精品解析：山东省菏泽市第一中学八一路校区2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题

菏泽一中八一路高一下学期第三次月考 数学试题 一、单选题 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 3. 如图，是边的中点，在上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设的内角的对边分别为若的周长为则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 6. 我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为2，则（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 6 8. 每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰．为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如下表所示），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图（如图所示）． 治理杨絮——您选哪一项？（单选） a．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量 b．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 c．选育无絮杨品种，并推广种植 d．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 e．其他 由两个统计图可知，选择d的人数和扇形统计图中e的圆心角度数分别为（ ） A. 500， B. 250， C. 500， D. 250， 二、多选题 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（ ） A. 正八面体的内切球表面积为 B. 正八面体的外接球体积为 C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题 12. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______. 13. 为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第70百分位数为__________. 14. 已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为______． 四、计算题 15. 如图：已知平面.满足 求证： 16. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 17. 庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上､生命至上，果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； 18. 如图，在四棱锥中， 底面， ， ，点为棱的中点. （1）证明：面； （2）求三棱锥的体积． 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面， 为的中点. （1）求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菏泽一中八一路高一下学期第三次月考 数学试题 一、单选题 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的乘法法则对进行化简；再根据列出等式求解即可. 【详解】， 因为， 则. 故选：C. 2. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可. 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 故选：B 3. 如图，是边的中点，在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量加减法则，即可得到答案. 【详解】由题意有， 所以． 故选：A 4. 设的内角的对边分别为若的周长为则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由及正弦定理得化简结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知, 由正弦定理得 即整理得 由余弦定理得 又所以 故选：A． 5. 如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为是的中点，则 ， 、、三点共线， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D． 6. 我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用正、余弦定理求，代入题中公式运算求解. 【详解】因为，由余弦定理可得，解得， 又因为，由正弦定理可得，且，即，解得， 所以. 故选：B. 7. 如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为2，则（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】通过作辅助线，将相关向量线性表示出来，再利用数量积定义式和运算律计算即得. 【详解】 如图，连接，延长交于点，延长交于点. 则由题意和图形的对称性，可知,且 ， 由题意可知，. 故选：C. 8. 每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰．为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如下表所示），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图（如图所示）． 治理杨絮——您选哪一项？（单选） a．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量 b．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 c．选育无絮杨品种，并推广种植 d．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 e．其他 由两个统计图可知，选择d的人数和扇形统计图中e的圆心角度数分别为（ ） A. 500， B. 250， C. 500， D. 250， 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据频率和频率求总的受调查市民的总人数，再根据比例关系即可求解. 【详解】设接受调查市民的总人数为x， 由调查结果条形统计图可知选择a的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知选择a的人数比列为，解得． ∴选择d的人数为， ∴扇形统计图中e的圆心角数为. 故选：A 二、多选题 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复数，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B正确；结合复数的几何意义，可判定C正确；根据复数相等的条件，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A中，若复数，满足，但两个虚数不能比大小，所以A项错误； 对于B中，若，则，即， 可得或，所以，所以B项正确； 对于C中，由于表示两个复数在复平面上对应的两点之间的距离， 所以，表示复平面内到点距离为3的点的集合， 所以对应的点的轨迹为圆心在，半径为3的圆，所以C项正确； 对于D中，由是关于的方程的根， 故，即， 可得，所以，所以D项正确. 故选：BCD． 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C，根据正弦函数的性质判断D． 【详解】对于A：在中，由正弦定理得，为外接圆的半径， 因为，所以，所以，故A正确； 对于B：在中，由正弦定理得：，为外接圆的半径， 因为，所以，所以，所以，故B错误； 对于C：若，由正弦定理可得， 即， 又，所以或， 所以或， 所以为等腰角三角形或直角三角形，故C错误； 对于D：若为锐角三角形，则，， 又正弦函数在为单调增函数，，即，故D项正确． 故选：AD． 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（ ） A. 正八面体的内切球表面积为 B. 正八面体的外接球体积为 C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，可以利用等体积列出关于内切球半径的方程，解之即得；对于B项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形的中心即为外接球球心，计算即得；对于C项，通过两个侧面翻折共面后即得共线时取最小值；对于D项，通过发现并证明//平面，将的体积进行多次转化成三棱锥的体积，计算即得. 【详解】对于A项，设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积， 解得，故它的内切球表面积为，故A项正确； 对于B项，设该正八面体外接球的半径为，由图知，是正方形，, 在中，,利用对称性知,故点为正八面体外接球的球心，则， 所以正八面体外接球的体积为，故项错误； 对于C项，如图，因与是边长为2的全等的正三角形，可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形. 连接与相交于点，此时,,则取得最小值为，故项正确； 对于D项，易知，因为平面平面，所以//平面， 所以，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______. 【答案】13 【解析】 【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解. 【详解】因为是的中点， 所以， 因为为三角形外接圆圆心，也就是三角形的三边中垂线的交点， ， 同理可得， . 故答案为：13. 13. 为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第70百分位数为__________. 【答案】84.55 【解析】 【分析】利用第70百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可. 【详解】由题意得， 解得， 因为前4组数据的频率之和为， 前5组数据的频率之和为， 则分位数在内，设分位数为x， 则，解得， 所以分位数约为. 故答案为： 14. 已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得平面和，利用三棱锥体积公式和重要不等式，可得三棱锥的体积最大值，依题求出，即得,得出结论. 【详解】 如图，因为是三棱锥外接球的直径，所以． 又，故平面， 因平面，则．又，所以面， 因平面，故． 于是，三棱锥的体积为． 因（当且仅当时等号成立），所以体积的最大值为， 依题意，解得．因，故， 所以三棱锥的外接球的表面积为：． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与球体相关几何体的运算，考查了线线、线面垂直的推导，属于难题. 解题思路为，利用题设先确定几何图形中的相关线面，线线的垂直关系，为表示三棱锥体积奠定基础，之后利用基本不等式结合体积最大值即可求得外接球半径. 四、计算题 15. 如图：已知平面.满足 求证： 【答案】 证明：设， 在平面内取一点，过作于，过作于C. 且， 又，， 又，， 同理可证， 又且， 【解析】 【分析】设，在平面内取一点，过作于，过作于C，则可证得，，从而可证得，，进而可证得 【详解】略 16. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 17. 庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上､生命至上，果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； 【答案】（1）2 （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据各矩形的面积之和为1，求得，再根据各层的人数比例抽取； （2）利用平均数和中位数公式求解. 【小问1详解】 由， 得， 因为（人），（人）， 所以不高于50分的抽取（人）. 【小问2详解】 平均数 ， 因为在内共有人， 在内共有人， 所以中位数位于内， 则中位数为. 18. 如图，在四棱锥中， 底面， ， ，点为棱的中点. （1）证明：面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 证明：取中点，连接， 分别是的中点， ，而， 故， ， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面，平面. （2） . 【解析】 【分析】(1) 取中点，连接，由题意可得，然后利用线面平行的判断定理可得平面； (2)转化三棱锥顶点利用计算，可求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 故 ， 底面， ，则三棱锥P-BDC的高为2， 则. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面， 为的中点. （1）求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在等边中，因为 为的中点，所以， 在正方形 中，， 又因为平面平面 ，平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为,平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接.证明是平面与平面 所成二面角的平面角.在中，由余弦定理即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接. 则，又正方形 中，，所以, 在等边中，因为为 的中点，所以. 因为平面平面 ，平面平面， 所以平面 ，因为平面 ，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以是平面与平面 所成二面角的平面角. 设，则， 所以. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $