精品解析：江苏省盐城市阜宁县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

江苏省盐城市阜宁县2023-2024学年八年级下学期 4月期中考试数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（　　） A. 中央电视台《开学第一课》的收视率 B. 即将发射的气象卫星的零部件质量 C. 某城市居民6月份人均网上购物的次数 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 2. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次（ ）． A. 正面朝上的可能性大 B. 反面朝上的可能性大 C. 正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D. 无法确定 3. 为了解某校七年级900名学生每天花费在数学学习上的时间，随机抽取了100名学生进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 样本容量是100 B. 每名学生是个体 C. 从中抽取的100名学生是样本 D. 七年级900名学生是总体 4. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 5. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 6. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，F为边上一点，与交于点E，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要表示一个家庭一年用于“教育、服装、食品、其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合采用______统计图．（填“扇形”、“折线”或“条形”） 10. 在整数20240425中，数字“2”出现的频数是 _____． 11. 五张卡片的正面分别写有，，，，这五个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为有理数的概率是 ____． 12. 平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠B＝_________度． 13. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是____． 14. 如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，，则四边形的周长为 _____． 15. 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为______． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值等于 _____． 三、解答题（本大题共有8小题，共72分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点分别为，，． （1）画，使它与关于点C成中心对称； （2）平移，使点A的对应点坐标为画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为 ． 18. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中 ； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； （3）估计袋子中有白球 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 19. 利用圆的性质，证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB． 20. 某学校为了解八年级学生课外阅读情况，调查了该年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表，请你根据统计图表的信息回答下列问题： 抽取的学生课外阅读时间统计表 类别 阅读时间t（小时） 人数 A 2 B 4 C 4 D E 13 F G 7 （1）本次共调查了 名学生； （2）在扇形统计图中，类别为F的扇形圆心角的度数为 ； （3）若该年级共有1800名学生，请估算一周内阅读时间不少于5小时的人数． 21. 如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF． （1）求证DF∥BE； （2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数． 22. 如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 24. 综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时， ；②当点E与点A重合时， ． 【深入探究】 （2）当点E在上，点F在上时（如图②）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． 【拓展延伸】 （3）若点F与点C重合，点E在边上，射线与射线交于点M（如图③）．在各种不同的折叠位置中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市阜宁县2023-2024学年八年级下学期 4月期中考试数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（　　） A. 中央电视台《开学第一课》的收视率 B. 即将发射的气象卫星的零部件质量 C. 某城市居民6月份人均网上购物的次数 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可． 【详解】解：A、中央电视台《开学第一课》的收视率，范围广，人数众多，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； B、即将发射的气象卫星的零部件质量，涉及安全性，事关重大，应采用全面调查，符合题意； C、城市居民6月份人均网上购物的次数，范围广，人数众多，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； D、某品牌新能源汽车的最大续航里程，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； 故选：B． 2. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次（ ）． A. 正面朝上的可能性大 B. 反面朝上的可能性大 C. 正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案． 【详解】解：虽然连续抛掷一枚质地均匀的硬币6次都是正面朝上， 但抛掷第7次正面朝上与反面朝上的可能性也一样大． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）． 3. 为了解某校七年级900名学生每天花费在数学学习上的时间，随机抽取了100名学生进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 样本容量是100 B. 每名学生是个体 C. 从中抽取的100名学生是样本 D. 七年级900名学生是总体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据总体、个体、样本、样本容量的定义解答即可． 【详解】解：A．样本容量是100，故此选项符合题意； B．每名学生每天花费在数学学习上的时间是个体，故此选项不符合题意； C．从中抽取的100名学生每天花费在数学学习上的时间是样本，故此选项不符合题意； D．900名学生每天花费在数学学习上的时间是总体，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，熟记矩形与菱形的对角线的性质是解本题的关键．矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角， ∴对角线互相垂直菱形具备，矩形不一定具有；故A不符合题意； 对角线互相平分矩形与菱形都有，故B不符合题意； 对角线相等矩形具有，而菱形不一定具有，故C符合题意； 对角线平分一组对角菱形具有，而矩形不一定有，故D不符合题意； 故选：C． 5. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，先利用旋转的性质得到，，则根据，利用互余可计算出，从而得到的度数． 【详解】解：绕点C顺时针方向旋转得， ，， ， ， 故选：C 7. 如图，在正方形中，F为边上一点，与交于点E，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明，得到，在利用三角形内角和得到，在根据三角形外角和的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ． ． ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定、以及三角形的外角等于和它不相邻两个内角和的性质．解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成． 8. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点，E是中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要表示一个家庭一年用于“教育、服装、食品、其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合采用______统计图．（填“扇形”、“折线”或“条形”） 【答案】扇形 【解析】 【分析】根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答即可． 【详解】解：根据统计图的特点可知：要表示一个家庭一年用于“教育”“服装”“食品”“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，那么应该选用扇形统计图更合适． 故答案为：扇形． 【点睛】本题主要考查统计图的特点，解题的关键是熟练掌握条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系． 10. 在整数20240425中，数字“2”出现的频数是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了频数，一组数据中某个数据出现的次数叫做这个数据的频数，据此解答即可． 【详解】解：在整数20240425中，数字“2”出现的频数是3， 故答案为：3． 11. 五张卡片的正面分别写有，，，，这五个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为有理数的概率是 ____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念及简单事件的概率，理解有理数的定义是解题的关键．根据无理数和有理数的定义及概率计算公式求解即可得解． 【详解】解：∵五张卡片的正面分别写有，，，，这五个数，其中，，是有理数， ∴从中任意抽取一张，卡片上的数字为有理数的概率是， 故答案为：． 12. 平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠B＝_________度． 【答案】120 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，再根据已知即可求解． 【详解】解：∵在▱ABCD中，∠A=∠C，∠A+∠B=180°， 又∵∠A+∠C=120°， ∴∠A=120°÷2=60°， ∴∠B=180°-∠A=120°． 故答案为：120． 【点睛】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质． 13. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8， ∴菱形ABCD的面积为AC×BD=×6×8=24， 故答案为：24． 【点睛】此题主要考查菱形面积的求解，解题的关键是熟知其面积公式． 14. 如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，，则四边形的周长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及判定，熟练掌握三角形中位线的性质及判定是解题的关键，根据三角形的中位线及性质求解即可。 【详解】解：∵、、、分别是、、、的中点， ∴、、、分别是、、、的中位线， ∴，，，， ∴四边形的周长； 故答案为：． 15. 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质与三角形全等的性质与判定，解题的关键是得到．连接，，根据正方形性质可得，，，即可得到，即可得到，即可得到一个图形重叠的面积，即可得到答案； 【详解】解：连接，， ∵正方形的边上为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为：， 故答案为：． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值等于 _____． 【答案】10 【解析】 【分析】连接PB，证得，可知PC+QD=PC+PB，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，可知PC+PB=PC+PE，连接CE，则PC+PE≥CE，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接PB，如图所示， 在和中， ∵， ∴（SAS）， ∴DQ=PB， ∴PC+QD=PC+PB， 在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE， ∵PA垂直平分BE， ∴PE=PB， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+PE≥CE， ∴， ∴PC+PB的最小值为：10， 即PC+QD的最小值为：10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，关键在于利用“将军饮马”模型求得“两定一动”最小值，属于常考题型． 三、解答题（本大题共有8小题，共72分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点分别为，，． （1）画，使它与关于点C成中心对称； （2）平移，使点A的对应点坐标为画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点即可． （2）根据的坐标变化，利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可． （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问2详解】 解：，， 向左平移2个单位，再向下平移8个单位， 如图所示：即为所求； 【小问3详解】 解：将绕某一点旋转可得到， 则旋转中心的坐标P的横坐标为：，纵坐标为，即． 故答案为：． 18. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中 ； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； （3）估计袋子中有白球 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． 【小问3详解】 摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． 【小问4详解】 当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 19. 利用圆的性质，证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】作△ABC的外接圆，利用圆周角定理进行推理． 【详解】证明：如图，作△ABC的外接圆， ∵∠ACB＝90°， ∴AB是圆的直径． ∵CD是斜边AB上的中线， ∴D点为AB的中点． ∴点D为圆心，CD为半径． ∴CD＝ AB． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是圆的直径是解题的关键． 20. 某学校为了解八年级学生课外阅读情况，调查了该年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表，请你根据统计图表的信息回答下列问题： 抽取的学生课外阅读时间统计表 类别 阅读时间t（小时） 人数 A 2 B 4 C 4 D E 13 F G 7 （1）本次共调查了 名学生； （2）在扇形统计图中，类别为F的扇形圆心角的度数为 ； （3）若该年级共有1800名学生，请估算一周内阅读时间不少于5小时的人数． 【答案】（1）50； （2） （3）一周内阅读时间不少于5小时的人数约540人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求扇形统计图圆心角度数，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用类的人数除以其所占比，即可解题； （2）利用统计表和统计图算出类别为F的人数，再利用乘以其所占比，即可解题； （3）根据统计表和统计图得到一周内阅读时间不少于5小时的人数所占比，再利用总数乘以其所占比，即可解题． 【小问1详解】 解：本次共调查学生：（人）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：类别为F的人数为：（人）， 故在扇形统计图中，类别为F的扇形圆心角的度数为： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： （人）， 答：一周内阅读时间不少于5小时的人数约540人． 21. 如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF． （1）求证DF∥BE； （2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠CDF＝35°． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质证明四边形BEDF是平行四边形，最后根据平行四边形对边平行得出结论； （2）由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠ADC，∠EBF＝∠EDF，最后根据∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵CF＝AE， ∴DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DF∥BE； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF＝∠ABC＝35°， ∵四边形BEDF是平行四边形， ∴∠EBF＝∠EDF＝35°， ∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝35°． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等与一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 22. 如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定及性质，熟悉掌握判定的方法是解题的关键． （1）利用两对边平行判定出四边形是平行四边形，利用菱形的性质得到，即可判定出四边形是矩形； （2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长，在通过矩形对角线相等即可得出． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， 根据勾股定理得：， ∵四边形是矩形， ∴． 23. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】 证明：（1）的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明； （3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 24. 综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时， ；②当点E与点A重合时， ． 【深入探究】 （2）当点E在上，点F在上时（如图②）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． 【拓展延伸】 （3）若点F与点C重合，点E在边上，射线与射线交于点M（如图③）．在各种不同的折叠位置中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①3；②4 （2）①证明见解析；② （3）存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或 【解析】 【分析】（1）①由题意可得E为的中点，F为的中点，即可求解； ②由折叠的性质可得，即可求解； （2）①与交于点O，根据垂直平分线的性质可得，，再根据矩形的性质和平行线的性质可得，证得，从而证得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论； ②当时，设菱形的边长为x，则，，利用勾股定理列方程得，求出x的值，再利用勾股定理求值即可； （3）分两种情况：M在上，M在的延长线上，根据全等三角形的判定与性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①当点P与点A重合时，E为的中点，F为的中点， ∴， 故答案为：3； ②当点E与点A重合时，如图， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）①证明：如图，与交于点O， ∵是的中垂线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形， ②解：当时，设菱形的边长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分情况讨论： ①如图③，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； ②如图④， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 设， 则，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程、垂直平分线的性质及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $