精品解析：辽宁省阜新市细河区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024年度（下）期中教学质量检测 八年级数学试卷 （试卷满分：120分 考试时间：120分钟） 各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应位置上，否则不得分.千万注意哦！ 一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分） 1. 习近平总书记强调，发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在式子①，② ，③ ，④中，是分式的个数 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ） A. m+2＞n+2 B. 2m＞2n C. ＞ D. m2＞n2 4. 对于分式，下列说法正确的是（　　） A. 当x＝﹣2时分式有意义 B. 当x＝±2时分式的值为零 C. 当x＝0时分式无意义 D. 当x＝2时分式的值为零 5. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三角形中，，将三角形沿着射线方向平移，得到三角形，已知，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则的值分别为（ ） 用法用量：口服，每天．分次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A. B. C. D. 9. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 10. 如图，在同一个平面直角坐标系中作出一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点，，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，下列说法不正确的是（ ） A. 关于x的方程的解集是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 关于x不等式的解集是 D. 关于x的不等式组的解集是 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________． 12. 小玉要打一份字的文件，第一天她打字小时，打字速度为字/分．第二天她打字速度比第一天快了字/分，两天打完全部文件，用含的式子表示第二天打字用的时间为__________分. 13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是__________． 14. 小明将两把完全相同长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 15. 已知两块相同三角板如图所示摆放，点、、在同一直线上，，，，将绕点顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一条边与平行，那么此时的面积是___________． 三、解答题（16题15分，17、18题每题6分，19，20、21题每题8分，22、23题每题12分，共75分） 16. （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组 （3）因式分解： 17. 先化简，再求值：化简，并从，1，3中选取一个合适的数作为a的值代入求值． 18. 如图，在直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是，，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，求线段在平移过程中扫过的面积； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心坐标为___________． 19. 近日，“盛唐密盒”爆火出圈，一举将西安再次推入文旅热门打卡城市，也带火了汉服体验有数据显示，月以来，西安汉服体验订单量全国第一，比去年同期增长了倍某旅行社计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是元件，元件，五一期间为吸引更多顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过件时，按原价收取租金；若租用件以上，超出件的部分可按原价的五折进行优惠． 设该旅行社需要租用件汉服，选择甲店总租金为元选择乙店总租金为元． （1）请分别求出，关于的函数解析式； （2）该旅行社选择哪家汉服体验店更便宜？ 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，点D为的中点，连接，此时，．求证：． 21. 某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元． （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3500元，求至少购买A种品牌足球多少个？ 22. 阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解： 这种因式分解的方法叫做分组分解法． （1）请用上述方法因式分解：； （2）已知是三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由； （3）若为非零实数，且，求证：． 23. 【问题背景】 数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题： 如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？ （1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【问题探索】 聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？ 通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，可知为等边三角形，因此，由两点之间，线段最短，可知的最小值即为点B，P，，C共线时线段的长． （2）【类比探究】如图5，在中，，点P为内一点，连接，求的最小值． （3）【实际应用】如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道，要求．若，请直接写出输水管道长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024年度（下）期中教学质量检测 八年级数学试卷 （试卷满分：120分 考试时间：120分钟） 各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应位置上，否则不得分.千万注意哦！ 一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分） 1. 习近平总书记强调，发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 2. 在式子①，② ，③ ，④中，是分式的个数 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义结合整式的概念逐一进行分析即可得. 【详解】①是分式；② 是整式；③是分式；④是整式， 所以分式有2个， 故选C. 【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数． 3. 若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ） A m+2＞n+2 B. 2m＞2n C. ＞ D. m2＞n2 【答案】D 【解析】 【详解】A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确； C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确； D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误； 故选：D． 4. 对于分式，下列说法正确的是（　　） A. 当x＝﹣2时分式有意义 B. 当x＝±2时分式的值为零 C. 当x＝0时分式无意义 D. 当x＝2时分式的值为零 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义和无意义的条件，以及分式值等于0的条件进行逐一判断即可． 【详解】解：∵要想分式 有意义， ∴即，故A不符合题意； ∵要想分式 无意义， ∴即，故C不符合题意； ∵要想分式 的值为0， ∴即，故B不符合题意，D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，无意义的条件，分式值为0的条件，解题的关键在于能熟练掌握相关知识进行求解． 5. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，可得答案． 【详解】解：A、，属于整式乘法； B、，属于因式分解； C、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不属于因式分解； D、，等式左边不是多项式，不属于因式分解； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 6. 如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意可得，将代数式因式分解，代入式子的值，即可求解． 【详解】解：∵边长为的长方形的周长为，面积为， ∴即，， ∴， 故选：B． 7. 如图，在三角形中，，将三角形沿着射线方向平移，得到三角形，已知，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质；根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由平移知，，， ∴， ∴阴影部分的周长； 故选：A． 8. 某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则的值分别为（ ） 用法用量：口服，每天．分次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用每天服用的最低剂量除以最多次数，用最高剂量除以最少次数． 【详解】解：每天最少服用30药品，最多服用3次，则每次最少服用， 同理每天最多服用60药品，最少服用2次，则每次最多服用. ∴x=10，y=30， 故选：D. 【点睛】本题考查一元一次不等式，关键是理解题意，用最小的药品剂量除以最大的次数得到每次最小的服用量，用最大的药品剂量除以最小的次数得到每次最大的服用量． 9. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”， 应先假设这个三角形中每一个内角都小于． 故选：B． 10. 如图，在同一个平面直角坐标系中作出一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点，，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，下列说法不正确的是（ ） A. 关于x的方程的解集是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 关于x的不等式的解集是 D. 关于x的不等式组的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据两直线与坐标轴的交点，两直线的交点坐标，结合方程和不等式的形式，结合图像得出答案，即可判断． 【详解】解：A. 关于x的方程的解集是，故正确，不合题意； B. 关于x的不等式的解集是，故正确，不合题意； C. 关于x的不等式的解集是，故错误，符合题意； D. 关于x的不等式组的解集是，故正确，不合题意； 故选C． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式2m，再利用平方差公式完成因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用提取公因式法和公式法分解因式的知识，熟练运用平方差公式是解答本题的关键． 12. 小玉要打一份字的文件，第一天她打字小时，打字速度为字/分．第二天她打字速度比第一天快了字/分，两天打完全部文件，用含的式子表示第二天打字用的时间为__________分. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，求出第二天打字的数为，第二天打字速度为即可求得打字的时间． 【详解】小时分钟 由题意得：第一天打字的个数为个， 第二天打字用的时间为分钟 故答案为：． 13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是__________． 【答案】110°或70° 【解析】 【详解】解：分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 即可求得顶角是90°+20°=110°； 当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°﹣20°=70°． 故答案为110°或70°． 考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论． 14. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案：． 15. 已知两块相同的三角板如图所示摆放，点、、在同一直线上，，，，将绕点顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一条边与平行，那么此时的面积是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求解，，，，再分两种情况讨论；如图，当时，过作于，则，当时，过作于，则，再求解中上的高即可得到答案． 【详解】解：∵，，，且两个三角形一样， ∴，，，， 如图，当时，过作于，则， ∴，， ∴， 当时，过作于，则， ∴，，， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用旋转的性质解题是关键． 三、解答题（16题15分，17、18题每题6分，19，20、21题每题8分，22、23题每题12分，共75分） 16. （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组 （3）因式分解： 【答案】（1），数轴表示见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解一元一次不等式（组）并在数轴上表示其解集，熟练掌握因式分解的方法及解不等式（组）的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示其解集即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤解不等式组即可． （3）提公因式后再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得． 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上表示如图． （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． （3）解：原式． 17. 先化简，再求值：化简，并从，1，3中选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键． 直接将除法转化为乘法，再按照乘法法则化简，再把符合题意的的值代入即可． 【详解】解： ， 当时，分式无意义， 当时，原式． 18. 如图，在直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是，，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，求线段在平移过程中扫过的面积； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为___________． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称性质即可作出所求的三角形． （2）利用网格点长方形面积减去四个小三角形的面积即可求解． （3）连接两三角形对应顶点的对称点即可找到对称中心． 【小问1详解】 如图所示，连接，再延长至，使，可作出A点关于O点的对称点，同理可作出，连接，由所作法可知，即为所求的三角形． 【小问2详解】 如图所示，在平移过程中扫过的面积等于正方形的面积减去四个直角三角形的面积． ． 【小问3详解】 如下图，连接，交于I，则I即为与的旋转中心，I点的坐标为 【点睛】本题考查关于三角形中心对称图形的作法、以及坐标系中平行四边形面积的变通求法，准确把握中心对称的特点是解题的关键． 19. 近日，“盛唐密盒”爆火出圈，一举将西安再次推入文旅热门打卡城市，也带火了汉服体验有数据显示，月以来，西安汉服体验订单量全国第一，比去年同期增长了倍某旅行社计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是元件，元件，五一期间为吸引更多顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过件时，按原价收取租金；若租用件以上，超出件的部分可按原价的五折进行优惠． 设该旅行社需要租用件汉服，选择甲店总租金为元选择乙店总租金为元． （1）请分别求出，关于的函数解析式； （2）该旅行社选择哪家汉服体验店更便宜？ 【答案】（1）， （2）当选择乙店便宜；当时，选择甲、乙店费用一样多；当时，选择甲点便宜 【解析】 【分析】（1）根据甲、乙两店的租用方式即可用式表示和的函数解析式； （2）根据（1）的结论分别讨论当，，和时，三种情况就可以求出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：； ， 关于的函数解析式为；关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，即，解得； 当时，即，解得； 当时，即，解得． 综上，当选择乙店便宜；当时，选择甲、乙店费用一样多；当时，选择甲点便宜． 【点睛】本题考查了一次函数的运用，方案设计的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键，分类讨论是难点． 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，点D为的中点，连接，此时，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴AD是线段CE的垂直平分线， ∴， ∵EF垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 21. 某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费5000元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球需要多花20元． （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3500元，求至少购买A种品牌足球多少个？ 【答案】（1）购买一个种品牌的足球需要60元，购买一个种品牌的足球需要80元 （2）至少购买A种品牌足球15个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①根据数量关系找出关于的二元一次方程组；②根据数量关系找出关于的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程(方程组、不等式或不等式组)是关键． （1）设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用+买种足球费用，以及种足球单价比种足球贵20元”可得出关于的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用+买种足球费用”可得出关于的一元一次不等式，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要60元，购买一个种品牌的足球需要80元． 【小问2详解】 设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故至少购买A种品牌足球15个． 22. 阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解： 这种因式分解的方法叫做分组分解法． （1）请用上述方法因式分解：； （2）已知是三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由； （3）若为非零实数，且，求证：． 【答案】（1） （2）是等边三角形； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）去括号展开后利用分组分解法进行因式分解即可求解； （3）等式两边去括号展开，移项得到，进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∴， ∴是等边三角形； 【小问3详解】 解： ∴ ∴ 23. 【问题背景】 数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题： 如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？ （1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【问题探索】 聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？ 通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，可知为等边三角形，因此，由两点之间，线段最短，可知的最小值即为点B，P，，C共线时线段的长． （2）【类比探究】如图5，在中，，点P为内一点，连接，求的最小值． （3）【实际应用】如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道，要求．若，请直接写出输水管道长度的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）的最小值为；（3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）作边和的垂直平分线，交点O即可为所作； （2）将绕点B顺时针旋转至处，连接，证是等边三角形，得，再证四点共线，然后证，即可解决问题； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，，在同一直线上时，，当时，的最小值为的长，据此即可求解． 【详解】解：（1）点O的位置如图所示， （2）将绕点B顺时针旋转至处，连接，如图所示： 则，，，，，， ∴是等边三角形， ∴， 由【问题探索】知点的最小值即为点共线时线段的长， ∴， ∴， ∵， ∴四点共线， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴在同一直线上时，， 当时，的最小值为的长， 记与交于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $