精品解析：2024年甘肃省武威市九年级中考一模数学试题

武威市2024年中考模拟测试卷（一） 数学 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，将此选项的字母填在答题卡上．） 1. ﹣的绝对值是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的定义“数a的绝对值是指数轴上表示数a的点到原点的距离”进行求解即可． 【详解】数轴上表示数﹣的点到原点的距离是， 所以﹣的绝对值是， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 错因分析 容易题．失分原因是绝对值和相反数的概念混淆． 2. 我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为．把这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】370000的小数点向左移动5位得到3.7， 所以370000用科学记数法表示为3.7×105， 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 64的立方根为（　　） A. 8 B. ﹣8 C. 4 D. ﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】利用立方根定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵43=64， ∴64的立方根是4． 故选：C． 【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 4. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（    ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图． 【详解】A、C、D主视图是矩形，故A、C、D不符合题意； B、主视图是三角形，故B正确； 故选B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，熟练掌握这些法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则、合并同类项法则分别进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故本选项不符合题意； B、，正确，故本选项符合题意； C、，原计算错误，故本选项不符合题意； D、，原计算错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 6. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（    ）. A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案． 【详解】解：如图， ∵∠ACD=90°、∠F=45°， ∴∠CGF=∠DGB=45°， 则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质． 7. 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，观察图象可得（ ） A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、三象限， ∴k＞0， 又该直线与y轴交于正半轴， ∴b＞0． ∴k＞0，b＞0． 故选A． 8. 若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（　　） A. 14 B. 10 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】设第三边是x,由三角形边的性质可得：8-5<x<8+5, ∴3<x<13. 故选B. 9. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数性质得出k＞0，b≤0，再判断出△=k2-4b＞0，即可求解. 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限， ，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 10. 如图，在矩形中，，，动点沿折线从点开始运动到点．设运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意当时，，当时，，由此即可判断． 【详解】由题意当时，， 当时，， 故选D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形思考问题． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】使用乘法分配律进行计算，即可得到答案. 【详解】解：原式， 故答案为 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的基本求解方法. 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 13. 如果，那么代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将所求式子化简后再将已知条件中整体代入即可求值； 【详解】， ， ； 故答案为． 【点睛】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 14. 若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出草图，可得OG=2，，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA. 【详解】 解：如图，连接、，作于； 则， ∵六边形正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路. 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为________（写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一，只有即可） 【解析】 【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围． 【详解】解：一元二次方程化为x2+6x+9-c=0， ∵△=36-4（9-c）=4c≥0， 解上式得c≥0． 故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.关键在于求出c的取值范围． 16. 如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据射影定理列式计算即可． 【详解】解：在中，， 由射影定理得，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 17. 一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm． 【答案】2π 【解析】 【详解】分析：根据弧长公式可得结论． 详解：根据题意，扇形的弧长为=2π， 故答案为2π 点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 18. 观察下列一组数： ， 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第个数__________（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】首先观察分母的变化规律，在观察分子的规律，写成比例式化简即可. 【详解】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为， 观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为， ∴； 故答案为； 【点睛】本题主要考查数的规律，这列题目是热点考题，应当熟练掌握. 三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】根据0次幂、负指数次幂以及三角函数的计算法则求出各式的值，然后进行求和． 【详解】解：原式= 【点睛】本题考查实数运算、余弦等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 20. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来. 【答案】﹣1＜x＜3， 将解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.根据不等式解集的表示方法在数轴上表示即可. 【详解】解不等式x﹣2＜1得x＜3， 解不等式4x+5＞x+2，得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3， 数轴略． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 21. 如图，点和点在内部． （1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请说明作图理由． 【答案】（1）如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等； （2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线性质可知点到点和点的距离相等即点P在MN的垂直平分线，由角平分线的性质可知两边的距离相等，即点P在∠AOB的角平分线上.分别作出MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为所求. （2）根据作法即可说出理由. 【详解】略 【点睛】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键． 22. 如图，在河对岸有一棵大树，在河岸点测得在北偏东方向上，向东前进到达点，测得在北偏东方向上，求河的宽度（精确到）．参考数据：，． 【答案】河的宽度为103.9米． 【解析】 【分析】过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出BD，CD的长，结合BC=BD-CD=120，即可求出AD的长． 【详解】解：过点作直线，垂足为点，如图所示． 在中，， ∴； 在中，， ∴． ∴， ∴． ∴河的宽度为103.9米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，利用解直角三角形结合BC=BD-CD=120，找出关于AD的长的一元一次方程是解题的关键． 23. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果． 【详解】解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个， ∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为． 【点睛】考核知识点：求概率.画树状图是关键. 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 24. “扫黑除恶”受到广大人民的关注，某中学对部分学生就“扫黑除恶”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有_______人，扇形统计图中“很了解”部分所对应扇形的圆心角为_______； （2）请补全条形统计图； （3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对“扫黑除恶”知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数. 【答案】（1）60，108°； （2）补全条形统计图得： （3）该中学学生中对校园安全知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数为72人. 【解析】 【分析】（1）由很了解的有18人，占30%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“很了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）由（1）可求得基本了解很少的人数，继而补全条形统计图；（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案. 【详解】（1）接受问卷调查的学生共有：18÷30%＝60（人）； ∴扇形统计图中“很了解”部分所对应扇形的圆心角为：360°×30%＝108°； 故答案为60，108°； （2）60﹣3﹣9﹣18＝30； （3）根据题意得：900×＝720（人）， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数为72人. 【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据. 25. 如图，一次函数的图像交轴于点，与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数的表达式：（2）求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据一次函数表达式，求点坐标，再将点坐标代入反比例函数，求反比例函数中的未知参数； （2）已知三点坐标，即可知的底和高，便可求得面积. 【详解】（1）点在直线上， ， ， 点． 点在的图像上， ， ， 反比例函数表达式为． （2）过点作轴的垂线，垂足为． 直线与轴交于点，令，得， 点． 点， ， ． 【点睛】本题综合考查根据函数的解求解函数表达式中的未知数、根据函数表达式求解其上某点的坐标，以及三角形的面积公式. 26. 已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，，点E，F分别为垂足． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形AECF是矩形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中，， ． （2） 证明：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在四边形中，， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键． 27. 如图，在中，，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E． （1）若，，求⊙O的半径； （2）过点E作弦于M，连接AF，若，求证：四边形ACEF是菱形． 【答案】（1）； （2） 证明：连接，假设，则， ∵ ∴，即， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴四边形ACEF为平行四边形 根据垂径定理可知： ∴ ∴ 又∵ ∴是等边三角形，即 ∴四边形ACEF为菱形． 【解析】 【分析】（1）连接OE，设半径，利用勾股定理求出，则，再证明，由相似得比例求出r的值即可； （2）根据先推导出，证明四边形ABCD是平行四边形，再利用垂径定理推出即可证明四边形ABCD是菱形 【小问1详解】 解：连接OE，设半径 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 解之得： 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，菱形的判定，以及垂径定理．重点是能够熟练找出证明相似的条件，找出菱形的判定条件． 28. 如图，抛物线与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． （1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形． ②设的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值． 【答案】（1），，，抛物线对称轴为直线 （2）①，当时，四边形为平行四边形；②，时，S取得最大值 【解析】 【分析】（1）对于抛物线解析式，令求出的值，确定出与坐标，令求出的值确定出的做准备，进而求出对称轴即可； （2）①根据与坐标，利用待定系数法确定出直线解析式，进而表示出与坐标，根据抛物线解析式确定出与坐标，表示出，利用平行四边形的判定方法确定出的值即可； ②连接，设直线与轴交于点，求出的长，三角形面积等于三角形面积加上三角形面积，列出关于的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出取得最大值时的值即可． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令，得到； 令，得到， 即， 解得：或， 则，，， ∴， ∴抛物线对称轴为直线； 【小问2详解】 ①连接， 设直线的函数解析式为， 把，分别代入得：， 解得：，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 令中，得到， ∴， 当时，， ∴， ∴线段， ∵， ∴， ∴线段， 由，得到当时，四边形为平行四边形， 由， 得到或（不合题意，舍去）， 则当时，四边形为平行四边形； ②连接， 设直线与x轴交于点M， 由，，可得， ∵， ∴， 则当时，S取得最大值． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法确定二次函数解析式，平行四边形的判定，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威市2024年中考模拟测试卷（一） 数学 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，将此选项的字母填在答题卡上．） 1. ﹣的绝对值是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣5 D. 5 2. 我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为．把这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 64的立方根为（　　） A. 8 B. ﹣8 C. 4 D. ﹣4 4. 下列立体图形中，主视图是三角形的是（    ）. A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（    ）. A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 7. 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，观察图象可得（ ） A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0 8. 若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（　　） A. 14 B. 10 C. 3 D. 2 9. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 10. 如图，在矩形中，，，动点沿折线从点开始运动到点．设运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 因式分解：_____． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 13. 如果，那么代数式的值是_____． 14. 若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________． 15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为________（写出一个即可）． 16. 如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则_______． 17. 一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm． 18. 观察下列一组数： ， 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第个数__________（用含的式子表示） 三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： 20. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来. 21. 如图，点和点在内部． （1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请说明作图理由． 22. 如图，在河对岸有一棵大树，在河岸点测得在北偏东方向上，向东前进到达点，测得在北偏东方向上，求河的宽度（精确到）．参考数据：，． 23. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 24. “扫黑除恶”受到广大人民的关注，某中学对部分学生就“扫黑除恶”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有_______人，扇形统计图中“很了解”部分所对应扇形的圆心角为_______； （2）请补全条形统计图； （3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对“扫黑除恶”知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数. 25. 如图，一次函数的图像交轴于点，与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数的表达式：（2）求的面积． 26. 已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，，点E，F分别为垂足． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形AECF是矩形． 27. 如图，在中，，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E． （1）若，，求⊙O的半径； （2）过点E作弦于M，连接AF，若，求证：四边形ACEF是菱形． 28. 如图，抛物线与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． （1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形． ②设的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $