精品解析：山东省济南市天桥区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年第二学期八年级期中考试 数学试卷（A） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项B、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项A不能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：A． 2. 下列变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、中，是整式乘法，故本选项不符合题意； B、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意； C、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 3. 下列各式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义即可得出答案. 【详解】A：，能化简不是最简分式，故选项A错误； B：不能化简是最简分式，故选项B正确； C：，能化简不是最简分式，故选项C错误； D：，能化简不是最简分式，故选项D错误. 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式. 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 5. a、b都是实数，且，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； B. ∵，∴ ，故该选项正确，不符合题意； C. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； D. ∵，∴只有当x<0时，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键，特别是性质3不等式的两边同乘或同除同一个负数，不等号的方向改变． 6. 当（ ）时，解分式方程会出现增根（ ） A. 5 B. 2 C. ﹣2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解分式方程后根据方程有增根列得关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：， 两边同乘，去分母得：， 移项，合并同类项得：， ∵原方程有增根， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查根据含参数的分式方程有增根确定参数的值，结合已知条件解方程后列得关于m的方程是解题的关键． 7. 自11月以来，万州疫情越来越严峻.万州二中决定分高中部和初中部同时开展全员核酸检测，初中部比高中部每小时少检测300人，高中部检测800人所用时间是初中部检测600人所用时间的一半．设高中部每小时检测人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设高中部每小时检测人，则初中部每小时检测人，高中部检测完需要：小时，初中部检测完需要：，最后根据时间的关系，找到等量关系式即可． 【详解】设高中部每小时检测人，则初中部每小时检测人， 高中部检测完需要：小时，初中部检测完需要：， 又高中部检测800人所用时间是初中部检测600人所用时间的一半， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是找到应用题中的等量关系式． 8. 在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别是：，，将线段平移后，若点A的新坐标为，点的新坐标为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，确定线段的平移方式，即可确定m，n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：，，将线段平移后，点A的新坐标为，点的新坐标为， 线段向右平移个单位，向上平移个单位， ，， 故选：A． 【点睛】题目主要考查点的平移及求代数式的值，熟练掌握点的平移是解题关键． 9. 若a为整数，关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的a的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】观察此题先解不等式组确定x解集，由不等式组有解确定a的取值范围，再根据分式方程有正整数解，即可找出符合条件的所有整数a． 【详解】不等式组， 解①得：， 解②得：， 且不等式组有解， 解关于x的分式方程得： ， 分式方程有正整数解，a为整数， 方程产生增根，舍去， 符合条件的a的值有1个，为0， 故选：A． 【点睛】此题考查不等式组的解法以及分式方程的解法，综合性较强，熟练掌握不等式组的解法以及分式方程的解法是解决本题的关键． 10. 如图，在中，，，，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接CQ，则线段CQ长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在AB上取一点E，使，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ=AP，∠PAQ=60°，证明△CAQ≌△EAP，由全等三角形的性质得出CQ=EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，在AB上取一点E，使，连接PE，过点E作EF⊥BC于点F， 根据题意得：AQ=AP，∠PAQ=60°， ∵∠ABC=30°， ∴∠EAC=60°， ∴∠PAQ=∠EAC， ∴∠CAQ=∠EAP， ∴△CAQ≌△EAP（SAS）， ∴CQ=EP， 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF， ∵∠ACB=30°， ∴AB=2AC，BE=2EF， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段CQ长度的最小值为． 故选：D 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 12. 若分式有意义，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 13. 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为的纵，横相交的小路，这块草地的面积为______． 【答案】200 【解析】 【分析】利用平移道路的方法得出草地的长、宽，即可得到面积． 【详解】解：由平移得到，草地的长为，宽为， ∴这块草地的面积为， 故答案：200． 【点睛】此题考查了生活中的平移现象，正确平移道路是解题的关键． 14. 已知，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先对所求式子进行化简，然后整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体思想的应用． 15. 如图，直线经过点和点，直线经过点，则不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分的自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意得到y=kx+b与y=2x交点为A（-1，-2）， 解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分， 又B（-2，0）， 此时自变量x的取值范围，是-2＜x＜-1． 即不等式2x＜kx+b＜0的解集为：-2＜x＜-1． 故答案为-2＜x＜-1． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．根据函数图象即可得到不等式的解集． 16. 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，则落在轴正半轴上的点坐标是______． 【答案】（，，，的整数） 【解析】 【分析】考查坐标的旋转问题，得到相应的旋转规律及的长度的规律是解决本题的关键．由，，，，，易得，通过旋转，每次旋转，需要旋转次才能落在轴正半轴上，易得轴正半轴上的点横坐标与底数为的幂相关，据此即可解答． 【详解】解：，，，，， ， 通过旋转最后落在轴正半轴上，而每次旋转， 需要旋转次才能落在轴正半轴上，并且每旋转一次扩大一倍， 旋转到点的坐标为，其中满足的条件是（，，的整数）， 故答案为：（，，，的整数）． 三、解答题 17 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是掌握完全平方公式． 18. 解方程+1＝． 【答案】x＝． 【解析】 【分析】先找出最简公分母（x﹣2）（2x+1），然后分式两边同事乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程求解检验即可得到结果． 【详解】解：， 方程两边乘 （x﹣2）（2x+1），得， （2x+1）+（x﹣2）（2x+1）＝2x（x﹣2）， 解得 x＝， 检验：当x＝时，（x﹣2）（2x+1）≠0， 所以，原分式方程的解为x＝． 【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，在解分式方程有两个注意事项，一个是去分母化成整式方程，另一个是检验． 19. 解不等式组并求出它的所有整数解． 【答案】解集是，整数解是0，1，2，3 【解析】 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出它的所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， ∴该不等式组的整数解是0，1，2，3． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 20. 化简求值：，其中a＝2． 【答案】 【解析】 【分析】先把除法转化为乘法,再把分子、分母因式分解,约分后化简得到原式= ,然后把a的值代入计算即可. 【详解】解：原式= . 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值,注意灵活运用因式分解先化简在求值. 21. 如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证： （2）若．求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可，根据，求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1中， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：如图2中，连接， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 22. 已知，求的值． 【答案】121 【解析】 【详解】∵x²+y²−4x+6y+13=(x−2)²+(y+3)²=0， ∴x−2=0，y+3=0，即x=2，y=−3， 则原式=(x−3y)²=11²=121． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法， 非负数的性质：偶次方，已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，将绕原点逆时针旋转，得到；将向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到． （1）分别画出和； （2）经旋转后点的对应点分别为是的边上一点，经旋转、平移后点的对应点分别为，请写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析，， 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—旋转变换、平移变换，旋转的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用网格特点，旋转的性质和平移的性质画出图形即可； （2）根据所画图形即可得出点的坐标，根据旋转和平移的性质可得的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，为所求； 由图可得：， 由旋转和平移的性质可得：． 24. 初夏的青岛，迎来了“樱珠季”，某大型超市看好樱珠的市场价值．购进红灯和黄蜜两个品种的樱珠，已知用1000元购进红灯的数量和用1400元购进黄蜜的数量相同，且每千克红灯的进价比每千克黄蜜的进价少8元． （1）求红灯和黄蜜每千克的进价各是多少元？ （2）该超市总店决定每天购进红灯和黄蜜共1000千克进行销售，但投入资金不超过24000元，假定该超市将红灯和黄蜜的售价分别定为每千克26元和每千克38元，请问如何进货，该超市总店将获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）红灯每千克的进价是20元，黄蜜每千克的进价是28元 （2）每天购进红灯500千克，购进黄蜜500千克，该超市总店将获得最大利润8000元 【解析】 【分析】（1）设红灯每千克的进价是x元，则黄蜜每千克的进价是元，根据用1000元购进红灯的数量和用1400元购进黄蜜的数量相同得：，解方程并检验可得答案； （2）设每天购进红灯m千克，由投入资金不超过24000元，可得，设总店获得的利润为w元，有，根据一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 设红灯每千克的进价是x元，则黄蜜每千克的进价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴红灯每千克的进价是20元，黄蜜每千克的进价是28元； 【小问2详解】 设每天购进红灯m千克，则每天购进黄蜜千克， ∵投入资金不超过24000元， ∴， 解得， 设总店获得利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴时，w取最大值，最大值为（元）， 此时， ∴每天购进红灯500千克，购进黄蜜500千克，该超市总店将获得最大利润8000元． 【点睛】本题考查分式方程的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 25. 阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： （1）因式分解： ①； ②； （2）对关于的多项式因式分解：． 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键． （1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，，即得答案； ②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，，进一步推理后又可凑得，，即得答案； （2）设，则，同样可先凑答案，，代入关系式得，比较系数可得，，针对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得，符合题意，即得答案． 【小问1详解】 ①由题意得，，，， 所以可凑数，， 故； ②由题意得，，，， 所以可凑数，， 则，， 又可凑数，， 故； 【小问2详解】 设， 则， 凑数，， ， ，， 分四种情况讨论： 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，成立，符合题意； 当，时，代入，不成立，舍去； 所以只有，， 故． 26. 【问题探究】 如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE交于点F，试猜想BD与CE的大小关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】 （1）在【问题探究】的条件下，连接DE，若AE=5，AD=3，则=______； （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC＝，BC＝3，则CD长为_______； （3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（0，3）、P（3，0），过点P作直线l⊥x轴，点B是直线l上的一个动点，线段AB绕点A按逆时针方向旋转30°得到线段AC，则AC+PC的最小值为_______． 【答案】[问题探究]：BD＝CE，BDCE，理由见详解；[拓展应用]：（1）68；（2）；（3）6 【解析】 【分析】[问题探究]首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明BD＝CE．再由直角三角形中两锐角和等于90度，结合∠AEF=∠ABD通过等量代换得出BDCE． [拓展应用]（1）图中一共有6个直角三角形，多次通过勾股定理找出两直角边的平方和等于斜边的平方．通过等量代换得出BC2+DE2=BE2+CD2=AE2+AB2+AC2+AD2，把AE=5，AD=3代入计算即可． （2）构造如[问题探究]的图形，得出CD=BE，再在Rt△BCE中求出BE即可． （3）如图，在射线AO上截取AD=AP，连接BD，作点D关于直线l的对称点D′，连接BD′先证，再通过等量代换得AC+CP的最小值为，然后通过勾股定理求出的值即可． 【详解】[问题探究]解：结论：BD＝CE，BDCE 理由如下：如图1中， ∵∠BAE=∠CAD=90°， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴（SAS）， ∴BD=CE．∠AEF=∠ABD ∵∠BAE＝90° ∴∠AEF+∠BEF+∠ABE=90° ∴∠BEF+∠ABD+∠ABE=90° 即∠BEF+∠FBE=90° ∴∠BFE=90° ∴BDCE ∴BD与CE的大小关系及位置关为：BD＝CE，BDCE． [拓展应用]（1）解：如图，连接DE，由[问题探究]知，BD＝CE，BDCE ∴在RtBCF中，BF2+CF2=BC2， 在RtDEF中，EF2+DF2=DE2 ∴BF2+CF2+EF2+DF2=BC2+DE2 ∵在RtBEF中，BF2+EF2+=BE2 在RtCDF中，CF2+DF2=CD2， ∴BC2+DE2=BE2+CD2 在RtABE中，AE=AB=5， ∴BE2=AE2+AB2=52+52=50， 在RtCAD中，AC=AD=3， ∴CD2=AC2+AD2=32+32=18 ∴BC2+DE2=BE2+CD2 =50+18 =68． 故答案为：68． （2）如图，在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE=90°，AC=AE，连接BE． ∵∠ACB=45°，∠ACE=45° ∴∠BCE=90° ∵AC=， ∴AE=，EC=2， 在Rt△BCE中，BE===． ∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAE=∠DAC， ∵AB=AD，AE=AC， ∴（SAS）， ∴BE=CD， ∴CD=． 故答案为：． （3）解：如图，在射线AO上截取AD=AP，连接BD，作点D关于直线l的对称点D′，连接BD′ ∵∠CAP=∠BAD，CA=AB，AP=AD， ∴（SAS）， ∴PC=BD=DB′， ∴AC+CP的最小值=AB+DB′=， ∵A（0，3）、P（3，0）， ∴AD=AP = =6 在Rt中， = = =6， ∴AC+CP的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是判断出∠EAC=∠BAD，解决[拓展应用]的关键是构造全等三角形，利用轴对称解决最短问题，这是一道压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期八年级期中考试 数学试卷（A） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式中最简分式是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A B. C. D. 5. a、b都是实数，且，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 当（ ）时，解分式方程会出现增根（ ） A. 5 B. 2 C. ﹣2 D. 3 7. 自11月以来，万州疫情越来越严峻.万州二中决定分高中部和初中部同时开展全员核酸检测，初中部比高中部每小时少检测300人，高中部检测800人所用时间是初中部检测600人所用时间的一半．设高中部每小时检测人，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别是：，，将线段平移后，若点A的新坐标为，点的新坐标为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 9. 若a为整数，关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的a的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，，，，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接CQ，则线段CQ长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 分解因式：=______． 12. 若分式有意义，则的取值范围是________ 13. 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为的纵，横相交的小路，这块草地的面积为______． 14. 已知，则__________． 15. 如图，直线经过点和点，直线经过点，则不等式组的解集是______． 16. 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，则落在轴正半轴上的点坐标是______． 三、解答题 17. 因式分解：． 18 解方程+1＝． 19. 解不等式组并求出它的所有整数解． 20. 化简求值：，其中a＝2． 21. 如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证： （2）若．求四边形面积． 22. 已知，求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，将绕原点逆时针旋转，得到；将向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到． （1）分别画出和； （2）经旋转后点对应点分别为是的边上一点，经旋转、平移后点的对应点分别为，请写出点的坐标． 24. 初夏的青岛，迎来了“樱珠季”，某大型超市看好樱珠的市场价值．购进红灯和黄蜜两个品种的樱珠，已知用1000元购进红灯的数量和用1400元购进黄蜜的数量相同，且每千克红灯的进价比每千克黄蜜的进价少8元． （1）求红灯和黄蜜每千克的进价各是多少元？ （2）该超市总店决定每天购进红灯和黄蜜共1000千克进行销售，但投入资金不超过24000元，假定该超市将红灯和黄蜜的售价分别定为每千克26元和每千克38元，请问如何进货，该超市总店将获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： （1）因式分解： ①； ②； （2）对关于的多项式因式分解：． 26. 【问题探究】 如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE交于点F，试猜想BD与CE的大小关系及位置关系，并说明理由； 拓展应用】 （1）在【问题探究】的条件下，连接DE，若AE=5，AD=3，则=______； （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC＝，BC＝3，则CD长为_______； （3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（0，3）、P（3，0），过点P作直线l⊥x轴，点B是直线l上的一个动点，线段AB绕点A按逆时针方向旋转30°得到线段AC，则AC+PC的最小值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$