精品解析：2024年云南省楚雄彝族自治州楚雄市中考二模数学试题

2024年云南省初中学业水平考试 数学押题卷（一） （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果大风车顺时针旋转，记作，那么大风车逆时针旋转，记作（ ） A. B. C. D. 2. 数学世界充满了许多美妙的几何图形，古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”下列数学图形，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 首届楚雄时装周于2024年1月在云南省楚雄彝族自治州举办，活动邀请来自国内外的代表团进行了1100多套传统民族服饰的展示和分享，共举办39场精品走秀，推进非物质文化遗产保护利用和民族服装服饰产业化建设．近年来，楚雄州建立起彝绣产业工作专班，加快形成产业发展合力，带动5.7万名绣娘在家门口就业．将数据5.7万用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 【传统文化——文房四宝】笔、墨、纸、砚称为中国传统的文房四宝，是中国特有的文书工具，承载了中国文化的深刻内涵．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台的实物图和抽象图，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 7. 云南蒙自石榴是全国特色水果之一，是全国农产品地理标志．它的果实呈浅红色，果肉挺实，丰厚鲜美，甜酸娇嫩，口感宜人，有清热解毒、良性收敛肌肤等功效，深受群众喜爱，成为人们日常生活中不可缺少的美食．小红到水果批发市场购买石榴，店里标注石榴每千克20元，她与老板经过议价，老板同意在购买很多的情况下，按原价打九折卖给小红．称完质量后，老板告诉小红：“你比上一位顾客多买了5千克，打折后你比他按原价购买还少花10元．”则小红购买石榴的质量是（ ） A. 45千克 B. 50千克 C. 55千克 D. 60千克 8. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 为了让学生更加了解互联网相关知识，某校准备开展“互联网”主题日活动，拟聘请专家为学生做以下五个领域的专题报告：A．数字孪生；B．人工智能；C．应用；D．工业机器人；E．区块链．为了解学生的意向，学校随机调查了40名学生，根据调查数据绘制成如图所示不完整的统计图．若该校共有1600名学生，则该校学生的意向为D．工业机器人的约有（ ） A. 400名 B. 480名 C. 320名 D. 500名 10. 当时，的值为，则当时，的值为（ ）． A. 2 B. C. 8 D. 11. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在边上，，作的平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 下列命题是真命题的是（ ） A. 角是轴对称图形，对称轴是角平分线 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 若甲、乙两组数据的平均数都是3，，，则乙组数据较稳定 D. 数轴上的每一个点都表示一个实数 13. 如图，四边形内接于．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在中，，，点E是的中点，则的面积是（ ） A. 3 B. 12 C. 24 D. 32 15. 已知某品牌蓄电池电压（单位：V）为定值，在使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 蓄电池的电压是 B. 当时， C. 反比例函数关系式为 D. 当时， 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：_____． 17. 如图，，若，可添加一个条件是_____（填写一个条件即可） 18. 为了让学生了解国内外时事，培养读书看报、关心国家时事的好习惯，增强社会责任感，某学校决定选择一批学生作为新闻播报员，在校园内对日常新闻进行播报．选拔考核是将笔试、面试、实际操作的成绩按照的比例确定最终的综合成绩，小新各项成绩（百分制）如下表，则小新最终的综合成绩为______分． 笔试/分 面试/分 实际操作/分 95 80 90 19. 如图，在矩形纸片中，长为，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则围成的圆锥的表面积为______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，点D在内部，，．求证：． 22. 每年月日是我国的全国防灾减灾日，年月日西双版纳傣族自治州组织开展地震应急演练．某校积极响应，组织全体同学进行了两次地震应急演练，第一次地震应急演练后，经过专家的指导，优化了撤离方案，第二次平均每秒撤离的人数比第一次多人，结果名同学全部撤离的时间比第一次节省了秒，求第一次平均每秒撤离多少人． 23. 在刚刚结束的“24小时不打烊”活动中，某商场为了增加销售额，举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，顾客消费每满100元可获得一次摸球机会．若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到白球，则没有奖品． （1）如果小明只有一次摸球机会，那么小明获得1份奖品的概率为______； （2）商场规定若同一名顾客连续两次摸球都摸出红球，则可以额外获得商场准备的惊喜礼包．如果小明有两次摸球机会（第一次摸出后放回），求小明获得惊喜礼包的概率．（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程） 24. 如图，在平行四边形中，，，过点A作边的垂线交的延长线于点E，F是垂足，连接，，交于点O． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求值． 25. 某企业设计了一款旅游纪念工艺品，每件的成本是60元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，当销售单价是100元/件时，每天的销售量是80件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出4件，但要求销售单价不得低于成本． （1）写出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． （2）求出当销售单价定为多少元/件时，每天销售利润最大，最大利润是多少？ 26. 定义：对于一次函数（k，m是常数，）和二次函数（a，b，c是常数，），如果，，那么一次函数叫做二次函数牵引函数，二次函数叫做一次函数的原函数． （1）若二次函数（a是常数，的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值； （2）已知一次函数是二次函数的牵引函数，在二次函数上存在两点，．若也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且，求m的取值范围． 27. 如图，在中，，以为直径的交于点E，D是边的中点，连接．已知的半径为4，． （1）求的值； （2）求证：是的切线； （3）连接交于点F，连接，，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年云南省初中学业水平考试 数学押题卷（一） （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果大风车顺时针旋转，记作，那么大风车逆时针旋转，记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数意义，根据顺时针旋转为正，则逆时针旋转为负，进行判断即可． 【详解】解：∵顺时针旋转，记作， ∴逆时针旋转，记作； 故选A． 2. 数学世界充满了许多美妙几何图形，古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式．”下列数学图形，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此解答即可． 【详解】解：A、选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图案是中心对称图形，故此选项符合题意； D、选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，二次根式的运算，根据相应运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误； B、，故原选项计算正确； C、，故原选项计算错误； D、不能合并，故原选项计算错误； 故选B． 4. 首届楚雄时装周于2024年1月在云南省楚雄彝族自治州举办，活动邀请来自国内外的代表团进行了1100多套传统民族服饰的展示和分享，共举办39场精品走秀，推进非物质文化遗产保护利用和民族服装服饰产业化建设．近年来，楚雄州建立起彝绣产业工作专班，加快形成产业发展合力，带动5.7万名绣娘在家门口就业．将数据5.7万用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法．根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：5.7万； 故选C． 5. 【传统文化——文房四宝】笔、墨、纸、砚称为中国传统的文房四宝，是中国特有的文书工具，承载了中国文化的深刻内涵．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台的实物图和抽象图，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据左视图，是从左边看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，左视图为： 故选B． 6. 已知函数在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，以及被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴且； 故选C． 7. 云南蒙自石榴是全国特色水果之一，是全国农产品地理标志．它的果实呈浅红色，果肉挺实，丰厚鲜美，甜酸娇嫩，口感宜人，有清热解毒、良性收敛肌肤等功效，深受群众喜爱，成为人们日常生活中不可缺少的美食．小红到水果批发市场购买石榴，店里标注石榴每千克20元，她与老板经过议价，老板同意在购买很多的情况下，按原价打九折卖给小红．称完质量后，老板告诉小红：“你比上一位顾客多买了5千克，打折后你比他按原价购买还少花10元．”则小红购买石榴的质量是（ ） A. 45千克 B. 50千克 C. 55千克 D. 60千克 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，设小红购买石榴的质量是千克，则上一位顾客购买石榴的质量是千克，根据小红花的钱比上一位顾客少花10元，列式求解即可． 【详解】解：设小红购买石榴的质量是千克，则上一位顾客购买石榴的质量是千克， 根据题意得：， 整理得，解得， 答：小红购买石榴的质量是55千克， 故选：C． 8. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别算出每个不等式，根据小小取小，得出它们的公共解集，即可作答． 【详解】解：， 由①得，解得， 由②得，解得， ∴不等式组的解集为， 故选：A． 9. 为了让学生更加了解互联网相关知识，某校准备开展“互联网”主题日活动，拟聘请专家为学生做以下五个领域的专题报告：A．数字孪生；B．人工智能；C．应用；D．工业机器人；E．区块链．为了解学生的意向，学校随机调查了40名学生，根据调查数据绘制成如图所示不完整的统计图．若该校共有1600名学生，则该校学生的意向为D．工业机器人的约有（ ） A. 400名 B. 480名 C. 320名 D. 500名 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用样本估计总体，用总人数乘以D．工业机器人在样本中所占的比例，进行求解即可． 【详解】解：（名）； 故选B． 10. 当时，的值为，则当时，的值为（ ）． A. 2 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及整体代入法求解，现将代入得到，再将代入得到，最后将代入即可得到答案，熟练掌握代数式求值方法是解决问题的关键． 【详解】解：当时，的值为， ， 当时，， 故选：D． 11. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在边上，，作的平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，与角平分线有关的计算，平行线的性质，求出的度数，外角的性质，求出的度数，角平分线求出的度数，再利用角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选B． 12. 下列命题是真命题的是（ ） A. 角是轴对称图形，对称轴是角平分线 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 若甲、乙两组数据的平均数都是3，，，则乙组数据较稳定 D. 数轴上的每一个点都表示一个实数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据轴对称图形，平行线的性质，利用方差判断稳定性，实数与数轴，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故原选项是假命题； B、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原选项是假命题； C、若甲、乙两组数据的平均数都是3，，，则甲组数据较稳定，故原选项是假命题； D、数轴上的每一个点都表示一个实数，故原选项是真命题； 故选D． 13. 如图，四边形内接于．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，根据平行线的性质，得到，等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴； 故选C． 14. 如图，在中，，，点E是的中点，则的面积是（ ） A. 3 B. 12 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理．根据三角形外角的性质及证得，设，在中利用勾股定理即可求出x的值，从而求出的面积，再根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形计算即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴的面积为：， ∵点E是的中点， ∴的面积是， 故选：B． 15. 已知某品牌蓄电池的电压（单位：V）为定值，在使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 蓄电池的电压是 B. 当时， C. 反比例函数关系式为 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键，根据图象求出反比例函数解析式，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵，且电流I与电阻R是反比例函数关系， ∴， A、蓄电池的电压是，故此项错误； B、当时，，由于电流I与电阻R是反比例函数关系，故此项正确； C、反比例函数关系式为，此项错误； D、反比例函数关系式为，当时，，此项错误． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17. 如图，，若，可添加的一个条件是_____（填写一个条件即可） 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 所以，若，可添加的一个条件是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键． 18. 为了让学生了解国内外时事，培养读书看报、关心国家时事的好习惯，增强社会责任感，某学校决定选择一批学生作为新闻播报员，在校园内对日常新闻进行播报．选拔考核是将笔试、面试、实际操作的成绩按照的比例确定最终的综合成绩，小新各项成绩（百分制）如下表，则小新最终的综合成绩为______分． 笔试/分 面试/分 实际操作/分 95 80 90 【答案】89 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数的计算，根据各项的权重计算平均数即可，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：小新最终的综合成绩为分， 故答案为89． 19. 如图，在矩形纸片中，长为，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则围成的圆锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后求得直径即可．本考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则， 根据题意得：， 解得：， 侧面积为：， 底面积为： 所以圆锥的表面积为：， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，先进行乘方，零指数幂，去绝对值，特殊角的三角函数值的计算，乘法运算，再进行加减运算即可． 详解】解：原式 21. 如图，点D在内部，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的判定，由，可知，再利用即可证明结论，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴． 22. 每年月日是我国的全国防灾减灾日，年月日西双版纳傣族自治州组织开展地震应急演练．某校积极响应，组织全体同学进行了两次地震应急演练，第一次地震应急演练后，经过专家的指导，优化了撤离方案，第二次平均每秒撤离的人数比第一次多人，结果名同学全部撤离的时间比第一次节省了秒，求第一次平均每秒撤离多少人． 【答案】第一次平均每秒撤离人． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，设第一次平均每秒撤离x人，则第二次平均每秒撤离人，根据题意列出方程并检验即可，解题的关键读懂题意列出分式方程． 【详解】解：设第一次平均每秒撤离x人，则第二次平均每秒撤离人， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 答：第一次平均每秒撤离人． 23. 在刚刚结束的“24小时不打烊”活动中，某商场为了增加销售额，举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，顾客消费每满100元可获得一次摸球机会．若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到白球，则没有奖品． （1）如果小明只有一次摸球机会，那么小明获得1份奖品的概率为______； （2）商场规定若同一名顾客连续两次摸球都摸出红球，则可以额外获得商场准备的惊喜礼包．如果小明有两次摸球机会（第一次摸出后放回），求小明获得惊喜礼包的概率．（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率： （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）列出表格，再用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：小明获得1份奖品的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 红 红 白 白 红 红红 红红 红白 红白 红 红红 红红 红白 红白 白 白红 白红 白白 白白 白 白红 白红 白白 白白 共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的情况有4种， ∴． 24. 如图，在平行四边形中，，，过点A作边的垂线交的延长线于点E，F是垂足，连接，，交于点O． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的值． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得，再得四边形为平行四边形，进而由，得四边形是正方形； （2）由（1）可知，证明，得到，然后求出长，利用解直角三角形求出长即可解题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵，， ∴四边形是正方形． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴． 25. 某企业设计了一款旅游纪念工艺品，每件的成本是60元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，当销售单价是100元/件时，每天的销售量是80件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出4件，但要求销售单价不得低于成本． （1）写出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． （2）求出当销售单价定为多少元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为90元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是3600元 【解析】 【分析】（1）根据销售单价为x元，则降价元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． （2）根据，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【小问1详解】 根据销售单价为x元，则降价元， 每件的盈利元，每天可售出件， 根据题意，得， 故． 【小问2详解】 由（1）可得． ∵，， ∴当时，y取得最大值，最大值为3600． 答：当销售单价定为90元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是3600元． 26. 定义：对于一次函数（k，m是常数，）和二次函数（a，b，c是常数，），如果，，那么一次函数叫做二次函数的牵引函数，二次函数叫做一次函数的原函数． （1）若二次函数（a是常数，的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值； （2）已知一次函数是二次函数的牵引函数，在二次函数上存在两点，．若也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且，求m的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）首先表示出二次函数（a是常数，）的牵引函数，联立两函数解析式得到一元二次方程，根据只有一个交点令，即可求出a的值； （2）首先求出一次函数的原函数，得到，，对称轴为直线，顶点坐标为．得到，，当点M在点A的左侧，即时，y随x的增大而减小，得到，解得；设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时， ，不符合题意；当点M在点的右侧，即时．y随x的增大而增大，，解得． 【小问1详解】 由题意，得二次函数的牵引函数为， 联立， 得． ∵二次函数（a是常数，）的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点， ∴ 解得或． 【小问2详解】 由题意可知原函数的解析式为， ∴当时，；当时，． ，，原函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． ∴， 当时，， ∴． ①如答图①，当点M在点A的左侧，即，时，y随x的增大而减小， ∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小， ∴， 解得或（舍去）． ②如答图②，设点A对称点为，当点M在点A与点之间时，，即，而，不符合题意； ③如答图③，当点M在点的右侧，即，时．y随x的增大而增大， ∴M点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ∴， 解得（舍去）或． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了新定义——牵引函数和原函数，熟练掌握新定义，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和二次函数的图象唯一交点性质，二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． 27. 如图，在中，，以为直径的交于点E，D是边的中点，连接．已知的半径为4，． （1）求的值； （2）求证：是的切线； （3）连接交于点F，连接，，求a的值． 【答案】（1） （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后得到，然后利用勾股定理求出，然后利用正弦值的概念求解即可； （2）连接，，由直径的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后得到，然后求出，进而可证明出是的切线； （3）证明出，得到，然后证明出是的中位线，得到，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵D是的中点， ∴． ∵的半径为4， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，，如答图． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 又∵D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵O是的中点，D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，三角形中位线的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $