精品解析：上海市交通大学附属中学2024届高三5月阶段测试数学试卷

2024届交大附中高三（下）阶段测试二数学试卷 一、填空题 1. 已知集合，集合，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，代入集合B，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由题意，集合，又因为，所以， 则， 故答案为：. 2. 已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆列出不等式组得解. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得且， 所以实数k的取值范围是. 故答案为： 3. 记等差数列的前项和为，，则______. 【答案】78 【解析】 【分析】由等差数列的下标和性质和等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为为等差数列，所以. 故答案为：78. 4. 已知复数，其中为虚数单位，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，可得，则，所以. 故答案为：. 5. 在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正态分布曲线对称性和可知，再利用正态分布曲线的性质可求得. 【详解】由知：； ，. 故答案为：. 6. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用在方向上的投影向量公式即可得到答案. 【详解】向量在向量方向上的投影， 即. 故答案为：. 7. 已知的内角的对边分别为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，再利用余弦定理即可得的值. 【详解】由余弦定理可得， 所以， 于是有. 故答案为：. 8. 已知样本的平均数为2，方差为2023，则的平均数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用数据的平均数和方差的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得，所以， 又由， 即， 所以. 故答案为：. 9. 数列满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】当时求出，当时，得到，作差即可得到，再检验时是否满足，即可得解. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 则得：， 所以， 当时，不成立，所以． 故答案为：. 10. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到点，设，，根据，结合中点公式列出方程组，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】由函数的图象，不妨令，则，所以， 设，， 因为，可得，解得， 所以 ，所以， 又由图可知，所以. 故答案为：. 11. 波斯诗人奥马尔·海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程的几何求解方法.在直角坐标系中，P，Q两点在x轴上，以为直径的圆与抛物线C：交于点，.已知是方程的一个解，则点P的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】求得以为直径的圆的方程，与抛物线的方程联立，消去y，可得x的方程，由题意考虑两个三次方程有相同的解，可得所求点的坐标. 【详解】设，的中点为，则以为直径的圆的方程为， 与抛物线：联立，可得， 化简可得：， 由于，可得R，Q的横坐标相等， 则方程和方程有相同的解， 即有，解得，则. 故答案为：. 12. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 二、单选题 13. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、方差、极差的定义判断即可. 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为． 对于A，原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余， 中位数仍为，A正确． 对于B，原始平均数，后来平均数， 平均数受极端值影响较大，所以与不一定相同，B不正确. 对于C，，， 结合B选项易知，方差会改变，C不正确． 对于D，原极差，新极差，可能相等可能变小，D不正确． 14. 设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，，则相交或平行，所以A错误； 对于B中，若，，由线面平行的性质可得，所以 B正确； 对于C中，若，，，当两两相交时，两两相交，所以C错误； 对于D中，若，，则或，所以D错误. 故选：B. 15. 已知直线l：与圆O：相交于A，B两点，则下面结论中正确的是（ ） A. 线段AB长度的最小值为1 B. 线段AB长度的最大值为2 C. 的面积最小值为4 D. 的面积最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，可以把用的函数表示出来，根据均值不等式求解出的范围．利用和弦长的关系，计算出弦长，．进而表达出面积，根据函数求算出面积的范围即可． 【详解】圆心到直线距离， 因为，所以，, 则弦长， 所以A和B均错误； ， 令，则， 因为取不到，所以没有最小值，C错误； 当时，面积最大，为，D正确． 故选：D 16. 已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（ ） A. 、都是p的充分条件 B. 只有是p的充分条件 C. 只有是p的充分条件 D. 、都不是p的充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】若已知，则当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可推出成立；若已知，取，根据增函数的定义和已知条件，结合不等式性质，也可推出成立. 【详解】若成立，当，有. 因为单调递减，且恒成立，所以， 所以， 故存在（且），对任意的，均有恒成立， 所以是p的充分条件； 若成立时，当时，，. 因为单调递增，所以恒成立， 故存在（且），对任意的，均有恒成立， 所以也是p的充分条件. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到相应的满足要求，从而得解. 三、解答题 17. 已知函数，其中. （1）求在上的解； （2）已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可； （2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 由已知， 又，所以， 所以或， 所以或， 即在上的解为或； 【小问2详解】 由已知 ， 则在时有解，即在时有解， 因为，所以， 所以， 所以. 18. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取BC的中点M，连结MA、． 因为，，所以，， 由于AM，平面，且， 因此平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC， 因为，所以平面ABC. （2）. 【解析】 【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面，进而由得，再证明平面ABC即可得证. （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：因为，且，所以． 以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：将直三棱柱补成长方体． 连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ， 因为平面，且平面， 所以， 又因为，由于BD，平面，且， 所以平面，则为直角三角形， 由于平面，所以， 因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ， 因为平面CPQ，所以， 则∠CQP为平面与平面的夹角或补角， 在中，由等面积法可得, 因为，所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 19. 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%． （1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明： ． 【答案】（1）分布列： X 0 1 2 3 P 数学期望 （2）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率， 所以． 即． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 即得， 所以． 即． 又因为，， 所以． 因为，， 所以． 即得证． 【解析】 【分析】（1）设出甲乙两厂的零件数，表示事件发生的概率，由题意知X服从二项分布，写出分布列和期望即可. （2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，即，化简变形即可证得. 【小问1详解】 设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件， 事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”， 则，， ， 计算得． 所以． X的可能取值为0，1，2，3，， ， ，， ，． 所以，X的分布列为： X 0 1 2 3 P ； 【小问2详解】 略 20. 日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：. （1）求椭圆C的蒙日圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； （3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据蒙日圆定义求出半径，即可得解； （2）利用点到直线的距离及圆的性质，求出弦长，得出三角形面积即可； （3）设，可得直线的方程为，联立椭圆，得出根与系数的关系，利用弦长公式求出，再由点到直线距离求出三角形高，得出三角形面积，换元后利用导数求最值. 【小问1详解】 因为椭圆：，所以， 所以椭圆的蒙日圆的方程为； 【小问2详解】 如图， 由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为， 联立方程，消去并整理得，， 由，得，即， 所以坐标原点到直线：的距离， 所以， 所以； 【小问3详解】 由（1）知，椭圆C的方程为，椭圆C的蒙日圆方程为， 设，则，设，， 则切线的方程为，切线的方程为， 将代入切线，的方程，有，， 故直线的方程为， 将直线的方程与椭圆的方程联立得， 消去并整理得， 显然，， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以， 设，则，， 令， 则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出三角形面积表达式后，需要通过换元，转化为不带根号的式子，再由导数判断函数的单调性，利用单调性求面积的最小值. 21. 已知函数，. （1）若直线是曲线在处的切线，求的表达式； （2）若任意且，有恒成立，求符合要求的数对组成的集合； （3）当时，方程在区间上恰有1个解，求k的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程得的表达式. （2）等价变形给定不等式，求出导数可得恒成立即可求解. （3）求出方程的一个解，再借助零点存在性定理探讨可得，然后证明即可得解. 【小问1详解】 函数，求导得，则， 因此函数在处的切线方程为：，即， 所以. 【小问2详解】 令，由 整理得：，且， 即，则， ，，于是，又， 则两函数图象重合，即，有，则，， 所以符合要求的数对组成的集合为. 【小问3详解】 由，得，显然，则是方程的1个解， 若符合题意，则也符合题意，故以下仅考虑的情形. 设， ①若，则由，且， 因此在中另有一根，矛盾； ②若，则由，， 因此在中另有一根，矛盾； 从而，以下证明，对任意，符合题意. 当时，由图象在连接两点，的线段的上方知，即， 当时，，即， 当时，，，则， 因此有且仅有一个解，即在满足题意， 所以k的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届交大附中高三（下）阶段测试二数学试卷 一、填空题 1. 已知集合，集合，若，则_________. 2. 已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是____________. 3. 记等差数列的前项和为，，则______. 4. 已知复数，其中为虚数单位，则___________． 5. 在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则___________. 6. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________. 7. 已知的内角的对边分别为，若，则__________． 8. 已知样本的平均数为2，方差为2023，则的平均数为________. 9. 数列满足，则________. 10. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为__________. 11. 波斯诗人奥马尔·海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程的几何求解方法.在直角坐标系中，P，Q两点在x轴上，以为直径的圆与抛物线C：交于点，.已知是方程的一个解，则点P的坐标为______. 12. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 二、单选题 13. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 14. 设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 15. 已知直线l：与圆O：相交于A，B两点，则下面结论中正确的是（ ） A. 线段AB长度的最小值为1 B. 线段AB长度的最大值为2 C. 的面积最小值为4 D. 的面积最大值为 16. 已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（ ） A. 、都是p的充分条件 B. 只有是p的充分条件 C. 只有是p的充分条件 D. 、都不是p的充分条件 三、解答题 17. 已知函数，其中. （1）求在上的解； （2）已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 18. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%． （1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明： ． 20. 日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：. （1）求椭圆C的蒙日圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； （3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 21. 已知函数，. （1）若直线是曲线在处的切线，求的表达式； （2）若任意且，有恒成立，求符合要求的数对组成的集合； （3）当时，方程在区间上恰有1个解，求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $