精品解析：甘肃省白银市景泰县2023-2024学年下学期期中考试八年级数学试卷

2023～2024学年度第二学期期中试卷八年级数学 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题都只有一个正确选项） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设 （ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 6. 如图，中，是腰的垂直平分线，则（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式的解集是，则必满足（ ） A. B. C. D. 8. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A. B. C. D. 9. 不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转并放大得到等腰，且，再将绕原点O顺时针旋转并放大得到，且，依此规律，得到等腰，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. “x的2倍与3的差不小于x的3倍”用不等式表示为____． 12. 分解因式_______． 13. 如果不等式组的解集为x＞2，那么m的取值范围是_____． 14. 已知，则的值为_________． 15. 如图，将直角三角形ABC沿着BC方向平移3cm得到直角三角形DEF，AB＝5cm，DH＝2cm，那么图中阴影部分的面积为_____cm2． 16. 如图，ΔABC中，∠C=90°，BE是∠B的平分线，ED⊥AB于D，若AC=3cm，那么AE+DE＝________. 17. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______． 18. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个． 三、解答题 19. （1）解不等式：； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. （1）分解因式： （2）分解因式： 21. 在实数范围内定义一种新运算“”,其运算规则为：，如 （1）若，则________； （2）求不等式的负整数解． 22. 如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； （2）将向下平移5个单位长度得到，请画出，并写出三个点的坐标； 23. 如图，把一个直角三角形绕着30°角的顶点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合． （1）三角形旋转了多少度？ （2）连接，求的度数． 24. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克．计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元． （1）按要求安排A、B两种产品的件数有几种方案？ （2）以上方案哪种利润最大？是多少元？ 25. 如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，求的周长． 26. 阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： （1）分解因式：； （2）无论x取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 27. 如图，在中，，点D在内，，点E在外，． （1）求的度数； （2）判断的形状并加以证明； （3）连接，若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期期中试卷八年级数学 （时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题都只有一个正确选项） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，使图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，使绕着对称中心旋转180度后与自身重合是解题的关键．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 2. 已知，则下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．不等式性质1：不等式的两边加上（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式性质2：不等式的两边乘(或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；利用不等式性质或举出反例进行判断即可． 【详解】解：当时，，则A不符合题意； 当时，，则B符合题意； 当时，，故，则C不符合题意； 当，时，，则D不符合题意； 故选：B． 3. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则逐个判断即可． 【详解】解：解不等式2x+1＞-1，得：x＞-1， 解不等式x+2≤3，得：x≤1， ∴不等式组的解集为：-1＜x≤1， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4. 已知：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立，理解反证法的一般步骤是解此题的关键． 【详解】解：已知：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设，由等角对等边得出，这与已知矛盾，故， 故选：C． 5. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 6. 如图，中，是腰的垂直平分线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，已知，可得，再由线段垂直平分线的性质可求出，易求，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：，， 又垂直且平分， ， ， ，即的度数是， 故选：C． 7. 若不等式的解集是，则必满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集是，不等式的方向发生了改变，从而可得：＜ 于是可得答案． 【详解】解： 不等式的解集是， ＜ ＜ 故选： 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的解集，掌握“不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向要改变．”是解题的关键 8. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的特点需识记． 能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两个平方项，符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两个平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，由此即可判断． 【详解】A、，能用平方差公式分解因式，故A符合题意； B、不能继续分解因式，故B选项不符合题意； C、不能继续分解因式，故C选项不符合题意； D、只能用提公因式法分解因式，故D选项不符合题意． 故选A． 9. 不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【详解】移项得，﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6， 合并同类项得，﹣7x≥﹣14， 系数化为1得，x≤2． 故其非负整数解为：0，1，2，共3个． 故选B． 10. 在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转并放大得到等腰，且，再将绕原点O顺时针旋转并放大得到，且，依此规律，得到等腰，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键． 根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律， ∴每4次循环一周，， ， ∴点与同在一个象限内， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. “x的2倍与3的差不小于x的3倍”用不等式表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列不等式，根据题目提供的不等关系列出不等式即可． 【详解】解：“x的2倍与3的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为： 12. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如果不等式组的解集为x＞2，那么m的取值范围是_____． 【答案】m≤2 【解析】 【分析】首先解第一个不等式，然后根据不等式组的解集是x＞2，据此即可求得m的范围． 【详解】解： 解①得：x＞2， 根据题意得m≤2． 故答案为：m≤2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断，还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间． 14. 已知，则的值为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】先提取公因式xy，整理后把已知条件直接代入计算即可． 【详解】解： =， 代入得， 原式=， =24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键． 15. 如图，将直角三角形ABC沿着BC方向平移3cm得到直角三角形DEF，AB＝5cm，DH＝2cm，那么图中阴影部分的面积为_____cm2． 【答案】12 【解析】 【分析】利用平移的性质得到BE=3，DE=AB=5，△ABC≌△DEF，再根据面积的和差得到阴影部分的面积=S梯形ABEH，然后利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】∵直角三角形ABC沿着BC方向平移3cm得到直角三角形DEF， ∴BE＝3，DE＝AB＝5，△ABC≌△DEF， ∴EH＝5﹣2＝3，S△ABC＝S△DEF， ∴阴影部分的面积＝S梯形ABEH＝（HE+AB）×BE＝×（3+5）×3＝12（cm2）． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 16. 如图，ΔABC中，∠C=90°，BE是∠B的平分线，ED⊥AB于D，若AC=3cm，那么AE+DE＝________. 【答案】3cm 【解析】 【详解】∵∠ACB=90°， ∴EC⊥CB， ∵BE平分∠ABC，DE⊥AB， ∴CE=DE， ∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm， 故答案为3cm. 17. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将点代入，求出的值，再根据函数图象即可解答． 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得：， ∴， 当时，函数的图象在函数图象的上方， ∴不等式的解集为． 18. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个． 【答案】16 【解析】 【分析】设购买篮球x个，则购买足球个，根据总价单价购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可． 【详解】设购买篮球x个，则购买足球个， 根据题意得：， 解得：． 为整数， 最大值为16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，解题的关键是正确列出一元一次不等式． 三、解答题 19. （1）解不等式：； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）； （2）， 它的解集在数轴上表示出来如图： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的解法，解题的关键是掌握一元一次不等式（组）的解答步骤． （1）根据解不等式的一般步骤解答即可，解答的一般步骤为：去分母，去括号，移项及合并同类项，系数化为1． （2）分别解两个不等式，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项，化系数为1得，， 即不等式的解集是． （2）原不等式组可化为， 由①得， 由②得， 即， ∴原不等式组的解集为． 20. （1）分解因式： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式提取，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式利用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 21. 在实数范围内定义一种新运算“”,其运算规则为：，如 （1）若，则________； （2）求不等式的负整数解． 【答案】(1)12;(2)-1 【解析】 【分析】（1）根据题意可得代数式2x-，解方程即可； （2）根据题意可得不等式，解不等式即可． 【详解】（1）因为， 所以2x-， 所以x=12; （2）解：由得， ， 所以转化为 ， 解得， 所以不等式负整数解为. 【点睛】考查了实数的运算，以及一元一次方程、不等式的解法，关键是正确理解题意，列出方程和代数式． 22. 如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； （2）将向下平移5个单位长度得到，请画出，并写出三个点的坐标； 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图，即为所求，，，； 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，把一个直角三角形绕着30°角的顶点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合． （1）三角形旋转了多少度？ （2）连接，求的度数． 【答案】（1）三角形旋转了度 （2） 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转，等腰三角形的判定和性质． （1）根据旋转的性质，平角的定义，求出的度数即可； （2）根据旋转，得到，由（1）得到的度数，等边对等角求出的度数即可； 掌握旋转的性质，是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意，得： ∵旋转，点与的延长线上的点重合， ∴， 即：旋转角为， ∴三角形旋转了度； 【小问2详解】 ∵旋转， ∴， 由（1）知旋转角为， ∴， ∴． 24. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克．计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元． （1）按要求安排A、B两种产品的件数有几种方案？ （2）以上方案哪种利润最大？是多少元？ 【答案】（1）三种方案，①安排A种产品30件，B种产品20件；②安排A种产品31件，B种产品19件；③安排A种产品32件，B种产品18件；（2）方案①所获利润最大，为45000元． 【解析】 【分析】（1）首先找出题中的等量关系即甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，然后列出不等式组并求出它的解集．由此可确定出具体方案． （2）将三种方案的最大利润都求出来，再进行比较即可． 【详解】解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（50-x）件， 根据题意有：， 解得：30≤x≤32， 所以有三种方案：①安排A种产品30件，B种产品20件； ②安排A种产品31件，B种产品19件； ③安排A种产品32件，B种产品18件． （2）∵方案①为：700×30+1200×20=45000元； 方案②为：700×31+1200×19=44500元； 方案③为：700×32+1200×18=44000元． 采用方案①所获利润最大，为45000元． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找出题中隐藏的不等关系甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，列出不等式组解出即可． 25. 如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ， D为边的中点， ， ，， ， 在与中 ， ； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由为边的中点，可得，，，证明即可； （2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ， 为等边三角形， 在中，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ． 26. 阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： （1）分解因式：； （2）无论x取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 【答案】（1） （2）2023 【解析】 【分析】考查了完全平方公式的应用和非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据题干的方法求解即可； （2）利用配方法将代数式转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ， ， 故的最小值为2023． 27. 如图，在中，，点D在内，，点E在外，． （1）求的度数； （2）判断的形状并加以证明； （3）连接，若，直接写出的长． 【答案】（1） （2） 解：结论：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， 在和中，， ∴， ， ， ∴是等边三角形． （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明是等边三角形，推出，再证明推出即可解答； （2）先证明，然后根据全等三角形的性质及等边三角形的判定即可解答． （3）先证明是含有30度角的直角三角形，求出的长，再根据全等三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：连接． ，， ， ，， ， ， ∵， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $