预习06 直线的方程（八大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习06直线的方程 一、直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 二、直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 三、直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 四、直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 五、直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 六、直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 考点01 求点斜式方程 【方法点拨】求直线的点斜式方程的步骤：①确定点；②若斜率不存在，方程为；若斜率存在，方程为 【例1】过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(5，2),，则AB边上的高CD所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【变式1-2】直线经过点，它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知直线l的方程是. (1)求直线l的斜率和倾斜角； (2)求过点且与直线l平行的直线的方程. 考点02 求斜截式方程 【方法点拨】求直线的斜截式方程：（1）先求参数k和b，再写出斜截式方程； （2）斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系来求出． （3）是直线在轴上的截距． 【例3】已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【例4】根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【变式2-1】与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 【变式2-2】经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 . 【变式2-3】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 考点03 求两点式方程 【方法点拨】由两点式求直线方程的步骤：如果已知两点，应用两点式求解直线方程时，一定要注意分类讨论. 【例5】过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【例6】一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（1）若直线l经过点，则直线l的方程为 ； （2）若点在过点的直线上，则 . 【变式3-2】求经过两点和的直线方程． 【变式3-3】已知三角形的顶点是，求这个三角形三边所在直线的方程. 考点04 求截距式方程 【方法点拨】利用截距式求直线方程的注意事项：（1）下列三种情况，不能用截距式表示直线：①k不存在；②；③直线过原点． （2）①截距相等且不为0，可设直线方程为；②截距相反且不为0，可设直线方程为； ③截距均为0，可设直线方程为 【例7】在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【例8】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】已知直线经过点. (1)若的斜率为2，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为6，求的截距式方程. 【变式4-2】纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【变式4-3】已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 考点05 求一般式方程 【例9】直线的倾斜角的大小为 . 【例10】若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 【变式5-1】已知直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）已知直线l：，则（    ） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 【变式5-3】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)求经过、两点的直线方程； (2)求在x轴、y轴上的截距分别是、的直线方程； (3)求经过点且斜率为的直线方程． 考点06 直线的定点问题 【方法点拨】若已知方程是含有一个参数的直线系方程，则我们可以把系数中的分别提取出来，化为 的形式，由解出和的值，即得定点坐标 【例11】已知直线l的方程为，则直线l（　　） A．恒过点且不垂直x轴 B．恒过点且不垂直y轴 C．恒过点且不垂直x轴 D．恒过点且不垂直y轴 【例12】不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 . 【变式6-2】若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-3】已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是 ． 考点07 由一般方程判断两条直线的位置关系 【方法点拨】两条直线平行、垂直的充要条件 设直线l1与l2的方程分别为不同时为0)，不同时为0)，则或； 【例13】“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例14】已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【变式7-1】直线与直线相交，则实数k的值为（    ） A．或 B．或 C．且 D．且 【变式7-2】“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式7-3】已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 考点08 由直线的位置关系求一般方程 【方法点拨】与直线平行的直线可设为； 与直线垂直的直线可设为. 【例15】已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【例16】已知直线经过点. (1)若平行于直线，求的一般式方程； (2)若垂直于直线，求在y轴上的截距， 【变式8-1】过点且平行于直线的直线方程为 . 【变式8-2】过点且与直线平行的直线的方程是 ；过点且与直线垂直的直线的方程为 【变式8-3】等腰直角三角形的直角顶点C和顶点B都在直线上，顶点A的坐标是．求边、所在直线的方程． 一、单选题 1．经过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 4．若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 7．直线，的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 8．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程是 . 9．光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 . 四、解答题 10．求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 11．已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 12．已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 13．已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习06直线的方程 一、直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 二、直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 三、直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 四、直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 五、直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 六、直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 考点01 求点斜式方程 【方法点拨】求直线的点斜式方程的步骤：①确定点；②若斜率不存在，方程为；若斜率存在，方程为 【例1】过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将，斜率为带入直线方程点斜式，得. 故选：B. 【例2】已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(5，2),，则AB边上的高CD所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为， 所以， 所以直线为：，即. 故选：C. 【变式1-1】已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【详解】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 【变式1-2】直线经过点，它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为，其中 由直线，可得斜率为，即，可得， 根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 因为直线经过点，可得直线的方程为. 故选：D. 【变式1-3】已知直线l的方程是. (1)求直线l的斜率和倾斜角； (2)求过点且与直线l平行的直线的方程. 【答案】(1)斜率为，倾斜角是60° (2) 【详解】（1）已知直线l：， 所以直线l的斜率，倾斜角是. （2）过点且与直线l平行的直线的斜率是， 所求直线方程为：，即. 考点02 求斜截式方程 【方法点拨】求直线的斜截式方程：（1）先求参数k和b，再写出斜截式方程； （2）斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系来求出． （3）是直线在轴上的截距． 【例3】已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【详解】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 【例4】根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为. （2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率. 所以该直线的斜截式方程为. 【变式2-1】与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 【答案】 【详解】设所求直线斜率为k，则， 即，又在y轴上的截距为4， 则直线为，与y轴交点为. 故答案为：；. 【变式2-2】经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 . 【答案】 【详解】设直线的斜率为， 与直线平行的直线的斜率为， 与直线垂直的直线斜率为. 由得， 由两直线平行知. 所以所求直线方程为，即； 由两直线垂直知， 所以与直线垂直的直线的点斜式方程为. 故答案为：; 【变式2-3】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1)y＝2x＋5 (2)y＝－x－2 (3)y＝x＋3或y＝x－3 【详解】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5. （2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－， 故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2. （3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝． 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 考点03 求两点式方程 【方法点拨】由两点式求直线方程的步骤：如果已知两点，应用两点式求解直线方程时，一定要注意分类讨论. 【例5】过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【答案】答案见解析 【详解】不一定． （1）若且，则直线垂直于x轴，方程为或． （2）若且，则直线垂直于y轴，方程为或． （3）若且，则直线方程可用两点式表示． 【例6】一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】关于 x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点，则反射光线经过点， 由两点式方程可知， 所求直线方程为，化简得. 故选：D. 【变式3-1】（1）若直线l经过点，则直线l的方程为 ； （2）若点在过点的直线上，则 . 【答案】 【详解】（1）由点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为. （2）由斜率两点式，即，可得. 故答案为：；. 【变式3-2】求经过两点和的直线方程． 【答案】答案见解析 【详解】当时，直线垂直于y轴，方程为， 当时，直线垂直于x轴，方程为. 当且时，由两点式得直线方程为 【变式3-3】已知三角形的顶点是，求这个三角形三边所在直线的方程. 【答案】答案见解析 【详解】由题意可知，作出图形如图所示 直线过， 其两点式方程为，整理，得， 这就是边所在直线的方程. 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为. 直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为. 考点04 求截距式方程 【方法点拨】利用截距式求直线方程的注意事项：（1）下列三种情况，不能用截距式表示直线：①k不存在；②；③直线过原点． （2）①截距相等且不为0，可设直线方程为；②截距相反且不为0，可设直线方程为； ③截距均为0，可设直线方程为 【例7】在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 【例8】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 【变式4-1】已知直线经过点. (1)若的斜率为2，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为6，求的截距式方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得的方程为，其斜截式方程为. （2）设的截距式方程为. 由题意得，得，所以的截距式方程为. 【变式4-2】纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【答案】或． 【详解】由题意可设直线方程为， 则，即， 所以直线方程为或， 所以直线的一般式方程或． 故答案为：或． 【变式4-3】已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【详解】依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为， 令得纵截距为，令得横截距为， 依题意得，，解得或， 所以直线方程为或. 考点05 求一般式方程 【例9】直线的倾斜角的大小为 . 【答案】 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，可得， 即直线的倾斜角为. 故答案为：. 【例10】若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 【答案】 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线在轴上的截距为，所以直线方程为，即. 故答案为：. 【变式5-1】已知直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件可知，，则， 所以，解得：，, 故选：A 【变式5-2】（多选）已知直线l：，则（    ） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 【答案】ACD 【详解】直线l：，即直线l：， 令，可得，即直线l过点，故A正确； 可知直线l的斜率为，故B错误； 设直线l的倾斜角为，可知， 所以，即直线l的倾斜角为，故C正确； 直线l在轴上的截距为1，故D正确； 故选：ACD. 【变式5-3】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)求经过、两点的直线方程； (2)求在x轴、y轴上的截距分别是、的直线方程； (3)求经过点且斜率为的直线方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由两点式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为． （2）由截距式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为． （3）因为经过点，由点斜式方程可得：， 化为一般式方程为． 考点06 直线的定点问题 【方法点拨】若已知方程是含有一个参数的直线系方程，则我们可以把系数中的分别提取出来，化为 的形式，由解出和的值，即得定点坐标 【例11】已知直线l的方程为，则直线l（　　） A．恒过点且不垂直x轴 B．恒过点且不垂直y轴 C．恒过点且不垂直x轴 D．恒过点且不垂直y轴 【答案】B 【详解】由直线l的方程为， 令，解得． ∴直线恒过点， 若，则直线不垂直y轴， 若，则直线不垂直于轴， 综上所述，恒过点且不垂直y轴. 故选：B． 【例12】不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 【变式6-1】当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 . 【答案】（－1，－1） 【详解】 解析：方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由得所以定点坐标是（－1，－1）. 【考查意图】直线过定点. 【变式6-2】若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】直线过定点， 且斜率， 故该直线不经过第三象限. 故选：C. 【变式6-3】已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是 ． 【答案】4 【详解】直线的方程变形为，由，得， 所以，动直线过定点，同理可知，动直线过定点， 由题意可知，且为与的交点，所以， 由勾股定理可得， 由重要不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线过定点问题，同时也考查了线段积最值的求解，根据题意得出定值条件是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 考点07 由一般方程判断两条直线的位置关系 【方法点拨】两条直线平行、垂直的充要条件 设直线l1与l2的方程分别为不同时为0)，不同时为0)，则或； 【例13】“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 【例14】已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：若，则，则直线，充分性满足； 必要性：若直线，则， 当时，不成立，则必要性不满足, 所以是直线的充分不必要条件. 故选：A 【变式7-1】直线与直线相交，则实数k的值为（    ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【详解】由题意，， 解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D. 【变式7-2】“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 【变式7-3】已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 【答案】答案见解析. 【详解】令，解得，所以当时，与相交； 当时，与互相垂直； 令，解得； 当时，的方程为，的方程为，与重合； 当时，的方程为，的方程为，此时； 所以当时，与相交，其中时，与互相垂直；当时，与重合；当时，． 考点08 由直线的位置关系求一般方程 【方法点拨】与直线平行的直线可设为； 与直线垂直的直线可设为. 【例15】已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 【例16】已知直线经过点. (1)若平行于直线，求的一般式方程； (2)若垂直于直线，求在y轴上的截距， 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可设， 因为直线经过点， 故，则； （2）由题意可设， 因为直线经过点， 故，则, 令，所以在y轴上的截距为. 【变式8-1】过点且平行于直线的直线方程为 . 【答案】 【详解】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 【变式8-2】过点且与直线平行的直线的方程是 ；过点且与直线垂直的直线的方程为 【答案】 【详解】设过点且与直线平行的直线的方程是， 将点代入，则 ， 所以直线的方程是； 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入，则 ， 所以直线的方程为. 故答案为：；. 【变式8-3】等腰直角三角形的直角顶点C和顶点B都在直线上，顶点A的坐标是．求边、所在直线的方程． 【答案】直线的方程为，直线的方程为或． 【详解】根据题意，画出图形，如图所示 由，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得， 直线的方程为； 由直线与的夹角为，且， 则有，解得或； 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为，即； 所以直线的方程为，直线的方程为或． 一、单选题 1．经过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，所以直线方程是，即. 故选：D. 2．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线的斜率为，则倾斜角为， 因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍， 所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为，解得. 故选：A. 3．已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 【答案】C 【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：， 因为直线过点(2, 1)，所以，即，则直线方程为：； 当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点（2，1），所以，则， 所以直线方程为，即， 综上：直线的方程为： x-2y=0或x+2y-4=0， 故选：C 4．若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 5．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知：直线恒过定点； 直线与轴分别交于点，； 在平面直角坐标系中作出直线如下图所示， 结合图象可知：若直线与直线交点位于第二象限，则临界状态为如图所示的位置，其中过点，与直线平行； ，，倾斜角为，倾斜角为， 直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 6．已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 7．直线，的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【详解】直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 对于A选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，A不满足条件； 对于B选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，B满足条件； 对于C选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，C满足条件； 对于D选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，D不满足条件. 故选：BC. 三、填空题 8．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程是 . 【答案】 【详解】 如图，易得为等腰直角三角形，故其垂心即点，设的外心为点，则点为斜边的中点，即， 依题意，的欧拉线即直线,其斜率为故其方程为：，即. 故答案为：. 9．光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】如图，入射角，设折射角为，，， 则，， 所以，则，， 所以，且. 该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为， 则其所在直线的斜率为 ， 直线的方程为，整理得. 故答案为： 四、解答题 10．求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 【答案】答案见解析 【详解】过A，B两点的直线的两点式方程是. 化为点斜式为：， 斜截式为：， 截距式为：. 11．已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 12．已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【答案】(1)； (2)最小值为4，直线的方程为. 【详解】（1）直线可化为， 要使直线不经过第三象限，则，解得， 的取值范围为. （2）由题意可得中，取，得， 取，得， ， 当且仅当时，即时，取“=”， 此时的最小值为4，直线的方程为. 13．已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意易得直线AB过定点，又 ，且， 则，而是直角三角形， 故M为AB的中点， 故， 故． （2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成， 将代入得，， 故， 当且仅当，即，亦即时取等号， 故的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$