.y=f(x-a)y=f(x+a)y=f(r)+b y=f(x)-b 11AAx轴y轴原点x轴下方右y轴 9.ACD[将点(4,2)代入画教f()=r,得2=4，则a=立 技能提升台 所以f(x)=x.显然f(x)在定义域[0，十)上为增函数， 1.C[其图象是由y=x2图象中x<0的部分和y=x-1图 A正确：f(x)的定义城为[0，十)，所以∫(x)不具有奇偶 象中x≥0的部分组成.] 性，B不正确：当x>1时wF>1.即fx)>1,C正确：当0<x< 2.D[依题意f(x)的图象可由y=e的图象关于y轴对称 丁-订-( 后，再向左平移1个单位长度得到。y=心关于y轴对稀 y=心向左平移1个单位长度 y=e-(tD=e-rl, 4 .f(x)=e'.] 2--=-（团=》<0， 3.B[观察函数图象可得，②是由①保留y轴左儒及y轴上的图 <作）成主D确.] 象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，站合函数图象的对称 2 变换可得变换后的函数的解析式为y一（一x).]