精品解析：2024年四川省成都市温江区中考数学二诊试题

2024年四川省成都市温江区中考数学二诊试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 原子钟（）是一种精密的计时仪器和频率标准，精度可以达到每2000万年才误差1秒．将数据2000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在 和 中，点 在同一直线上，，，请添加一个条件，使 ，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 菲尔兹奖（）是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，每次授予 至 名有卓越贡献的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：，则这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有四张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、“冰壶”四种不同的图案，现将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽到的两张卡片的正面图案恰好是“冰球”和“冰壶”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有 人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数 的图象与 轴相交于 ，两点，对称轴是直线 ，下列说法正确的是（ ） A. B. 当 时，y的值随着x的值增大而减小 C. 点A的坐标为 D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 9. 因式分解：=_____． 10. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是________． 11. 如图， 和 是以点 为位似中心的位似图形，若，若 和 的面积之比是_____． 12. 分式方程的解是________________． 13. 在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在 内交于点O，作射线 ，交 于点D，则的值为______． 三、解答题：本大题共5个小题，共48分． 14. （1）计算：． （2）解不等式组：． 15. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动情况，对全校学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，对他们的劳动时间进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长 （单位：分钟） 人数 10 10 4 根据图表信息，解答下列问题： （1）分别求出m，n的值； （2）该校共有900名学生，请你估计等级为C的学生人数； （3）本次调查中，等级为D的4人中有2名男生和2名女生，若从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 16. 平板支架是一种可以固定和支撑平板电脑或其他电子设备的装置．它可以使平板电脑保持平稳不动，方便使用者进行多种操作，例如观看电影、阅读文献、打字及视频会议等． 如图，在侧面示意图中， ， ， 可分别绕点， ， 转动，测得，，，，，，，求点 到 的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 17. 如图， 是的直径，C为上一点，点D是的中点，连接交 于点E，延长至F，使． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求和长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的表达式及点 的坐标； （2）点在直线 上，若，求点的坐标； （3）我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．设 是反比例函数图象上一点， 是坐标轴上一点，当四边形是以两邻边相等且对角线互相垂直的“等邻边四边形”时，求两点的坐标． 一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 19. 已知，则代数式的值为______． 20. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则_______． 21. 如图， 是 的直径，与弦 交于点E，，，，则图中阴影部分的面积为______． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．若，则m的取值范围____________________． 23. 如图，在菱形 中，，， ， 分别是边 ， 上的两个动点，满足， 与 交于点 ．的度数为_____；当最大时，线段 的长是_____． 二、解答题：本大题共3个小题，共30分． 24. “低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台400元，乙型自行车进货价格为每台600元．该公司销售5台甲型自行车和3台乙型自行车，可获利1350元，销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利850元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共25台，且资金不超过12000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点 和点，点 为抛物线上异于点 的一动点，直线 与 轴交于点 ，点 关于直线 的对称点为．直线与抛物线交于另一点，连接 ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若直线 的表达式为，试探究k是否为定值．若是，请求出k值；若不是，请说明理由； （3）若为直角三角形，求点A的坐标． 26. 如图，在矩形 中，（n为正整数），点E是 边上一动点，P为 中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转 ，与矩形的边交于点F． 【尝试初探】 （1）在点E的运动过程中，当点F在 边上时，试探究线段， 之间的数量关系，请写出结论并证明； 【深入探究】 （2）若 ，在点E的运动过程中，当点F在 边上时，求的最小值； 【拓展运用】 （3）若 ，设 的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年四川省成都市温江区中考数学二诊试卷 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 原子钟（）是一种精密的计时仪器和频率标准，精度可以达到每2000万年才误差1秒．将数据2000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据2000万用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意， ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键． 4. 如图，在 和 中，点 在同一直线上，，，请添加一个条件，使 ，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， 又∵， ∴， 添加，可根据 得出，故C选项符合题意； 故选：C． 5. 菲尔兹奖（）是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，每次授予 至 名有卓越贡献的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：，则这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数，根据众数的定义即可求解，掌握众数的定义是解题的关键． 【详解】解：在数据中，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是， 故选：． 6. 如图，有四张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、“冰壶”四种不同的图案，现将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽到的两张卡片的正面图案恰好是“冰球”和“冰壶”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、“冰壶”四张卡片分别用表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中抽到的两张卡片的正面图案恰好是“冰球”和“冰壶”的结果有 种， ∴抽到的两张卡片的正面图案恰好是“冰球”和“冰壶”的概率是， 故选：． 7. 我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有 人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设共有x人，根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”列出方程，即可求解． 【详解】解：设共有x人，则可列方程为 ． 故选：B． 8. 如图，二次函数 的图象与 轴相交于 ，两点，对称轴是直线 ，下列说法正确的是（ ） A. B. 当 时，y的值随着x的值增大而减小 C. 点A的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与 轴的交点．抛物线开口向上则，即可判断A；又，对称轴是直线 ，从而当 时，的值随着 的值增大而增大，故可判断B；又，对称轴是直线 ，则，故可判断C；结合，，抛物线开口向上，从而当时，，进而可以判断D． 【详解】解： 抛物线开口向上， ，故A错误； 开口向上，对称轴是直线 ， 当 时，的值随着 的值增大而增大，故B错误． ，对称轴是直线 ， ，故C错误． 结合，，抛物线开口向上， 当时，． 故D正确． 故选：D． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 9. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 10. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数图象分布情况，继而得到 的取值范围即可． 【详解】解： 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ． 故答案为：． 11. 如图， 和是以点为位似中心的位似图形，若，若 和的面积之比是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到， ，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故答案为：． 12. 分式方程的解是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， ， 方程两边都乘，得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：． 13. 在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在 内交于点O，作射线 ，交 于点D，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，过D点作于H点，由角平分线的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：如图，过D点作于H点， 由题中作法得 平分 ， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题：本大题共5个小题，共48分． 14. （1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先代入三角函数值、计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 15. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动情况，对全校学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，对他们的劳动时间进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长 （单位：分钟） 人数 10 10 4 根据图表信息，解答下列问题： （1）分别求出m，n的值； （2）该校共有900名学生，请你估计等级为C的学生人数； （3）本次调查中，等级为D的4人中有2名男生和2名女生，若从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）； （2）估计等级为 的学生人数约360人； （3）恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用统计图中 的人数除以扇形统计图中 的百分比可得抽样调查的人数，再用 的人数除以抽样调查的人数再乘以可得，即可得 的值．用抽样调查的人数分别减去 ， ， 等级的人数，可得 的值． （2）根据用样本估计总体，用900乘以 等级的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：抽样调查的人数为（人 ， ， ． ． 【小问2详解】 解：（人）． 估计等级为 的学生人数约360人； 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种， 恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 16. 平板支架是一种可以固定和支撑平板电脑或其他电子设备的装置．它可以使平板电脑保持平稳不动，方便使用者进行多种操作，例如观看电影、阅读文献、打字及视频会议等． 如图，在侧面示意图中， ， ， 可分别绕点 ， ， 转动，测得，，，，，，，求点 到的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】点 到的距离约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点 作，垂足为 ，过点 作，垂足为 ，过点 作，交 的延长线于点 ，过点 作，垂足为 ，延长 交的延长线于点 ，根据题意可得：，，， ，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再利用平角定义可得，从而可得，进而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点 作，垂足为 ，过点 作，垂足为 ，过点 作，交 的延长线于点 ，过点 作，垂足为 ，延长 交的延长线于点 ， 由题意得：，，，， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，， 在中，，， ， ， 点 到的距离约为． 17. 如图， 是的直径，C为上一点，点D是的中点，连接交 于点E，延长至F，使． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求和 长． 【答案】（1） 证明：连接 ， 是 的直径， ， ， 垂直平分 ， ， ， 即， ∵点 是的中点， ， ， ， ， 即， ∵为 的半径， ∴是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，由是 的直径可得，进而得垂直平分 ，得到，根据三线合一可得，又由点 是的中点得，即可得，即得，即可求证； （2）由（1）可得，利用三角函数可得，即可得到，再利用三角函数可得，得到，又由圆周角定理得，设，则，由勾股定理得，解方程求出 即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， ， 在中，， ， 即， ， ， ， ， ∵是 的直径， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得（不合，舍去）或， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的表达式及点 的坐标； （2）点 在直线上，若，求点 的坐标； （3）我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．设 是反比例函数图象上一点， 是坐标轴上一点，当四边形是以两邻边相等且对角线互相垂直的“等邻边四边形”时，求两点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，； （2）或； （3），或，． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再联立两函数解析式解所得方程组即可求出点 坐标； （ ）分两种情况：点 在线段上，点 在线段的延长线上，画出图形，根据解答即可求解； （ ）分两种情况：点 在轴上和点 在 轴上，画出图形，进行解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，坐标与图形，中点坐标公式，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 由，解得或， ∴； 【小问2详解】 解：有两种情况： 点 在线段上，如图， ∵， ∴点 为线段的中点， ∴； 点 在线段的延长线上，如图， ∵， ∴， 设， 则， 整理得，， 解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，点 的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 当点 在轴上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 平分，即点 为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或（不合，舍去）， ∴； 当点 在 轴上时，如图， 同理可得，， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或（不合，舍去）， ∴； 综上，，或，． 一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 19. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则化简，再由得，代入化简后的结果中计算即可求解，掌握化简分式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为： ． 20. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，然后根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：， 是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴． 故答案为： ． 21. 如图，是 的直径，与弦 交于点E，，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接、，由，，求得，由得，由 得，根据三角形内角和定理求得，进而求得，最后根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．若，则m的取值范围____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．利用二次函数的性质即可得出关于 的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解： 抛物线， 该抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，可知点，，从左至右分布， ， ， 解得； 当时， ， ，不合题意， 综上， 的取值范围是． 故答案为：． 23. 如图，在菱形 中，，， ， 分别是边 ， 上的两个动点，满足， 与 交于点 ．的度数为_____；当最大时，线段 的长是_____． 【答案】 ①. ##60度 ②. 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轨迹，切线等知识．证明，推出，推出．由，推出点 的运动轨迹是，设圆心为，连接 ，，．求出 是切线时 的长即可． 【详解】解：如图， 四边形 是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 点 的运动轨迹是， 设圆心为，连接 ，，． ， ， 垂直平分线段， ，，，， ， ， 当 与 相切时，的值最大，此时． 故答案为：，． 二、解答题：本大题共3个小题，共30分． 24. “低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台400元，乙型自行车进货价格为每台600元．该公司销售5台甲型自行车和3台乙型自行车，可获利1350元，销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利850元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共25台，且资金不超过12000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 【答案】（1）一台甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为200元； （2）最少需要购买15台甲型自行车． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式解实际应用题，涉及解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识，读懂题意，准确列出方程组及不等式求解是解决问题的关键． （1）设一台甲型自行车利润为 元，一台乙型自行车利润为元，读懂题意，找准等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购买 台甲型自行车，则乙型自行车购买台，读懂题意，找到不等关系列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设一台甲型自行车利润为 元，一台乙型自行车利润为元， 由题意可得：， 解得： 一台甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为200元； 【小问2详解】 解：设购买 台甲型自行车，则乙型自行车购买台， 由题意可得：， 解得：， 最少需要购买15台甲型自行车． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点 为抛物线上异于点 的一动点，直线 与 轴交于点 ，点 关于直线 的对称点为．直线与抛物线交于另一点 ，连接 ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若直线 的表达式为 ，试探究k是否为定值．若是，请求出k值；若不是，请说明理由； （3）若为直角三角形，求点A的坐标． 【答案】（1）； （2） 为定值 （3）点 的坐标为或或或． 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）求点，即可求解； （3）当为直角时，证明，得到，即，即可求解；当为直角时，过点 作 轴的平行线 ，过点作 的垂线，垂足分别为点 ，求得，，，，证明，利用相似三角形的性质列式计算可求解；当为直角时，同理可解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，则， 将点 的坐标代入， 则， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解： 为定值，理由： 设点， 由点 、 的坐标得，直线 的表达式为：， 令， 解得：，则点， 则点， 由点 、的坐标得，的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得： （舍去）或， 则点， 由点 、 的坐标得，直线 的表达式为：， 即 ； 【小问3详解】 解：当为直角时， 过点 作轴的平行线交过点 和 轴的平行线于点 ，交过点 和 轴的平行线于点 ， 由（2）知，，， 则，，，， ，， ， ，即， 解得： 或 ， 即点 的坐标为： 或； 当为直角时， 即， 过点 作 轴的平行线 ，过点作 的垂线，垂足分别为点 ，如图， ∵，，， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 则点； 当为直角时， 即， 同理，求得， 则点， 综上，点 的坐标为或或或． 26. 如图，在矩形 中，（n为正整数），点E是 边上一动点，P为 中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转 ，与矩形的边交于点F． 【尝试初探】 （1）在点E的运动过程中，当点F在 边上时，试探究线段， 之间的数量关系，请写出结论并证明； 【深入探究】 （2）若 ，在点E的运动过程中，当点F在 边上时，求的最小值； 【拓展运用】 （3）若 ，设 的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）． 【答案】 （1）， 理由：如图1，过点 作于 ，于 ， 则， 四边形 是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，，， 由旋转得：， ， 即， ， ， ， 为 中点， ， ∵，， ，， ，， ，， ， ， ， ； （2）的最小值为； （3）点 运动的路程为． 【解析】 【分析】（1）过点 作于 ，于 ，可证得，得出，再由，，得出：，，可得：，，则，，结合已知即可求得答案； （2）设，，，过点 作于 ，可证得，得出，进而推出，，则，即可求得答案； （3）确定以下几个关键点时点 的位置：当点 在点 处时，当点 运动到点 处时，当点 在 边上时，即可求得答案． 【详解】解：（1）略 （2）当 时，， 设，，，过点 作于 ，如图2， 则，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 在 边上， ， 即， ， ， 的最小值为； （3）， ，， 在中，， 为 中点， ， 当点 在点 处时，如图3， ，， ， ，即， ， 的中点为 ， ； 当点 运动到点 处时，如图4， 是斜边 的中点， ， ， ， ， ，即， ， 的中点为 ， ， ； 当点 在 边上时，如图5，过点 作于 ， 则，， ， 点 运动的路程为． 【点睛】本题是矩形综合题，主要考查了矩形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，要求学生有较强的识图和逻辑思维能力，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $