预习07 直线的交点坐标与距离公式（八大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习07 直线的交点坐标与距离公式 一、两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2．方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 二、两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 三、点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 四、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 考点01 直线的交点问题 【方法点拨】若求交点坐标，则联立两条直线方程；若已知交点坐标求参数，则将坐标代入直线方程 【例1】若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【变式1-1】（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（    ） A． B． C． D．1 【变式1-3】两直线和的交点为 ． 考点02 三线围成三角形问题 【例3】（多选）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【例4】已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线：直线：，求 (1)直线的方程 (2)直线与的交点坐标 (3)直线，与坐标轴所围成的三角形的面积 【变式2-1】若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【变式2-2】直线l：y＝x＋1与y轴交于点A，将l绕点A旋转15°得到直线l′，求l，l′与x轴围成三角形的面积. 【变式2-3】若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中 ． 考点03 直线交点系方程及应用 【方法点拨】先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 【例5】已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例6】已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 【变式3-1】平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【变式3-2】经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【变式3-3】求经过直线与的交点，且过点的直线方程. 考点04 两点间距离公式的应用 【方法点拨】判断三角形形状：利用两点间的距离公式求三边长时，应从边长间的关系入手．如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形． 【例7】已知，，则两点间的距离为 . 【例8】已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【变式4-1】已知点，判断的类型. 【变式4-2】已知点，且，则直线AB的方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-3】已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 考点05 点到直线的距离公式应用 【方法点拨】（1）应用点到直线的距离公式时，直线方程需是一般式． （2）对于与坐标轴平行(或重合)的直线或，求点到它们的距离时，可以直接利用或求解． 【例9】点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【例10】平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求的面积． 【变式5-1】点到直线的距离最大值是 ． 【变式5-2】已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程. (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【变式5-3】如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求直线CD的方程； (2)求平行四边形ABCD的面积. 考点06 已知点到直线的距离求参数 【方法点拨】已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【例11】点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【例12】已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-1】若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式6-2】已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式6-3】到直线的距离不超过，则实数的取值范围是 . 考点07 求两条平行线间的距离 【方法点拨】求两条平行直线间的距离的两种思路：（1）利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算； （2）利用两条平行直线间的距离公式求解． 【例13】两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【例14】已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【变式7-1】直线与之间的距离相等，则直线的方程是 . 【变式7-2】若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 【变式7-3】（多选）到直线的距离等于的直线方程可能为（　　） A． B． C． D． 考点08 对称问题 【方法点拨】若点关于直线l的对称点为，则． 【例15】已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【例16】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【变式8-1】已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【变式8-2】已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【变式8-3】已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 一、单选题 1．已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 5．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 6．点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 7．已知平行四边形的三条边所在直线的方程分别是，的交点为的交点为，且平行四边形的面积为5，则（    ） A．的坐标为 B．的坐标为 C．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 D．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 三、填空题 8．若直线过直线和的交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是 . 9．平面直角坐标系上有两点，直线的方程为 ，直线上有一点P，最短，则P点的坐标为 . 四、解答题 10．已知的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)判断的形状. 11．在中，，，． (1)建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程； (2)求的重心到边所在直线的距离． 12．已知直线经过点，且被两平行线所截得的线段长为5. (1)求，之间的距离； (2)求直线的方程. 13．已知直线l经过点． (1)若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程； (2)若直线l被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习07 直线的交点坐标与距离公式 一、两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2．方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 二、两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 三、点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 四、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 考点01 直线的交点问题 【方法点拨】若求交点坐标，则联立两条直线方程；若已知交点坐标求参数，则将坐标代入直线方程 【例1】若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 【例2】（多选）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【答案】AD 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 【变式1-1】（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 故选：BD. 【变式1-2】（多选）若三条不同的直线能围成一个三角形，则m的取值不可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【详解】由直线， 若或重合时，则满足，解得； 若或重合时，则满足，解得； 若经过直线与的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形， 联立方程组，解得，即交点， 将点代入直线，可得，解得. 故选：ABC. 【变式1-3】两直线和的交点为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，解得， 交点坐标为. 故答案为： 考点02 三线围成三角形问题 【例3】（多选）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为三条直线，，能构成三角形， 所以直线与，都不平行， 且直线不过与的交点， 直线与，都不平行时，，且， 联立，解得， 即直线与的交点坐标为， 代入直线中，得，故可知， 结合选项可知实数m的取值可以为2或， 故选：AD 【例4】已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线：直线：，求 (1)直线的方程 (2)直线与的交点坐标 (3)直线，与坐标轴所围成的三角形的面积 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，的中点为 ，， 所以直线的斜率为，则其方程为，即. （2）联立直线与的方程，，解得， 所以直线与的交点坐标为，不妨记为. （3）对于直线，它在轴的截距为； 对于直线：，它在轴的截距分别为；    结合图象可知，线，与坐标轴所围成的三角形为，其中，， 所以. 【变式2-1】若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【答案】或1 【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 【变式2-2】直线l：y＝x＋1与y轴交于点A，将l绕点A旋转15°得到直线l′，求l，l′与x轴围成三角形的面积. 【答案】或. 【详解】∵l的斜率为1， ∴倾斜角为45°，且A点坐标为(0，1)， ①当逆时针旋转15°时， l′的倾斜角为15°＋45°＝60°，∴斜率为. l′的方程为y＝x＋1，它与x轴交点为B. l与x轴交点为C(－1，0). 此时，△ABC面积为×1×＝. ②当顺时针方向旋转15°时， l′的倾斜角为45°－15°＝30°， 此时l′的方程为y＝x＋1. l′与x轴交点B′(－，0)，l与x轴交点C′(－1，0). ∴△AB′C′面积为×1×|－＋1|＝. ∴所求三角形的面积为或. 【变式2-3】若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中 ． 【答案】# 【详解】如图所示，直线，过定点，与轴的交点， 直线过定点，与轴的交点， 由题意知，四边形的面积等于的面积和梯形的面积之和， 所以所求四边形的面积为：， 当时，所求四边形的面积最小. 故答案为： 考点03 直线交点系方程及应用 【方法点拨】先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 【例5】已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 【例6】已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 【答案】直线，过定点 【详解】因为方程化简得： 为任意实数，方程表示直线. 因为， 所以当，直线恒成立， 故直线过定点. 【变式3-1】平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 【变式3-2】经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【变式3-3】求经过直线与的交点，且过点的直线方程. 【答案】 【详解】解法一：联立直线方程，解方程组得， 由两点式得所求直线的方程为， 即. 解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为， 将点的坐标代入，得， 解得， 故所求直线方程为，整理得. 考点04 两点间距离公式的应用 【方法点拨】判断三角形形状：利用两点间的距离公式求三边长时，应从边长间的关系入手．如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形． 【例7】已知，，则两点间的距离为 . 【答案】10 【详解】，， 则两点间的距离为：. 故答案为：10. 【例8】已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【答案】 【详解】设所求点为， 则， ， 由得 解得， 所以，所求点， . 【变式4-1】已知点，判断的类型. 【答案】等腰三角形 【详解】∵， ， ， ∴，且三边不满足勾股定理， ∵， ∴，∴三点不共线， ∴是等腰三角形． 【变式4-2】已知点，且，则直线AB的方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：因为点，，且， 所以，所以，所以，所以， 所以， 所以直线的方程：． 即或． 故选：． 【变式4-3】已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【答案】(1). (2)直线的方程为或. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即直线的方程为：. （2）因为点E在直线上，直线的方程为：， 所以设的坐标为，，， ， 解得：或， 的坐标为或， 因为直线过点， 当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，， 所以，化简可得. 直线的方程为或. 考点05 点到直线的距离公式应用 【方法点拨】（1）应用点到直线的距离公式时，直线方程需是一般式． （2）对于与坐标轴平行(或重合)的直线或，求点到它们的距离时，可以直接利用或求解． 【例9】点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 【例10】平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，可得直线BC的斜率，则BC边上高所在直线斜率， 又由点,则边上的高所在的直线方程为，即． （2）解：由点，可得， 所以的方程为，即， 则到直线BC的距离， 且， 所以的面积． 【变式5-1】点到直线的距离最大值是 ． 【答案】 【详解】由题意得，直线过定点，则， 如图所示，当直线与直线垂直时， 此时点到直线的距离最大值，且最大值为. 故答案为：. 【变式5-2】已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程. (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即， ∴所求直线的方程为； （2）∵直线化简得：， ∴定点， 则点到直线的距离， ∴到直线的距离为. 【变式5-3】如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求直线CD的方程； (2)求平行四边形ABCD的面积. 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，， ∴， ∴直线CD的方程为：， 整理得直线CD的方程为． （2）点到直线CD的距离， ， ∴平行四边形的面积. 考点06 已知点到直线的距离求参数 【方法点拨】已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【例11】点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【详解】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：C. 【例12】已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 【变式6-1】若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【详解】点到直线的距离为4， 可得，解得. 故选：D. 【变式6-2】已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C． 【变式6-3】到直线的距离不超过，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为到直线的距离不超过， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 考点07 求两条平行线间的距离 【方法点拨】求两条平行直线间的距离的两种思路：（1）利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算； （2）利用两条平行直线间的距离公式求解． 【例13】两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】平行直线和之间的距离. 故选：A 【例14】已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【详解】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 【变式7-1】直线与之间的距离相等，则直线的方程是 . 【答案】 【详解】显然直线平行，所以要求的直线也与平行，设直线的方程为， 则由平行线间的距离公式得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 【变式7-2】若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 【答案】/ 【详解】由于与平行，则，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意； 当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：，两直线方程分别为， 所以直线与的距离为. 故答案为：. 【变式7-3】（多选）到直线的距离等于的直线方程可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为所求直线与直线的距离为， 则所求直线与已知直线平行. 设所求直线方程为， 则， 解得或， 故所求直线方程为或. 故选 ：CD 考点08 对称问题 【方法点拨】若点关于直线l的对称点为，则． 【例15】已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.    【例16】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：C 【变式8-1】已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 【变式8-2】已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 故答案为： 【变式8-3】已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 【答案】 【详解】解：因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小， 设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示： 则，解得，得， 因为点，故所求点. 故答案为： 一、单选题 1．已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 所以，即， 所以的面积为. 故选：A. 2．已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】易知点到直线的距离为， 所以， 因此的值不可能是1. 故选：A 3．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 4．点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 5．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B 二、多选题 6．点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 【答案】ABD 【详解】对于A选项，当时，点，又因为点，则， 此时，直线的方程为，即，A对； 对于B选项，若，则，又因为点，， 设直线的倾斜角为，则，且，则， 即直线的倾斜角为，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即， 因为点在直线上，则，解得， 若直线不经过原点，设直线的方程为， 因为点在直线上，则，此时，直线的方程为， 因为点在直线上，则，解得. 综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对. 故选：ABD. 7．已知平行四边形的三条边所在直线的方程分别是，的交点为的交点为，且平行四边形的面积为5，则（    ） A．的坐标为 B．的坐标为 C．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 D．平行四边形第四条边所在直线的方程可能为 【答案】BCD 【详解】由,解得，所以, 由,解得，所以,故A错误，B正确， 由于，故，且之间的距离为， 根据平行四边形的面积为5，所以,故， 设：，则， 在上，所以， 又， 解得或， 所以直线方程可能为，和，CD正确， 故选：BCD 三、填空题 8．若直线过直线和的交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是 . 【答案】或 【详解】联立，解得，故交点坐标为， 当在轴的截距与在轴的截距为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线的方程为； 当在轴的截距与在轴的截距不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得， 故直线方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 9．平面直角坐标系上有两点，直线的方程为 ，直线上有一点P，最短，则P点的坐标为 . 【答案】 【详解】设点关于直线l的对称点， 则，线段中点在直线l上， 所以，整理得， 解得，即. 因为点在一条直线上时最短， 所以点P的坐标是直线与直线l的交点，    由得直线的方程为， 所以，解得，即. 故答案为：. 四、解答题 10．已知的三个顶点分别为，，. (1)求边所在直线的方程； (2)判断的形状. 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形. 【详解】（1）依题意，直线的斜率，则直线的方程为：， 化简得：. （2）直线的斜率，显然，即，是直角三角形， 又，则是等腰三角形， 所以是等腰直角三角形. 11．在中，，，． (1)建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程； (2)求的重心到边所在直线的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，，，则，则 所以以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如下平面直角坐标系： 所以，，则边所在直线的方程为，化简可得： （2）由于，，，所以的重心坐标为，即重心, 所以的重心到边所在直线的距离 12．已知直线经过点，且被两平行线所截得的线段长为5. (1)求，之间的距离； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当平行时，则，解得，此时， 则，之间的距离. （2）设直线与直线分别交于点， 则，两式相减得：，而， 即，解得或， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 13．已知直线l经过点． (1)若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程； (2)若直线l被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）①直线l的斜率不存在时，直线方程为，符合条件； ②直线l的斜率存在时，设直线方程为，即， 由原点到直线l的距离为2得，解， 故直线l的方程为，即； 综上，所求直线l的方程为或． （2）设直线l夹在直线之间的线段为AB（A在上，B在上）， 设A，B的坐标分别设为， 因为AB被点P平分，则，即， 又因为A在上，B在上，即，所以， 解得，，即A的坐标是， 又因为直线过点， 所以直线l的方程是，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$