精品解析：2024年广东省梅州市五华县初中毕业水平考试模拟试题数学试题

2024年五华县初中毕业水平考试模拟试题 数 学 说明： 1．全卷共6页，分选择题、填空题和解答题三大题25小题，全卷满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号，再在考生号栏下写上14位考生号，最后用2B铅笔把考生号对应的地方涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，最小的是（ ） A. －2 B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可． 【详解】由题意知：3.14 ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较法则的应用，正确掌握实数大小比较法则是解题的关键． 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练运用数形结合思想．从左边观看立体图形即可得到． 【详解】解：从左边观看立体图形可得左视图为直角在左边的直角三角形， 故选：B． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方运算，同底数幂乘法，完全平方公式，掌握单项式乘以单项式的法则，，，是解题的关键． 【详解】解：A、，结论错误，不符合题意； B、，结论错误，不符合题意； C、，结论正确，符合题意； D、，结论错误，不符合题意； 故选：C． 4. 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 两点确定一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． 5. 一组数据0，1，1，2，若添加一个数3后得到一组新数据，则这组新数据的中位数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义，将所给数据按大小顺序排列，最中间的数即为中位数． 【详解】解：数据0，1，1，2，3， 中间的数是1 ∴这组新数据的中位数是1． 故选：B． 6. 下面是琳琳作业中的一道题目： 已知：6，求的值． “”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为5，则破损处“0”的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的知识，正确确定的值是解题关键．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的表示形式并结合题意确定的值，进而完成解答解． 【详解】解：根据题意，可得， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为11． 故选：C． 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：根据题意，可得， 解得． 故选：A． 8. 如图，点A，B，C在上，C为的中点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．根据C为的中点得到，即可求出，根据圆周角定理可以求出． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A 9. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，交y轴于点C，．若的面积是2，则k的值是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题关键．连接，作轴于D，根据三角形中线平分面积求出三角形的面积，再求证出三角形是等边三角形，再利用反比例函数的几何意义求出k即可． 【详解】解：连接，作轴于D， 的面积是2，， 的面积为2， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ∵， ∴， ， ， ， ∵反比例函数的图象位于第一象限， ． 故选：C． 10. 已知抛物线（，a，b，c是常数）开口向上，过，两点（其中），下列四个结论：①；②若，则；③对于任意实数t，总有；④关于x的一元二次方程（）必有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴为直线，从而可得，再根据二次函数的性质与图象即可判断；把抛物线表达式转化成，求得、，可得，即可判断；利用作差法可得，即可判断；根据二次函数与二元一次方程组的关系进行判断即可． 【详解】解：∵对称轴为， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴，故①正确； 若，则， ∴抛物线与x轴交于点、， ∴，解得，故②错误； ∵， ∵，， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向上，且与x轴有两个交点， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程（）必有两个不相等的实数根，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x的交点问题、二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质、函数与方程的关系是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 12. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，先根据关于原点对称的点的坐标特点求出a、b的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点与点关关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，设围成的正方形的边长为a，算出6号板的面积与整体正方形的面积比即可知道答案． 【详解】解：设围成的正方形的边长为a， 则正方形的对角线长为， 五号板的直角边为， ∴六号板的一边为，另一边为： ∴六号板的面积为 正方形的面积为： 所以停在1号板区域的概率是 故答案为： 14. 代数式的最小值为______________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构及其非负性是解题关键． 根据完全平方公式将原式变形为，然后利用完全平方式的非负性分析其最值． 【详解】 ∴代数式的最小值为4． 故答案为：4． 15. 如图，以边长为2的等边顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交于D，E，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】作，由勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切， 设切点为F，连接，则． 等边中，， ∴． 在中， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键． 16. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结．则线段的最小值是______________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，根据函数关系式求出点B的坐标，可求出，再结合已知条件可知是的中位线，当点B，C，P三点共线时，且在之间，最小，求出最小值． 【详解】连接，． ∵抛物线与x轴交于点A，B两点， 令，则， 解得，， ∴，， ∴． ∵点， ∴， 根据勾股定理，得． ∵点Q是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 可知最小，即最小， 当点B，C，P三点共线时，且点P在之间时，即点P与点D重合，最小， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】这是一道关于圆和二次函数的综合问题，考查了勾股定理，中位线的定义和性质，求二次函数图象与坐标轴的交点等，确定点P的坐标是解题的关键． 三、解答题：本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 先化简：，再从，，0和2中选择一个合适的数作为代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值、分式有意义的条件等知识，正确进行分式化简是解题关键．首先完成分式化简，再根据分式有意义的条件确定的取值，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵当，，2时，原分式无意义， ∴， 当时， 原式 ． 19. 某校为了助力宣传“百千万工程”弘扬五华美食文化，特举办五华特色美食知识竞赛．为此该校收集了五个当地美食图片（除正面图案外其余完全相同），依次记为A：酿豆腐，B：五华鱼生，C：白切鸡，D：擂茶，E：横陂小炒，然后背面朝上，参赛的同学从中随机抽取一张来介绍该美食文化． A：酿豆腐 B：五华鱼生C：白切鸡D：擂茶 （1）小麦抽到“A：酿豆腐”的概率为 ； （2）若小英从中随机抽取一张卡片记录下名称后，将卡片放回洗匀，小涛再随机从中抽取一张卡片记录下名称，请用列表或画树状图的方法求出他们抽取的美食相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出他们抽取的景点相同的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：从中随机抽取一张来介绍该景点，可能的结果有：A、B、C、D，E，则恰好选到A的概率为； 【小问2详解】 列表如下： 小涛 小英 A B C D E A B C D E 共有25种等可能的结果，其中他们抽取的美食相同的结果有5种， ∴他们抽取的美食相同的概率为． 20. 综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究用菱形一条对角线来作菱形．如图，是菱形的一条对角线，且顶点在射线上． （1）[动手操作]请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）[拓展延伸]若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 菱形，如下图所示； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—复杂作图、菱形的性质、菱形的面积、解直角三角形等知识，正确作出菱形是解题关键． （1）首先作出线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以的长度为半径作弧，交线段的垂直平分线于点，连接，由垂直平分线的性质可得，，由作图可知，易得，即四边形为菱形； （2）根据菱形的性质和三角函数解得的值，然后计算菱形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 21. 如图，在中，，点O在边上，且，过点A作交的延长线于点D，以点O为圆心，的长为半径作交于点E． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为3，，求线段的长． 【答案】（1）证明：过点O作，垂足为F． ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即为的半径，∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作，垂足为F．由题意得，进而得，由，得，问题得证； （2）由勾股定理求得，证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的半径为3，， ∴，， 在中，由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 五华，这片土地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． （1）求每个足球和足球锥形桶的单价； （2）根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元 （2）当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一次函数的应用等知识． （1）设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元，根据“买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元”列出方程组，解方程组即可求解； （2）设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元，根据题意列出函数关系式，根据题意得到，根据一次函数性质即可得到当时，，问题得解． 【小问1详解】 解：设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元． 依题意，得， 解得：， 答：每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元； 【小问2详解】 解：设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元， 则， 由题意得：， ∴， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，， （个）． 答：当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元． 23. 图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为，转动点距离地面的高度为． （1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点距离地面的高度； （2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，） 【答案】（1） （2）无法实施有效救援． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到； （2）根据矩形的性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到，进而得到该消防车能否可以实施有效救援． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵的最大角度为， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∴最高救援高度为， ∵该居民家距离地面的高度为， ∴, 故该消防车无法实施有效救援． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键． 24. 【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H在的延长线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，证明，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，，证明，得出，证明，得出，由平行线的性质可得，即可得证； （3）延长至点G，使，连接，由菱形的性质可得，，证明，得出，， 证明是等边三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如解图，延长至点G，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM． ①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形； ②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或 （3）①证明：∵沿对折，P的对应为点N， ∴，，， ∵垂直于x轴在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得，，，点D的坐标为，分当、、为对角线，三种情况讨论，利用中点坐标公式求解即可； （3）①只要利用等边对等角证明，即可得到四边形为菱形； ②先求得直线解析式，设，则，求得，，分和，两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或． 在中， 令，得：， 解得：，， ∴，， 令得， ∴， 存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设点D的坐标为， 如图，分情况讨论： ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴； ②当为对角线时，，， 解得：，， ∴； ③当为对角线时，，， 解得：，， ∴； 综上所述，平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或； 【小问3详解】 解：①略 ②设直线解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：， 设，则， ∴， ∵，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 要使和相似，共有两种可能： 1）当， ∴，即， 解得：，（不合，舍去）； ∴； 2）当， ∴， 即， 解得：，（不合，舍去）， ∴； 综上所述，点P的坐标为或； 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了折叠的性质，二次函数的图象及性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定，折叠的性质，数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年五华县初中毕业水平考试模拟试题 数 学 说明： 1．全卷共6页，分选择题、填空题和解答题三大题25小题，全卷满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号，再在考生号栏下写上14位考生号，最后用2B铅笔把考生号对应的地方涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，最小的是（ ） A. －2 B. C. 1 D. 4 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 两点确定一条直线 5. 一组数据0，1，1，2，若添加一个数3后得到一组新数据，则这组新数据的中位数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 下面是琳琳作业中的一道题目： 已知：6，求的值． “”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为5，则破损处“0”的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，点A，B，C在上，C为的中点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，交y轴于点C，．若的面积是2，则k的值是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 10. 已知抛物线（，a，b，c是常数）开口向上，过，两点（其中），下列四个结论：①；②若，则；③对于任意实数t，总有；④关于x的一元二次方程（）必有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ③④ D. ①③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的立方根是___________． 12. 已知点与点关于原点对称，则_____． 13. 如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率是___________． 14. 代数式的最小值为______________． 15. 如图，以边长为2的等边顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交于D，E，则图中阴影部分的面积是______． 16. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结．则线段的最小值是______________． 三、解答题：本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简：，再从，，0和2中选择一个合适的数作为代入求值． 19. 某校为了助力宣传“百千万工程”弘扬五华美食文化，特举办五华特色美食知识竞赛．为此该校收集了五个当地美食图片（除正面图案外其余完全相同），依次记为A：酿豆腐，B：五华鱼生，C：白切鸡，D：擂茶，E：横陂小炒，然后背面朝上，参赛的同学从中随机抽取一张来介绍该美食文化． A：酿豆腐 B：五华鱼生C：白切鸡D：擂茶 （1）小麦抽到“A：酿豆腐”的概率为 ； （2）若小英从中随机抽取一张卡片记录下名称后，将卡片放回洗匀，小涛再随机从中抽取一张卡片记录下名称，请用列表或画树状图的方法求出他们抽取的美食相同的概率． 20. 综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究用菱形一条对角线来作菱形．如图，是菱形的一条对角线，且顶点在射线上． （1）[动手操作]请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）[拓展延伸]若，，求菱形的面积． 21. 如图，在中，，点O在边上，且，过点A作交的延长线于点D，以点O为圆心，的长为半径作交于点E． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为3，，求线段的长． 22. 五华，这片土地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． （1）求每个足球和足球锥形桶的单价； （2）根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 23. 图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为，转动点距离地面的高度为． （1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点距离地面的高度； （2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，） 24. 【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM． ①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形； ②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $