精品解析：2024年山东省淄博市沂源县中考二模数学试题

数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1，答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、准考证号、考场/座位号填写在答题卡和试卷规定位置，并涂写考试号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题4分，共40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分． 1. 相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列表述中能确定准确位置的是（ ） A. 教室从左到右第3列 B. 文博演出中心第10排 C. 北偏东 D. 东经，北纬 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 95 9.5 9.5 9.5 方差 8.5 7.3 8.8 7.7 根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ） A. 74°12′ B. 74°36′ C. 75°12′ D. 75°36′ 7. 定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点是平行四边形边上的一个动点，连接，过点作的延长线于点，过点作，交于点，记四边形的面积为，在整个运动变化的过程中，四边形的面积变化的情况是（ ） A. 一直在减小 B. 一直不变 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 9. 如图，在菱形中，，，E，F分别是边上的动点，连接和，G，H分别为，的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1，有以下四个结论：①ab＜0，②b＜，③a＝﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是 ________． 12. 把分解因式得：，则c的值为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径______． 14. 如图1，是工人将货物搬运上货车常用方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为（即图2中）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离，木板超出车厢部分，则木板的长度为______．（参考数据：，，精确到） 15. 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE． 18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 19. “凑够一拨人就走，管它红灯绿灯．”曾经有一段时间，“中国式过马路”现象引起社会广泛关注和热议.交通安全与我们的生活息息相关，“珍惜生命，文明出行”是每个公民应遵守的规则.某市为了了解市民对“闯红灯”的认识，随机调查了部分市民，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图表.（每位市民仅持一种观点） 调查结果统计表 观点 频数 A. 看到车少可以闯红灯 90 B. 无论什么时候都不能闯红灯 C. 因为车让行人，行人可以闯红灯 60 D. 凑够一拨人，大家一起过马路时可以闯红灯 根据以上统计图表，解答下列问题： （1）本次接受调查的市民共有_______人；_______，_______； （2）扇形统计图中，扇形的圆心角度数是_______； （3）若该市约有120万人，请估计“看到车少可以闯红灯”和“因为车让行人，行人可以闯红灯”观点的人数大约共有多少. 20. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？ 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）填空： ①直接写出不等式的解集______； ②点，，都在反比例函数的图象上，若，比较，，的大小（用号连接），其结果是______. 22. (1)问题发现 在△ABC中，AC=BC，∠ACB=α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE． 如图(1)，当α=90°时，试猜想： ①AF与BE的数量关系是　 　；②∠ABE=　 　； (2)拓展探究 如图(2)，当0°<α<90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由． (3)解决问题 如图(3)，在△ABC中，AC=BC，AB=8，∠ACB=α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD=3CD时，请直接写出BE的长度． 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A在B的左侧，；与y轴的正半轴交于点C；与一次函数的图象交于A、D两点，连接，． （1）求b的值； （2）求二次函数关系式； （3）在抛物线上是否存在点P，使得以P为圆心的圆与直线和x轴都相切？若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1，答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、准考证号、考场/座位号填写在答题卡和试卷规定位置，并涂写考试号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题4分，共40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分． 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相反数的意义，掌握实数的性质和“相反数的意义”是解决问题的关键． 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是2， 故选：A． 2. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 3. 下列表述中能确定准确位置的是（ ） A. 教室从左到右第3列 B. 文博演出中心第10排 C. 北偏东 D. 东经，北纬 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据位置的确定需要两个条件对各选项分析判断即可得解，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键． 【详解】解：A、教室从左到右第3列，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； B、文博演出中心第10排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； C、北偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； D、东经，北纬，能确定位置，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.5 9.5 9.5 9.5 方差 8.5 7.3 8.8 7.7 根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【详解】解：甲、乙、丙、丁四人的平均数相等，但乙的方差最小，说明他的发挥最稳定，所以选乙运动员参加比赛． 故选B． 【点睛】本题考查平均数和方差在数据统计中的意义，理解掌握它们的意义是解答关键. 5. 已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形分类，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和，根据，再根据可得出答案． 【详解】解：设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形为钝角三角形． 故选：C． 6. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ） A. 74°12′ B. 74°36′ C. 75°12′ D. 75°36′ 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：过点D作DF⊥AO交OB于点F．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3，∵CD∥OB，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2=∠3（等量代换）；在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=37°36′，∴∠2=90°﹣37°36′=52°24′；∴在△DEF中，∠DEB=180°﹣2∠2=75°12′．故选C． 考点：1．平行线的性质；2．度分秒的换算；3．跨学科． 7. 定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征．熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键． 由点A关于幸福直线的对称点的坐标，可知A、B的纵坐标相同，横坐标和的一半等于，即，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，对称点到对称轴的距离相等，且对称点之间的连线与对称轴垂直， ∴点A与点B的纵坐标都相同 ，即， 故选：D． 8. 如图，已知点是平行四边形边上的一个动点，连接，过点作的延长线于点，过点作，交于点，记四边形的面积为，在整个运动变化的过程中，四边形的面积变化的情况是（ ） A. 一直在减小 B. 一直不变 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知四边形EFGC为直角梯形，设，因为,可知 ，则，由梯形面积公式可以表示出面积的表达式为二次函数，由二次函数图像的性质可知面积先增大后减小. 【详解】 , 设 可得： 可知面积的函数关系式二次函数，根据二次函数图像的性质可知先增大后减小. 故选D 【点睛】利用相似三角形和梯形面积公式表示面积的表达式为二次函数，熟知相似三角形性质与二次函数图形的性质是解题关键 9. 如图，在菱形中，，，E，F分别是边上的动点，连接和，G，H分别为，的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】连接，得到是的中位线，，当时，最小，得到最小值，则，证得是等腰直角三角形，求出即可． 【详解】连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵G，H分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，最小，得到最小值，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1，有以下四个结论：①ab＜0，②b＜，③a＝﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴即可判断①，将x=-1代入即可判断②，求出抛物线的顶点坐标，将其代入一次函数解析式中即可判断③，根据图象即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a＞0， ∴ab＜0，所以①正确，符合题意； ②∵x＝﹣1时，y＜0， 即a﹣b+1＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a＝﹣， ∴﹣﹣b+1＜0， ∴b＞，所以②错误，不符合题意； ③当x＝1时，y＝a+b+1＝a﹣2a+1＝﹣a+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a+1）， 把（1，﹣a+1）代入y＝kx+1得﹣a+1＝k+1， ∴a＝﹣k，所以③正确，符合题意； ④当0＜x＜1时，ax2+bx+1＞kx+1， 即ax2+bx＞kx， ∴ax+b＞k，所以④正确，符合题意． 综上：正确的是①③④ 故选：B． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是 ________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】杜师傅这样做是为了构成三角形，根据三角形三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性来解决问题． 本题主要考查了“三角形具有稳定性”，能够利用这一知识来解释一些生活现象是解题的关键． 【详解】解：杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做就构成了三角形，利用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 把分解因式得：，则c的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：3． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则该圆弧的半径______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．再利用网格与勾股定理求解即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，连接， ， 故答案为：． 14. 如图1，是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为（即图2中）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离，木板超出车厢部分，则木板的长度为______．（参考数据：，，精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，属于理论联系实际的题目，难度不大，关键是根据三角函数值得到所求线段的相应的线段的长度． 根据的正弦函数和的长度求的长，再加上即可． 【详解】解：由题意可知：． 在中，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解题的关键是找出规律． 根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律． 【详解】四边形是矩形， ， ， 按逆时针方向作矩形的相似矩形， 矩形的边长和矩形的边长的比为， 矩形的面积和矩形的面积的比， ， ， ， 故答案为：. 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先去括号，再合并同类项即可化简，再代入进行计算即可，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解：， 将代入得，原式． 17. 如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意知，由三角形内角和定理可得，进而可证． 【详解】证明：∵， ∴ ∵，， ∴ 在△ABC和△ADE中 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，三角形内角和定理．解题的关键在于找出全等所需的条件． 18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 19. “凑够一拨人就走，管它红灯绿灯．”曾经有一段时间，“中国式过马路”现象引起社会广泛关注和热议.交通安全与我们的生活息息相关，“珍惜生命，文明出行”是每个公民应遵守的规则.某市为了了解市民对“闯红灯”的认识，随机调查了部分市民，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图表.（每位市民仅持一种观点） 调查结果统计表 观点 频数 A. 看到车少可以闯红灯 90 B. 无论什么时候都不能闯红灯 C. 因为车让行人，行人可以闯红灯 60 D. 凑够一拨人，大家一起过马路时可以闯红灯 根据以上统计图表，解答下列问题： （1）本次接受调查的市民共有_______人；_______，_______； （2）扇形统计图中，扇形的圆心角度数是_______； （3）若该市约有120万人，请估计“看到车少可以闯红灯”和“因为车让行人，行人可以闯红灯”观点的人数大约共有多少. 【答案】（1）300，135，15；（2）；（3）60万人 【解析】 【分析】（1）根据A组的频数是90，对应的百分比是30%，据此求得本次接受调查的市民人数，利用百分比的意义求得a，然后求得的值； （2）利用360°乘以对应的比例即可求解； （3）利用总人数120万乘以对应的比例即可求解． 【详解】（1）本次接受调查的市民共有 300 人； 135 ， 15 ； 本次接受调查的市民共有：（人） , . （2）扇形统计图中，扇形圆心角度数是 _； . （3）（万人） ∴若该市约有120万人，可估计“看到车少可以闯红灯”和“因为车让行人，行人可以闯红灯”观点的人数大约共有60万人. 【点睛】考查扇形统计图，用样本估计总体，频数（率）分布表，掌握频数，频率以及数据综合之间的关系是解题的关键. 20. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？ 【答案】（1）第一次每支铅笔的进价为4元．（2）每支售价至少是6元． 【解析】 【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解．本题等量关系为：第一次购进数量－第二次购进数量=30； （2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答，利润表达式为：第一次购进数量×第一次每支铅笔的利润＋第二次购进数量×第二次每支铅笔的利润． 【详解】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，由第二次每支铅笔进价为x元． 第一次购进数量－第二次购进数量=30 －=30． （2）设售价为y元，由已知 ＋≥420， 解得y≥6． 答：每支售价至少是6元． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）填空： ①直接写出不等式的解集______； ②点，，都在反比例函数的图象上，若，比较，，的大小（用号连接），其结果是______. 【答案】（1）， （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）①根据函数图象求出不等式的解集即可； ②根据反比例函数增减性比较反比例函数值的大小即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴反比例函数解析式为； 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：①如图，当或时，一次函数在反比例函数的上面， ∴的解集为或； 故答案为：或； ②∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴，，， ∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，求反比例函数解析，比较反比例函数值的大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． 22. (1)问题发现 在△ABC中，AC=BC，∠ACB=α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE． 如图(1)，当α=90°时，试猜想： ①AF与BE的数量关系是　 　；②∠ABE=　 　； (2)拓展探究 如图(2)，当0°<α<90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由． (3)解决问题 如图(3)，在△ABC中，AC=BC，AB=8，∠ACB=α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD=3CD时，请直接写出BE的长度． 【答案】（1）①AF＝BF ②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α，理由见解析；（3）2或4 【解析】 【分析】（1）①由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，②根据三角形全等可得∠DAF＝∠E，又因为∠AOD＝∠EOB，即可求得∠ABE=∠ADO=90°； （2）结论：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”证△ADF≌△EDB，即可解决问题； （3）分当点D在线段BC上和当点D在BC的延长线上两种情形讨论，利用平行线分线段成比例可求解． 【详解】（1）①设AB交DE于O． ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝45°， ∵DF∥AC， ∴∠FDB＝∠C＝90°， ∴∠DFB＝∠DBF＝45°， ∴DF＝DB， ∵∠ADE＝∠FDB＝90°， ∴∠ADE-∠FDE=∠FDB-∠FDE ∴∠ADF＝∠EDB， ∵DA＝DE， ∴△ADF≌△EDB， ∴AF＝BE， ②由①得：△ADF≌△EDB， ∴∠DAF＝∠E， 又∵∠AOD＝∠EOB， ∴∠ABE＝∠ADO＝90°． 故答案为：AF＝BF，90°． (2)结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下： ∵DF∥AC， ∴∠ACB＝∠FDB＝∠ADE=α，∠CAB＝∠DFB， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠CAB， ∴∠ABC＝∠DFB， ∴DB＝DF， ∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE， ∴∠ADF＝∠EDB， 又∵AD＝DE， ∴△ADF≌△EDB， ∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD ∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE， ∴∠ABE＝∠FDB＝α． (3)①如图3﹣1中，当点D在BC上时， ∵BD=3CD ∴ ∵DF∥AC， ∴=， ∵AB＝8， ∴AF＝2， 由(2)可知：BE＝AF， ∴BE＝AF＝2， ②如图3﹣2中，当点D在BC的延长线上时， ∵BD=3CD ∴ ∵AC∥DF， ∴＝， ∵AB＝8， ∴AF＝4， ∴BE＝AF＝4 故BE的长度为2或4． 【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A在B的左侧，；与y轴的正半轴交于点C；与一次函数的图象交于A、D两点，连接，． （1）求b的值； （2）求二次函数的关系式； （3）在抛物线上是否存在点P，使得以P为圆心的圆与直线和x轴都相切？若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数，则其对称轴为直线，根据抛物线对称轴和，即可求得点A、B的坐标分别为：、，将代入，即可求解； （2）从而得抛物线的表达式为：，再由直线的表达式为，可得，过点B作于点H，根据，故设，则，则，则，则，则，过点D作x轴的平行线交过点A和y轴的平行线于点T，则为等腰直角三角形，则，则点，将点D的坐标代入抛物线表达式得：，求得：，即可求解； （3）设点，分两种情况：当点在轴右侧时，先求得，再根据，即，所以，求解即可；当点在轴左侧时，同理可解． 【小问1详解】 解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， ∵， ∴设点A、B坐标分别为：、，则，解得：， 则点A、B的坐标分别为：、， 将代入，得， 解得：； 【小问2详解】 点A、B的坐标分别为：、，则抛物线的表达式为：， 如下图，设直线交y轴负半轴于E，过点B作于点H， ∵直线的表达式为， 令，则， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，故设，则，则， 则，则，则， 过点D作x轴的平行线交过点A和y轴的平行线于点T， 则为等腰直角三角形，则，则点， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：，即； 则抛物线的表达式为：； 【小问3详解】 解：存在， 理由：设点， 当点P在y轴右侧时，如下图①， 当以P为圆心的圆与直线和x轴都相切， 则点P为角平分线和抛物线的交点， 由（1）知：， 而直线m和x轴的夹角为， 如上图②，设为等腰直角三角形，，则， 设，则， 则， 设与x轴相切于T，连接， ∴， ∴ ∴ ∵点P在第四象限， ∴，， 则， ∵ ∴， ∴ ∴ 解得：，（舍去） 当点P在y轴左侧时，则点P所在的直线（n）和m垂直， 同理可解得：，（舍去）， 综上， P点横坐标． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的图象和性质、圆和直线的位置关系等，有一定的综合性，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$