精品解析：2024年山东省菏泽市鄄城县中考二模数学试题

2023-2024学年度第二次质量监测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 绝对值的相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 0 2. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 信息网络技术的高速发展深刻影响着社会发展，与此同时，犯罪活动日益向网络空间滋生蔓延，国家安全、经济发展和社会稳定面临新的挑战．2023年，全国检察机关起诉涉嫌网络罪犯（含利用网络和利用电信实施的犯罪及其上下游关联罪犯）14.2万人，同比上升47.9％，有力维护了网络秩序．14.2万用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下图是一个三通水管，如图放置，则它左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，且连接则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是半圆的直径，，，，为线段上一个动点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 函数与在同一坐标系内的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在等腰中，，动点从点出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为，与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内． 11. 使得式子有意义的的取值范围是________． 12. 因式分解x3－9x=__________． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 14. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 15. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为_____． 16. 定义一种运算：，则不等式的解集是______． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. （1）计算：． （2）． 18. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元． （1）求甲、乙两种水果进价分别是多少？ （2）已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 19. 如图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一直线上， 测得 （1）连接， 求证： （2）求雕塑的高（即点E到直线的距离）． （精确到， 参考数据： 20. 我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学．某校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题． 频数分布统计表 类别 频数 频率 A 60 n B m 0.4 C 90 0.3 D 30 0.1 （1）接受问卷调查学生共有________人；______，_____ （2）补全条形统计图： （3）为改进教学，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名学生参与网络座谈会，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 21. 如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝4，OE＝OB＝2． （1）求直线AB和反比例函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，直线与抛物线交于两点，点是下方抛物线上的一点．过点作，垂足为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当取得最大值时，求点的坐标和的最大值； （3）将抛物线向右平移3个单位得到新抛物线，为原抛物线对称轴上一点；点为新抛物线上一点．当(2)中最大时，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 24. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当时， ；② 当时， （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二次质量监测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 的绝对值的相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和相反数，理解绝对值和相反数的含义是解题的关键． 先求出的绝对值，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数解答． 【详解】的绝对值是3，3的相反数是． 故选：A． 2. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，由此判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知：C为轴对称图形， 故选：C 【点睛】本题考查轴对称图形的识别．掌握定义即可． 3. 信息网络技术的高速发展深刻影响着社会发展，与此同时，犯罪活动日益向网络空间滋生蔓延，国家安全、经济发展和社会稳定面临新的挑战．2023年，全国检察机关起诉涉嫌网络罪犯（含利用网络和利用电信实施的犯罪及其上下游关联罪犯）14.2万人，同比上升47.9％，有力维护了网络秩序．14.2万用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法：，，n是整数，当原数大于10时，n等于原数整数数位减去1，据此解答． 【详解】14.2万， 故选：A． 4. 下图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三视图的知识，熟练掌握简单组合图形的三视图的画法是解题的关键； 首先根据左视图是从左往右看得到的视图，三通从左往右看得到上面的圆柱看到的视图是一个矩形； 然后下半部分看到的则是一个圆，由此可得到它的左视图． 【详解】它的左视图是下面一个圆，上面一个不完整矩形， 故选：B． 5. 下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据运算法则计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：．不能合并了，故原选项计算错误，不符合题意； B．，故原选项计算错误，不符合题意； C．，故原选项计算正确，符合题意； D．，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，二次根式的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 6. 如图，在菱形中，，且连接则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】菱形ABCD属于平行四边形，所以BCAD，根据两直线平行同旁内角互补，可得∠BAD与∠ABC互补，已知∠BAD=120°，∠ABC的度数即可知，且∠BCE=90°，CE=BC可推BCE为等腰直角三角形，其中∠CBE=45°，∠ABE=∠ABC-∠CBE，故∠ABE的度数可得． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，BCAD， ∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），且∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°， 又∵CEAD，且BCAD，∴CEBC，可得∠BCE=90°， 又∵CE=BC，∴BCE为等腰直角三角形，∠CBE=45°， ∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-45°=15°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及菱形的性质求角度，掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；菱形中，四条边的线段长度一样，根据以上的性质定理，从边长的关系推得三角形的形状，进而求得角度． 7. 如图，是半圆的直径，，，，为线段上一个动点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】过O点作于F，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出， 再利用圆周角定理得到，则，利用等腰直角三角形的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过O点作于F，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 故选∶ A． 【点睛】本题考查了圆周角定理∶在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 8. 函数与在同一坐标系内的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象即可求得结果． 【详解】解：不等式的解集是：． 故选：B． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 9. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考察二次函数、一次函数和反比例函数的性质，利用二次函数的性质结合所给的二次函数图像可以判断、、的符号，然后结合一次函数和反比例函数的性质可以推断正确的图像． 【详解】解：∵二次函数 的图象开口向上， ∴， ∵与轴交点在轴的正半轴， ∴， ∵对称轴 得出， ∴一次函数经过一、三、二象限，反比例函数 经过一、三象限， 故选：A． 【点睛】结合已知二次函数图像正确判断a、b、c的符号的关键． 10. 如图1，在等腰中，，动点从点出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为，与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论．设，分两种情况：①当点在上运动，即时，②当点运动到点时，点恰好运动到点，当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，分别求出函数关系式，根据时，，列出方程，求出，（舍去），得出的长是即可． 【详解】解：设． ①当点在上运动，即时，由题意知： ， ， ∵在等腰中，， ， ， ∴， ，其函数图象为抛物线对称轴（轴）右侧的一部分； ②当点运动到点时，点恰好运动到点，如图， 当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动， ， ， 由图2知，当时，， ， 解得，（舍去）， 的长是． 故选：C． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内． 11. 使得式子有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式、分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】由题意知：4－x＞0， 解得：x＜4， 故填：x＜4． 【点睛】此题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 12. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】由题意可知：， ∴， ∵， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 14. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 【答案】140°． 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【详解】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案140°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和． 15. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解． 【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴2，∴AF=2GF=4，∴AG=6． ∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键． 16. 定义一种运算：，则不等式的解集是______． 【答案】x＞1或x＜﹣1 【解析】 【分析】分2x+1≥2﹣x和2x+1＜2﹣x两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得． 【详解】解：由新定义得或， 解得x＞1或x＜﹣1， 故答案为：x＞1或x＜﹣1． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. （1）计算：． （2）． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组： （1）原式分别化简，，，。然后再进行加减运算即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集 【详解】解：（1） ； （2） 由①得 由②得 由①②得 18. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元 （2）水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用等，熟练地求解二元一次方程组并判断一次函数随自变量的增减性是本题的关键． （1）分别设甲、乙两种水果的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）将购进甲水果数量用某一字母表示，根据题意写出售完这两种水果获得总利润关于这个字母的函数，根据这个函数随这个字母的增减性和这个字母的取值范围，判断当这个字母取何值时总利润取最大值，求出这个最大值，并求出这时购进乙水果的数量． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种水果的进价分别是元和元． 根据题意，得， 解得， 甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元． 【小问2详解】 解：设购进甲水果千克，那么购进乙水果千克， ， 解得， 根据题意，售完这两种水果获得的总利润， ， 随的减小而增大， 当时，最大，此时， （千克）， 水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润700元． 19. 如图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一直线上， 测得 （1）连接， 求证： （2）求雕塑的高（即点E到直线的距离）． （精确到， 参考数据： 【答案】（1）见详解 （2）雕塑的高约为米 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明∵， ∴ ∵ 即 ∴ 即． 【小问2详解】 如图所示，过点作，交的延长线于点， 在中， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴ （米）． 答：雕塑的高约为米． 20. 我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学．某校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题． 频数分布统计表 类别 频数 频率 A 60 n B m 0.4 C 90 0.3 D 30 0.1 （1）接受问卷调查的学生共有________人；______，_____ （2）补全条形统计图： （3）为改进教学，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名学生参与网络座谈会，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 【答案】（1）300； 120；0.2 （2）见详解 （3）甲、乙两名同学同时被抽中的概率为 【解析】 【分析】（1）由C类别的频数除以C类别的频率即可求得总人数，继而解得A、B类别的频率和频数； （2）由频数分布统计表的数据解答； （3）画树状图表示所有等可能的结果，再求出甲、乙两名同学同时被抽中的情况，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵C组频数为90，频率为0.3， ∴接受问卷调查的学生共有为90÷0.3=300人， ∴， 故答案为：300； 120；0.2； 【小问2详解】 解：∵m=120， ∴ 补画条形图如图， 【小问3详解】 画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被抽中的情况有2种， ∴甲、乙两名同学同时被抽中的概率为：． 【点睛】本题考查频数分布表、频率、频数、补全条形统计图、画树状图求概率等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 21. 如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝4，OE＝OB＝2． （1）求直线AB和反比例函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意点A，B的坐标分别为（-4，0），（0，2），利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得C的坐标，将点C的坐标代入y2=，即可求得反比例函数的解析式； （2）设点P的坐标为（0，t）则S△CEO=CE•OE=3，即可得到S△ABP=BP•OA=×|2-t|×4=2×|2-t|=3，解得t的值，即可求得P的坐标． 【小问1详解】 在Rt△AOB中，OA=4，OE=OB=2， ∴点A，B的坐标分别为（-4，0），（0，2）， 将点A，B的坐标代入直线的表达式，得， 解得， ∴直线AB的表达式为y1=x+2， 当x=2时，y1=x+2=3， ∴点C的坐标为（2，3）， 将点C的坐标代入y2=得：3=，解得m=6， ∴反比例函数的表达式y2=； 【小问2详解】 存在， 设点P的坐标为（0，t） 则S△CEO=CE•OE=×2×3=3， 而S△ABP=BP•OA=×|2-t|×4=2×|2-t|=3， 解得t=或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对值的方法确定PB的长度． 22. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； 【小问2详解】 解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，直线与抛物线交于两点，点是下方抛物线上的一点．过点作，垂足为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当取得最大值时，求点的坐标和的最大值； （3）将抛物线向右平移3个单位得到新抛物线，为原抛物线对称轴上一点；点为新抛物线上一点．当(2)中最大时，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 【答案】（1） （2），最大值 （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）过点P作轴交于点，由直线的表达式知，其与轴正半轴的夹角为，则，则即可求解； （3）当是对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解，当或为对角线时，同理可解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：将，代入二次函数得， ， 解得：， 二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：过点P作轴交于点， 由直线的表达式知，其与轴正半轴的夹角为，则，则， 设点，则， 则， 的最大值为，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：平移后的抛物线的表达式为：， 设点，， 当是对角线时，由中点坐标公式可得： ， 解得：， 即点的坐标为， 当或为对角线时，由中点坐标公式得： 或， 解得：或， 即点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、平行四边形的性质、解直角三角形等，有一定综合性，难度适中． 24. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当时， ；② 当时， （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长. 【答案】（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），. 【解析】 【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少． ②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可． （2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可． （3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可． 【详解】（1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴,BD=8÷2=4， ∴． ②如图1， ， 当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵， ∴ （2）如图2， ， 当0°≤α＜360°时，的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴． （3）①如图3， ， ∵AC=4，CD=4，CD⊥AD， ∴AD= ∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=． ②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P， ， ∵AC=，CD=4，CD⊥AD， ∴AD=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE==2， ∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得 ， ∴BD=． 综上所述，BD的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$