复习02 平面向量数量积及应用（八大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

复习02平面向量数量积及应用 一、平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. 投影向量：①定义：如图，设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是. 二、平面向量数量积的运算律 已知向量和实数,则 交换律 ； 数乘结合律 ； 分配律 . 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量，是与的夹角， （1）数量积：；（2）模：. （3）夹角： （4）垂直与平行：； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （5）性质： (当且仅当时等号成立) 四、平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量，θ为向量的夹角. 数量积 模 夹角 两非零向量的充要条件 考点01 平面向量数量积运算 【方法点拨】向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 【例1】已知两点在圆上运动，且，则的值（    ） A． B．1 C． D．与点的具体位置有关 【例2】设向量，且，则 . 【变式1-1】设向量，的夹角为，且，，则 ． 【变式1-2】在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【变式1-3】已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．4 B．1 C． D． 考点02 平面向量的模 【方法点拨】（1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方； （2）若,于是有 【例3】若单位向量，的夹角为，则（   ） A． B． C．4 D．5 【例4】已知，向量为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）已知向量，满足，，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】已知向量，满足，，，则与的夹角为 . 【变式2-3】已知向量，向量，则的最大值是 ． 考点03 平面向量的夹角 【方法点拨】（1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）若，则由公式直接求出的值； 【例5】已知向量满足，又非零向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知单位向量，的夹角为，，. (1)求； (2)求与的夹角余弦值. 【变式3-3】已知向量，，且与的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数取值的集合． 考点04 两个向量的垂直关系 【例7】已知向量，.若，，则 . 【例8】设非零向量，的夹角为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-1】中，若非零向量与满足，，则为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【变式4-2】（多选）已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量，的夹角为 【变式4-3】已知向量． (1)求证：； (2)若存在不为0的实数和，使，满足，试求此时的最小值． 考点05 投影向量 【方法点拨】将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 【例9】已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例10】在平面直角坐标系中，已知向量，. (1)求向量在向量上的投影向量； (2)若点满足，与的夹角为，求的值. 【变式5-1】已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D．与有关 【变式5-2】已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设，在方向上的投影向量为，则 ． 考点06 向量在几何中的应用 【方法点拨】（1）一般将参与数量积运算的向量利用线性运算转化成已知向量（夹角可知）； （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 【例11】如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【例12】已知平面四边形中，，，，，，则 . 【变式6-1】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【变式6-2】如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【变式6-3】如图所示，已知直角梯形中，，；设（其中），为线段的中点． (1)当时，若三点共线，求的值； (2)若的面积为，求的最小值． 考点07 向量在物理中的应用 【例13】在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 【例14】如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【变式7-2】如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    【变式7-3】如图，支座受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力的大小为． (1)求. (2)求与的夹角的余弦值． 考点08 数量积的最值范围 【例15】四边形中，M是上的点，，,若N是线段上的动点，的取值范围是 . 【例16】窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 【变式8-1】在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 【变式8-2】已知等边三角形的边长为4，为边的中点，是边上的动点，则的取值范围为 ． 【变式8-3】四边形中，点，分别是，的中点，，，，点满足，则的最大值为 ． 一、单选题 1．已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（     ） A． B． C． D． 2．已知，，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 5．在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则锐角等于 C．若，则 D．若，则 7．已知正六边形的中心为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．存在实数，使得 D． 8．已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是（    ） A． B．对于任意与不共线的非零向量，都有 C．对于任意的非零实数，都有 D．若，，则 9．已知向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，则的最大值为2 C．的最大值为 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 三、填空题 10．已知向量，，，若，则 ． 11．已知，均为非零向量，若，则与的夹角为 ． 12．在中，，点Q满足，则的最大值为 . 四、解答题 13．已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)求在上的投影向量的坐标； (3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 14．已知向量为单位向量，且． (1)求的值； (2)向量在上的投影的数量为，且向量在上的投影的数量为，求的值． 15．在中，为的中点，在边上，交于，且，设． (1)用表示； (2)，求； (3)若在上，且设，若，求的范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习02平面向量数量积及应用 一、平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. 投影向量：①定义：如图，设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是. 二、平面向量数量积的运算律 已知向量和实数,则 交换律 ； 数乘结合律 ； 分配律 . 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量，是与的夹角， （1）数量积：；（2）模：. （3）夹角： （4）垂直与平行：； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （5）性质： (当且仅当时等号成立) 四、平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量，θ为向量的夹角. 数量积 模 夹角 两非零向量的充要条件 考点01 平面向量数量积运算 【方法点拨】向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 【例1】已知两点在圆上运动，且，则的值（    ） A． B．1 C． D．与点的具体位置有关 【答案】B 【详解】如图，    连接，过点作交于点，则是的中点， 故. 故选：B 【例2】设向量，且，则 . 【答案】/ 【详解】设的夹角为， ，故，又，故，方向相同， 又，则，解得，满足题意. 故答案为：. 【变式1-1】设向量，的夹角为，且，，则 ． 【答案】9 【详解】法1：由向量数量积的几何意义得， 在向量上的投影的数量为， 所以，所以； 法2：根据数量积定义有， 所以； 法3：设，，， 所以. 故答案为：. 【变式1-2】在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 【变式1-3】已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 可知，则， 所以. 故选：A. 考点02 平面向量的模 【方法点拨】（1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方； （2）若,于是有 【例3】若单位向量，的夹角为，则（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为单位向量，的夹角为， 所以， 故选：A 【例4】已知，向量为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由，则， 所以. 故选：B 【变式2-1】（多选）已知向量，满足，，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，，所以， 即，故A正确； 因为，所以， 即，所以，故C错误； 又，所以，故B正确； 因为，所以， 因为，所以，所以，故D正确. 故选：ABD 【变式2-2】已知向量，满足，，，则与的夹角为 . 【答案】 【详解】解：因为，，， 所以， 解得，因为， 所以，又因为， 所以. 故答案为： 【变式2-3】已知向量，向量，则的最大值是 ． 【答案】4 【详解】因为向量，向量， 所以， 则 ， 所以当时，即时，取最大值， 故答案为：. 考点03 平面向量的夹角 【方法点拨】（1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）若，则由公式直接求出的值； 【例5】已知向量满足，又非零向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】根据求出，求出，根据证明，根据向量证明是等边三角形，据此即可求解. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得； . （2）因为，所以， 又且，所以，解得． ， ， . 【变式3-1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以， 故选：B 【变式3-2】已知单位向量，的夹角为，，. (1)求； (2)求与的夹角余弦值. 【答案】(1)6 (2) 【详解】（1）因为， . （2），所以， ，所以. 设与的夹角为，又，所以. 【变式3-3】已知向量，，且与的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数取值的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）向量，，可得，，且， 因为与的夹角为，可得， 解得或（舍）， 所以，则， 所以； （2）由向量，， 可得，， 由，解得， 当向量与共线时，可得，解得， 所以实数的取值集合为． 考点04 两个向量的垂直关系 【例7】已知向量，.若，，则 . 【答案】 【详解】因为，，所以， 因为，所以. 即，整理得， 因为上式对恒成立，所以，解得. 故答案为： 【例8】设非零向量，的夹角为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，即，即， 又，所以，故充分性成立； 由，则，即， 所以，则，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 【变式4-1】中，若非零向量与满足，，则为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】和都为单位向量，垂直平分，故， ，， 为等腰直角三角形． 故选：A． 【变式4-2】（多选）已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量，的夹角为 【答案】AC 【详解】因为，，所以， 所以，即，故A正确； ，故B错误； 因为，，所以，所以，故C正确； ，所以，即向量，的夹角为，故D错误. 故选：AC 【变式4-3】已知向量． (1)求证：； (2)若存在不为0的实数和，使，满足，试求此时的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）． ， 故. （2）显然， ， 故可得， 即，， ， 所以当时，取得最小值． 考点05 投影向量 【方法点拨】将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 【例9】已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则，整理可得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D. 【例10】在平面直角坐标系中，已知向量，. (1)求向量在向量上的投影向量； (2)若点满足，与的夹角为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：，则， 所以向量在向量上的投影向量为. （2）因为，可知为线段的中点， 则，， 可得， 所以. 【变式5-1】已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D．与有关 【答案】C 【详解】由题意可知：， 所以在方向上的投影向量为. 故选：C. 【变式5-2】已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以， 因为向量在向量上的投影向量是， 所以， 即，所以， 又因为， 所以与的夹角是. 故选：A. 【变式5-3】设，在方向上的投影向量为，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，即， 则. 故答案为：. 考点06 向量在几何中的应用 【方法点拨】（1）一般将参与数量积运算的向量利用线性运算转化成已知向量（夹角可知）； （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 【例11】如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 【例12】已知平面四边形中，，，，，，则 . 【答案】 【详解】如图以为原点建立直角坐标系， 则，设， ∴，由知， ∴，解得，即， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式6-1】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 【变式6-2】如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 【变式6-3】如图所示，已知直角梯形中，，；设（其中），为线段的中点． (1)当时，若三点共线，求的值； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）依题意， =， 因为三点共线，故，解得． （2）因为，故， =，所以； ， 所以 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 考点07 向量在物理中的应用 【例13】在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【详解】对于①，当与方向竖直向上时，的最小，此时，所以①正确； 对于②，当时，，，所以②正确； 对于③，当时，，，所以③正确； 对于④，由，当越大时，越小，越大，越费力，所以④错误． 故答案为：①②③． 【例14】如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与所成的角为， 由题意得，， 则 . 故选:A 【变式7-1】一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）设游船的实际速度大小为，    由，得，. 如图所示速度合成示意图，由，得， . 所以的大小为的值为. （2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，   ，则， 在Rt中，，从而，因此， 故游船的实际航程为. 【变式7-2】如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    【答案】 【详解】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，令球心为，与球的切点为， 则，， 依题意，，由处于平衡状态，以为杠杆支点，有， 又，，（）， 所以绳的拉力为.    【变式7-3】如图，支座受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力的大小为． (1)求. (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知，所以， 得到，解得， 所以. （2）因为，所以， 得到，解得， 所以与的夹角的余弦值为. 考点08 数量积的最值范围 【例15】四边形中，M是上的点，，,若N是线段上的动点，的取值范围是 . 【答案】 【详解】M是上的点且C、D两点在以为直径的圆上， 且圆心为M，是等腰直角三角形， 所以， 又， 所以， 在等腰直角中,点M到线段MN上的一点N的距离最大值为1,取最小值时,N为的中点,此时， ， 所以. 故答案为： 【例16】窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】分别过，作的垂线，垂足为，，且，， 因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动， 则当点在上运动，取的最大值，为， 则当点在上运动，取的最小值，为， 所以的取值范围是 故答案为： 【变式8-1】在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 【答案】3 【详解】      如图，取中点，连接， ， ， 两式相减得 ， 要使有最大值，则最小， 当时，， 所以的最大值为. 故答案为：3. 【变式8-2】已知等边三角形的边长为4，为边的中点，是边上的动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】取线段的中点，连接，则， 以点为原点，、所在的直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，设点，则， ，， 所以，， 因为函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，， 又因为，，所以，， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-3】四边形中，点，分别是，的中点，，，，点满足，则的最大值为 ． 【答案】1 【详解】如图所示：      因为，，又点是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点是的中点， 所以， 因为， 所以， 即， 设，，则， 所以， 所以， 所以当即时，有最大值1， 即有最大值为1． 故答案为：1 一、单选题 1．已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，，即，解得， 故选：B． 2．已知，，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：且向量方向不反向， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 3．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则有，解得， 又由，则有，解得， 同理可得， 所以， ， ， 所以. 故选：A 4．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【答案】A 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．    设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 故选：A. 5．在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，则且， 又，，所以，则， 所以四边形为直角梯形，如图，以点为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，所以，， 所以. 故选：B. 二、多选题 6．已知，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则锐角等于 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】A：，错； B：，又，则， 所以，若为锐角，则等于，对； C：由，则，故，即，对； D：由，则，故，错. 故选：BC 7．已知正六边形的中心为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．存在实数，使得 D． 【答案】ACD 【详解】如图，不妨设正六边形的边长为1， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为， 且， 可知，故C正确； 对于选项D：因为， 则， ， 所以，故D正确； 故选：ACD. 8．已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是（    ） A． B．对于任意与不共线的非零向量，都有 C．对于任意的非零实数，都有 D．若，，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当时，，故C错误； 对于选项D：若，， 则， 可得，则， 且，可知， 结合题意可知，，所以，故D正确； 故选：ABD. 9．已知向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，则的最大值为2 C．的最大值为 D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 【答案】ABD 【详解】对于A：若，则，所以，故A正确； 对于B：， 所以当，即时取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C：因为， 所以， 所以当时取得最大值，最大值为，故C错误； 对于D：在上的投影向量为，所以， 所以， 又，所以，此时，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 10．已知向量，，，若，则 ． 【答案】或 【详解】因为，，， 所以，， 因为，所以，即， 解得或. 故答案为：或. 11．已知，均为非零向量，若，则与的夹角为 ． 【答案】 【详解】由，可得，即，解得， 因为，所以， 又因为，所以． 故答案为：. 12．在中，，点Q满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】设中点为M， 则， ， 由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧， ∴当时，最大，此时是等边三角形， 则. 故答案为：. 四、解答题 13．已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)求在上的投影向量的坐标； (3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由于与的夹角为， 所以，即，解得， 则，，， 所以； （2）由（1）知，，在上的投影向量为， 即在上的投影向量的坐标为； （3）由（1）知，，则， ， 由于与所成的角是锐角， 所以,即：， 解得且，即实数的取值范围为. 14．已知向量为单位向量，且． (1)求的值； (2)向量在上的投影的数量为，且向量在上的投影的数量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为向量为单位向量，所以 所以，即， 则． （2）向量在上的投影的数量为，则， 又向量在上的投影的数量，又，则， 所以． 15．在中，为的中点，在边上，交于，且，设． (1)用表示； (2)，求； (3)若在上，且设，若，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因P,R,C共线，则存在使， 则，整理得. 由共线，则存在使， 则，整理得. 根据平面向量基本定理，有， 则. （2）由（1），，， 则，，. 则， 所以. （3）由（1）知，则. 由共线，设. 又. 则 . 因，则，则， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$