精品解析：黑龙江省哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

哈尔滨市第十一中学校高二学年下学期期中考试 数学试题 分数：150分时间120分钟命题人、校对人：高二数学组 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项公式，结合通项确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项公式为， 令，可得， 所以展开式中的系数为. 故选：B. 2. 在等比数列中，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项的性质即可求出的值. 【详解】在等比数列中，有，解得. 故选：A 3. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时的取值范围，再利用单调性逐项判断即可. 【详解】由导函数图像可知，当或时，， 当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选项A，B错误； 在处取得极大值，且，故C错误，D正确； 故选：D. 4. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而利用点斜式计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A 5. 在等差数列中，若，则（ ） A. 45 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6. 现有5名毕业生去枣庄三中、枣庄八中、滕州一中三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录取情况种数是（ ） A. 420 B. 390 C. 360 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及平均分组问题求解. 【详解】①当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为， ②当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为， ③当5人全部被录取，则不同的录取情况数为， 综上不同的录取情况数共有种. 故选：B. 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意可将问题转化为方程有两个不同正实数根、，解出方程组即可得. 【详解】， 由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点， 即当时，有两个不同正实数根， 令方程有两个不同正实数根为、， 则有，，则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：C. 8. 已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用错位相减求和法求出，再按奇偶讨论求出a的范围. 【详解】由数列的前n项和为且，得， 于是， 两式相减得：， 因此，，显然数列是递增数列， 当为奇数时，，由恒成立，得，则， 当为偶数时，，由恒成立，得，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分） 9. 下列四个关系式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据排列数公式和排列数的性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D错误. 故选：AC. 10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 若数列的前项和，则数列为等比数列 B. 若的前项和，则数列为等差数列 C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项A，利用与的关系判断即可判断，对选项B，利用特值法即可判断，对选项C，利用特值法即可判断，对选项D，根据等差数列公式即可判断. 【详解】对选项A，当时，， 当时， 取时，，此时也满足， 故的通项公式为 所以数列为等比数列，故A正确； 对选项B，， ，不满足数列为等差数列，故B错误； 对选项C，当时，为等比数列， ， 不满足成等比数列，故C错误； 对选项D，设等差数列的公差为，首项是，， ， ， 因此，则成等差数列，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数在区间上单调递减，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意得到在上恒成立，分类讨论的取值范围，结合参数分离法，构造函数即可得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意； 当时，则在上恒成立， 令， 所以在上恒成立，所以在上单调递增， 又，故，即， 综上，，经检验，CD正确，AB错误． 故选：CD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 已知函数，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求导得出函数在上的单调性，即可求得的最大值为. 【详解】由可得， 令可得， 又，所以， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增； 易知； 因此的最大值为. 故答案为： 13. 展开式中的系数为，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析求解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 可知展开式中含的项为， 则展开式中的系数为，解得. 故答案为：1. 14. 大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有__________种． 【答案】84 【解析】 【分析】分去生物且生物只去一人、去生物且生物只去两人、去影视且生物只去一人、去影视且生物只去两人四种情况讨论求出，注意特殊的先讨论. 【详解】去生物且生物只去一人：种， 去生物且生物只去两人：种， 去影视且生物只去一人：种， 去影视且生物只去两人：种， 一共种， 故答案为：84 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18． （1）求频率分布直方图中的值； （2）从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）根据评分在的游客人数为18和总人数为50得到，利用频率之和为1得到方程，求出； （2）根据分层抽样的方法得到评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为，列举出所有情况和2人中恰有1人的满意度评分在的情况，求出概率. 【小问1详解】 由题知，， ，解得． 【小问2详解】 由题知，抽取的50名游客中满意度评分在的人数为， 满意度评分在的人数为， 抽取的5人中，满意度评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为， 从5人中随机抽取2人的不同取法为，，共有10种不同取法， 设“2人中恰有1人的满意度评分在”为事件， 则事件包含的取法为，，共有6种不同取法． ． 16. 已知数列满足，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式； （2）利用等差数列求和公式求出，再根据二次函数的性质求出最小值及的值. 【小问1详解】 由知为等差数列，设的公差为，则， 又，，成等比数列，所以，即， 解得，又，所以的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以当时，取得最小值，最小值为. 17. 已知函数，当时，取得极值． （1）求的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3）最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据极值定义和函数值，求得的值，从而得到解析式； （2）利用导函数的正负，解出的范围，从而得到函数的单调性； （3）根据在区间上单调性，求得最值即可. 【小问1详解】 依题意可得， 又当时，取得极值， 所以，即，解得， 所以. 此时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以在单调递增，在单调递减. 所以时，取得极小值，极小值为，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，. 令，解得或；令，解得. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 【小问3详解】 由（2）可知在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以在区间最大值为1， 因为，所以在区间最小值为. 所以在区间上的最大值为1，最小值为. 18. 已知数列的前项和为，满足． （1）求的通项公式； （2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和． 【答案】（1） （2）前6项为2，，，，，；； 【解析】 【分析】（1）与的关系法求数列通项公式； （2）由题写出前6项，然后分成两个子数列分别求和即可. 【小问1详解】 当时，有，解得； 当时，有，联立条件， 得， 即，即； 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列， 因此，． 【小问2详解】 删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大排列依次为： ，，，，，，… 数列前6项为2，，，，． ． 注意到，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列， ，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列， ． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解； （2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】结论点睛：恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第十一中学校高二学年下学期期中考试 数学试题 分数：150分时间120分钟命题人、校对人：高二数学组 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. 10 D. 2. 在等比数列中，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 3. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 4. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，若，则（ ） A. 45 B. 6 C. 7 D. 8 6. 现有5名毕业生去枣庄三中、枣庄八中、滕州一中三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录取情况种数是（ ） A. 420 B. 390 C. 360 D. 300 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分） 9. 下列四个关系式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 若数列的前项和，则数列为等比数列 B. 若的前项和，则数列为等差数列 C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列 11. 已知函数在区间上单调递减，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 已知函数，则的最大值为_______． 13. 展开式中的系数为，则的值为______． 14. 大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有__________种． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18． （1）求频率分布直方图中的值； （2）从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率． 16. 已知数列满足，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 17. 已知函数，当时，取得极值． （1）求的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最值． 18. 已知数列的前项和为，满足． （1）求的通项公式； （2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $