精品解析：2024年江苏省盐城市响水县中考二模数学试题

2024年春学期九年级二模 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2024 C. D. 2. 根据地区生产总值统一核算结果，盐城市2023年第一季度实现地区生产总值1702.3亿元．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（　） A B. C D. 5. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，、为抛物线上任意两点，其中，设抛物线的对称轴为，若对于，都有，则的取值范围是（　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 式子有意义，则的取值范围是___________． 10. 分解因式：x2y-4y=____． 11. 正n边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则________． 12. 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉50只雀鸟，给它们做上标记后放回山林：一段时间后，再从山林中随机捕捉80只，其中有标记的雀鸟有2只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量为__________只． 13. 如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度．李老师乘扶梯从底端A以的速度用时到达顶端B，则李老师上升的垂直高度为_________． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为__________． 16. 如图，在扇形中，于点D，，将绕点O点逆时针旋转，则线段扫过的图形面积为是______________． 三．解答题（本大题共有10小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 20. 有4张扑克牌，牌面数字分别2、3、4、4，其余都相同．小明随机从中摸出一张牌，记录牌面数字后放回；洗匀后再从中摸出一张牌，记录牌面数字后又放回．小明摸了100次，结果统计如下： 牌面数字 2 3 4 4 次数 26 24 30 20 （1）上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是 ；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是 ； （2）若小明一次摸出两张牌，求小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率． 21. 某校规定学生每天体育活动时间不少于1小时，为了解该校800名学生参加体育活动的情况，对部分学生每天参加体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题： 组别 时间 频数（人数） 频率 A 8 ■ B 12 0.24 C 14 0.28 D a ■ E 5 0.1 （1）表中的a=______，请将频数分布直方图补充完整． （2）估计该校800名学生中，每天体育活动时间不足1小时的学生有多少名？ （3）若E组中有3名男生和2名女生，从中随机抽取2名同学代表学校参加大课间体育活动展示，请画树状图或列表求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 22. 如图，在正方形中，点M是边上的任一点，连接并将线段绕点M顺时针旋转得到线段，在边上取点P使，连接、． （1）求证：； （2）线段与交于点Q，连接，若，证明：； 23. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示． （1）AB两地相距　　km，b＝　　； （2）求点E的坐标，并写出点E坐标所表示的实际意义； （3）求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （4）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程． 24. 如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4． （1）求证：PC是⊙O的切线． （2）求tan∠CAB的值． 25. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、A′D． （1）如图1，当AE＝　 　时，A′D∥BE； （2）如图2，若AE＝3，求S△A′CB． （3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）若， ①求此抛物线的表达式及其对称轴； ②当时，直接写出m的取值范围为_______； （2）若，点在该抛物线上，且，请比较大小，并说明理由． （3）该抛物线必过平面直角坐标系内的一点，则该点坐标为_______．（直接写出坐标） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期九年级二模 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 根据地区生产总值统一核算结果，盐城市2023年第一季度实现地区生产总值1702.3亿元．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿． 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 3. 如图四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，故本选项合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 4. 下列计算结果正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘除法则，积的乘方法则，合并同类项法则求解即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 5. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握：俯视图是从上面看到的图形．据此可得答案． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且四条线段连接对应顶点， A．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意； B．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意； C．该图形是“斗”的俯视图，故此选项符合题意； D．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定，由此可解． 【详解】解：甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，， 成绩最稳定的同学是甲， 故选：A． 7. 如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出． 【详解】解：设折痕与平行四边形交点为，如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， 根据折叠可得， ． 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，、为抛物线上任意两点，其中，设抛物线的对称轴为，若对于，都有，则的取值范围是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，点，连线中垂线与轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， ， ，即， ，， ， 抛物线对称轴为， ， 对于都有， 即时，都有， ， 即， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 式子有意义，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 11. 正n边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，先根据正n边形每个内角的度数都是其外角度数的5倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角的度数，进而利用外角和求出n． 【详解】解：设多边形的每个外角为n，则其内角为，根据题意，得 ， 解得：， 所以 即这个多边形的边数为12边． 故答案为：12． 12. 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉50只雀鸟，给它们做上标记后放回山林：一段时间后，再从山林中随机捕捉80只，其中有标记的雀鸟有2只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量为__________只． 【答案】2000 【解析】 【分析】由题意可知：重新捕获80只，其中带标记的有2只，可以知道，在样本中，有标记的占到．而在总体中，有标记的共有50只，根据比例即可解答． 【详解】根据题意得： （只）， 答：估计这片山林中雀鸟的数量约为2000只； 故答案为：2000． 【点睛】本题考查了用样本估计总体的知识，体现了统计思想，解题的关键是理解统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息． 13. 如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度．李老师乘扶梯从底端A以的速度用时到达顶端B，则李老师上升的垂直高度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据坡度的概念得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设， ∵扶梯的坡度， ∴， 由题意得：， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案． 【详解】由一次函数与反比例函数的图象和性质可知，其交点，两点关于原点对称， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的位似变换，相似三角形的判定以及性质，由正方性的性质和位似图形的性质可得出，，进而得出， 由相似三角形的性质可得出，进而可求出，进一步即可得出答案． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，， ∴，， ∴， ，即， 解得：， ∴， 故答案：． 16. 如图，在扇形中，于点D，，将绕点O点逆时针旋转，则线段扫过的图形面积为是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积和阴影部分的面积计算．将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关键． 由于绕点O点逆时针旋转得到．可见，阴影部分面积为扇形面积减去扇形,分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图，在扇形中，于点D， 在中，根据勾股定理可得： ． 绕点O点逆时针旋转得到， ， ， 扇形面积为：， 扇形面积为：， 阴影部分面积为：， 故答案为：． 三．解答题（本大题共有10小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值、三角函数值、二次根式，然后算加减即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键． 18. 解不等式组：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组解法是解题的关键；先分别解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可； 【详解】， 解不等式得， 解不等式得， 原不等式组无解； 19. 先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】x+1，4 【解析】 【分析】先对所求分式化简，并根据分式有意义确定，，再解不等式组得到x的解集，根据x取整数继而确定x，最后将满足要求的x代入即可求解 【详解】 ， 根据分式有意义可知，，， 即，，； 解， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 则不等式组的解集为， ∵x取整数，且，， ∴x=3， 将x=3代入化简后的代数式， 即有：原式=x+1=4． 【点睛】本题考查了分式的化简以及求解不等式组的解集，在分式有意义的前提下，结合不等式组的解集确定出x值是解答本题的关键． 20. 有4张扑克牌，牌面数字分别为2、3、4、4，其余都相同．小明随机从中摸出一张牌，记录牌面数字后放回；洗匀后再从中摸出一张牌，记录牌面数字后又放回．小明摸了100次，结果统计如下： 牌面数字 2 3 4 4 次数 26 24 30 20 （1）上述试验中，小明摸出牌面数字为3频率是 ；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是 ； （2）若小明一次摸出两张牌，求小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接由频率定义和概率公式分别求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是； 小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是； 故答案：，； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种， ∴小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率为． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 某校规定学生每天体育活动时间不少于1小时，为了解该校800名学生参加体育活动的情况，对部分学生每天参加体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题： 组别 时间 频数（人数） 频率 A 8 ■ B 12 0.24 C 14 0.28 D a ■ E 5 0.1 （1）表中的a=______，请将频数分布直方图补充完整． （2）估计该校800名学生中，每天体育活动的时间不足1小时的学生有多少名？ （3）若E组中有3名男生和2名女生，从中随机抽取2名同学代表学校参加大课间体育活动展示，请画树状图或列表求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）11，图见解析 （2）320名 （3） 【解析】 【分析】（1）由E组的人数除以频率得出抽样调查的学生人数，即可解决问题； （2）由该校学生人数乘以每天体育活动的时间不足1小时的学生所占的比例即可； （3）画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵抽样学生共有（人）， ∴， 补全频数分布直方图如图所示． 故答案为：11； 【小问2详解】 每天体育活动的时间不足1小时的学生有（名）． 【小问3详解】 画树状图如图所示， 由图可得共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的结果有12种， ∴P（恰好抽到一男一女）． 【点睛】此题考查了树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，在正方形中，点M是边上的任一点，连接并将线段绕点M顺时针旋转得到线段，在边上取点P使，连接、． （1）求证：； （2）线段与交于点Q，连接，若，证明：； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，则，由将线段绕M顺时针旋转得到线段，可得，即可得到结论； （2）证明，则，由得到则，即可得到，得出结论； 【小问1详解】 证明：是正方形， ，， 在和中， ， ∵将线段绕M顺时针旋转得到线段， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 又， ∴， ∴， ， ， ， ； 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形判定和性质是解题的关键． 23. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示． （1）AB两地相距　　km，b＝　　； （2）求点E的坐标，并写出点E坐标所表示的实际意义； （3）求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （4）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程． 【答案】（1）540，6 （2）甲、乙两车出发3小时后在距离B地240km处相遇 （3） （4）乙车距离B地的路程为48km 【解析】 【分析】(1)根据图象和题意直接得出结论； (2)先求出甲的速度，再求出乙的速度，然后求出乙的路程，从而求出E点坐标，并说出E的实际意义； (3)根据乙的图象，用待定系数法分段求出函数解析式； (4)甲到达B地所用的时间为5.4h，把x=5.4代入y=−80x+480即可求得． 【小问1详解】 解：由图象可知：AB两地相距540km， 乙在3h时与甲相遇，然后乙车立即以原速原路返回到B地， ∴b＝3+3＝6， 故答案为：540，6； 【小问2详解】 解：由题意知：（km/h）， ∴（100+v乙）×3＝540， ∴v乙＝80（km/h）， ∴y＝80×3＝240， ∴E（3，240）， 点E的实际意义为：甲、乙两车出发3小时后在距离B地240km处相遇； 【小问3详解】 解：当0＜x≤3时，图象过原点和E点， ∴y＝kx， 把E（3，240）代入得：240＝3k， 解得：k＝80， ∴y＝80x， 当3＜x≤6时，设y＝kx+b， 把（3，240）和（6，0）代入得， ， 解得：， ∴y＝﹣80x+480， 综上：； 【小问4详解】 解：当x＝5.4时，代入y＝﹣80x+480得， y＝80×（6﹣5.4）＝48（km）， ∴乙车距离B地的路程为48km， 答：乙车距离B地的路程为48km． 【点睛】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式． 24. 如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4． （1）求证：PC是⊙O的切线． （2）求tan∠CAB的值． 【答案】（1）见解析；（2）tan∠CAB=. 【解析】 【分析】（1）可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线； （2）AB是直径，得∠ACB=90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而，得出tan∠ACB=． 【详解】（1）如图，连接OC、BC， ∵⊙O的半径为3，PB=2, ∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5, ∵PC=4, ∴OC2+PC2=OP2， ∴△OCP是直角三角形， ∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线． （2）∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠OCB=90°. ∵OC⊥PC， ∴∠BCP+∠OCB=90°， ∴∠BCP=∠ACO. ∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO， ∴∠A=∠BCP. 在△PBC和△PCA中： ∠BCP=∠A，∠P=∠P， ∴△PBC∽△PCA， ∴=== ∴tan∠CAB== 【点睛】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容，能证明图中相似三角形是解决问题的关键． 25. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、A′D． （1）如图1，当AE＝　 　时，A′D∥BE； （2）如图2，若AE＝3，求S△A′CB． （3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）连接AA′，交BE于点F，由折叠得F为AA′的中点，当A′D∥BE，则E为AD的中点，可知AE等于AD长的一半； （2）过点A′作MN⊥AD于点M，交BC于点N，得到△BA′N∽△A′EM，根据相似三角形的对应边成比例列方程可求出A′N的长，再求S△A′CB； （3）作BG⊥A′C交CA′的延长线于点G，可证明BG越大则∠A′CB越大，进而证明当C、A′、E三点在同一条直线上时∠A′CB最大，此时∠BA′C=90°，可证明EC=BC=8，再由勾股定理求出A′C的长，再求A′E的长即得到AE的长． 【详解】解：（1）如图1，连接，交于点， 点与点关于直线对称， 垂直平分， 为的中点， 当 点为的中点， 四边形是矩形， ， ， 故答案为： （2）如图2，过点作于点，交于点，则， ， ， 由折叠得，，，， ， ， △△， ， ； ， 四边形是矩形， ， 设，则， ， ， 整理得， 解得，，（不符合题意，舍去）， ， ． （3）如图3，作交的延长线于点，则； 以点为圆心、长为半径作圆，则点在上运动， ， 的值随的增大而增大， 而的值随的增大而增大， 越大则越大， ， 当点与点重合时，，此时最大，也最大； 如图4，当点与点重合时，则， ， 、、三点在同一条直线上； ，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的特征、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数及动点问题中的最值问题等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，属于考试压轴题． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）若， ①求此抛物线的表达式及其对称轴； ②当时，直接写出m的取值范围为_______； （2）若，点在该抛物线上，且，请比较的大小，并说明理由． （3）该抛物线必过平面直角坐标系内的一点，则该点坐标为_______．（直接写出坐标） 【答案】（1）①抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线；②或 （2），理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）①将点代入方程，用待定系数法求解；②根据抛物线的特点和性质可直接得到答案； （2）根据图象上点与对称轴的位置关系进行分析； （3）对抛物线方程进行整理，分析必过某点的条件，这是解决此问的关键． 【小问1详解】 解：①当时，点A的坐标为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即， ∴抛物线的对称轴为直线； ②令，则，解得：，， ∴抛物线与x轴交于和， ∵点，，且，如图， ∴点在x轴的下方， ∴或． 【小问2详解】 解：，理由如下： 将代入得：， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴． 【小问3详解】 解：∵抛物线必过某点， ∴与a无关． ， ∴当时，解得或． 当时，；当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像和性质及图象上的点与对称轴间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$