精品解析：湖南省邵阳市第二中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题

邵阳市二中2024年高三（5月）模拟考试数学试卷 满分：150 时间120min 命题：高三备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 若数列满足，，则其前2023项和为（ ） A. 1360 B. 1358 C. 1350 D. 1348 3. 已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 邵阳市二中高一、高二、高三年级的优秀团员各两名站成一排拍照，恰有一个年级的团员相邻的站法有（ ） A. 144种 B. 240种 C. 288种 D. 336种 6. 某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，与其中一条渐近线交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ） A. 当直线 的斜率为1时， B. 若，则直线的斜率为2 C. 存在直线 使得 D. 若，则直线 的倾斜角为 11. 已知非零函数及其导函数的定义域均为，函数和均为奇函数，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ， ，则______. 13. 已知数列与均为等差数列，且，则______. 14. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，若点为的费马点，，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 古楼雪峰茶，产于洞口县古楼，1991年被评为湖南省名茶.其中雪峰茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某雪峰茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为，，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至多有两道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的雪峰茶为特级雪峰茶，恰有两道工序加工合格的雪峰茶为一级雪峰茶，恰有一道工序加工合格的雪峰茶为二级雪峰茶，其余的为不合格雪峰茶. （1）在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率； （2）每盒雪峰茶原材料及制作成本为20元，其中特级雪峰茶、一级雪峰茶、二级雪峰茶的出厂价分别为100元，70元，50元，而不合格雪峰茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒雪峰茶的利润为元，求随机变量的分布列及数学期望. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，.，分别为，的中点.. （1）若.求证：平面平面； （2）若，.求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数 （1）若，求的单调区间. （2）若对，恒成立，求实数的取值范围 18. 在平面中，，.为平面内一动点，且直线与的斜率乘积为，动点在平面的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程 （2）若为直线上任意一点，直线，分别交曲线为、.在直线上存在一点，且.问：在平面内是否存在一点，使得为定值？若存在，求出定值.若不存在，请说明理由. 19. 高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题： （1）求复数，的模和辐角主值（用表示）； （2）设，，若存在满足，那么这样的有多少个？ （3）求和： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市二中2024年高三（5月）模拟考试数学试卷 满分：150 时间120min 命题：高三备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案. 【详解】， 故. 故选：D. 2. 若数列满足，，则其前2023项和为（ ） A. 1360 B. 1358 C. 1350 D. 1348 【答案】C 【解析】 【分析】根据使用分组求和即可. 【详解】∵，， ∴ ， 故选:C. 3. 已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线所成角及余弦定理即可求解. 【详解】如图，连接，则， 正四棱柱的体积为， 则，则， 则为异面直线与所成角， 则，， 故. 故选：D 4. 已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 5. 邵阳市二中高一、高二、高三年级的优秀团员各两名站成一排拍照，恰有一个年级的团员相邻的站法有（ ） A. 144种 B. 240种 C. 288种 D. 336种 【答案】C 【解析】 【分析】将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6，选一个年级相邻，分类讨论这个年级分别站在1，2号、2，3号、4，5号、5，6号和3，4号的情况，利用分类加法计数原理即可得解. 【详解】将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6， 当恰有一个年级站在1，2号， 则再选一个年级站在3，5号，另外一个年级站在4，6号即可， 且每个年级中的两人可以交换位置，从而有种站法； 当恰有一个年级站在2，3号、4，5号或5，6号时，情况同前面一样， 从而共有种站法； 当恰有一个年级站在3，4号，则从余下的两个年级中各任选一人站在1，2号即可， 从而有种站法． 综上可知，总站法有（种）． 故选：C． 6. 某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析求得以及，然后将正确数据代入，即可求得样本中心点，代入回归直线即可得到结果. 【详解】由题意可得，即修正前的样本中心点为， 假设甲输入的为， 则，则， 且，则， 则改为正确数据后，则，， 所以修正后的样本中心点为， 将点代入回归直线方程可得，解得. 故选：A. 7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 则切线方程为，整理得， 又因为切线过点，则， 设，函数定义域是， 则直线与曲线有两个不同的交点， 则， 当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于或时，趋近于， 结合图象可知； 综上所述：. 故选：B. 8. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，与其中一条渐近线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得∥，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，由余弦定理可得，从而可求解. 【详解】因为，则∥，且，， 设，则， 又因为平分，则， 可得，， 由双曲线定义可知，， 可得，且， 因为，则， 可得， 即，化简得， 不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由可得∥，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，再结合余弦定理分析求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系式，结合角的变换公式，即可求解. 【详解】A.由，则，，故A正确； B. 由，则，，故B错误； C.，， ，故C正确； D.由，则，故D正确. 故选：ACD 10. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ） A. 当直线 的斜率为1时， B. 若，则直线的斜率为2 C. 存在直线 使得 D. 若，则直线 的倾斜角为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可. 【详解】易知，可设，设， 与抛物线方程联立得， 则， 对于A项，当直线 的斜率为1时，此时， 由抛物线定义可知，故A正确； 易知是直角三角形，若， 则， 又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误； 由上可知 ， 即，故C错误； 若， 又知，所以， 则，即直线 的倾斜角为 ，故D正确. 故选：AD 11. 已知非零函数及其导函数的定义域均为，函数和均为奇函数，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A：由题意可得：，求导，结合偶函数的定义分析判断；对于C：分析可知2为的周期，且，结合周期性分析求解；对于BD：分析可知2为的周期，，结合周期性分析判断. 【详解】由题意可知：函数及其导函数的定义域均为， 对于选项A：因为为奇函数，则， 两边同时求导可得，即， 所以函数为偶函数，故A正确； 对于选项C：因为为奇函数，则， 令，可得，即， 又因为函数为偶函数，则 即，可得， 可知2为的周期， 由，可得， 则， 令，可知； 令，可得，即； 综上所述：， 且，所以，故C正确； 对于选项BD：因为，则， 又因为，则， 令，则，即， 可得，即， 则，即， 则，则， 可知2为的周期， 对于， 令，可得，则，即； 可得， 令，可得，则， 令，可得，则， 综上所述：， 所以，，故B正确，D错误； 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ， ，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数不等式求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可得. 【详解】若，则，解得， 所以； 若，则，解得， 所以； 所以. 故答案为：. 13. 已知数列与均为等差数列，且，则______. 【答案】1012 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式的性质可设，结合题意可得，，进而可得结果. 【详解】因为数列与均为等差数列， 可设，则， 可知，即，则， 则，解得，即， 所以. 故答案为：1012. 14. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，若点为的费马点，，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得,设，求得，利用余弦定理得到，，，由，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则，整理得， 由正弦定理得， 则，且，则，所以，可得， 又由点为的费马点，可得, 设， 由，可得， 由余弦定理得 ， ， 因为，即， 可得，且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为，则，解得或（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 古楼雪峰茶，产于洞口县古楼，1991年被评为湖南省名茶.其中雪峰茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某雪峰茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为，，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至多有两道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的雪峰茶为特级雪峰茶，恰有两道工序加工合格的雪峰茶为一级雪峰茶，恰有一道工序加工合格的雪峰茶为二级雪峰茶，其余的为不合格雪峰茶. （1）在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率； （2）每盒雪峰茶原材料及制作成本为20元，其中特级雪峰茶、一级雪峰茶、二级雪峰茶的出厂价分别为100元，70元，50元，而不合格雪峰茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒雪峰茶的利润为元，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）随机变量的分布列为： 故随机变量的数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式求解即得. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 因为三道工序至多有两道工序合格的概率为， 所以三道工序都合格的概率为， 即，解得. 记杀青、揉捻、干燥这三道工序加工合格分别为事件， 这三道工序加工中恰有两道工序合格记为事件， 则, ， 所以. 所以在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为. 【小问2详解】 由题意可知随机变量的所有可能取值为, ， ， ， ， 则随机变量的分布列为： 故随机变量的数学期望为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，.，分别为，的中点.. （1）若.求证：平面平面； （2）若，.求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接， 由题意可知：，可知 且为的中点，则，即， 若，即，可知为中点，则， 因为，，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 且，平面，可得平面， 又因为分别为的中点，则∥，即∥， 且底面是平行四边形，则∥，可知∥， 则四点共面，可知平面即为平面， 由平面，可得平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据线面垂直可证平面，平面，即可得结果； （2）分析可知平面，建系，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：平面，且平面，则， 若，则，可知， 且，平面，则平面， 如图，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 若，即，可知， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数 （1）若，求的单调区间. （2）若对，恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导函数的符号判断原函数的单调区间； （2）分析可知原题意等价于对，恒成立，构建，利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 若，则的定义域为， 且， 令，解得；令，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，则， 所以原题意等价于对，恒成立， 构建， 则， 令，则对恒成立， 可知在内单调递增，且， 可知在内存在唯一零点， 当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 且，可得， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 18. 在平面中，，.为平面内一动点，且直线与的斜率乘积为，动点在平面的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程 （2）若为直线上任意一点，直线，分别交曲线为、.在直线上存在一点，且.问：在平面内是否存在一点，使得为定值？若存在，求出定值.若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在点为，定值 【解析】 【分析】（1）设，根据题意结合斜率公式运算求解即可； （2）设，分析可知，，设直线，联立方程结合韦达定理分析可知直线过定点，结合圆的性质分析求解. 【小问1详解】 设，则， 由题意可得，整理得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设，则，可知， 由（1）可知：，可得， 显然直线的斜率不为0，设直线， 联立方程，消去x得， 则，可得， 因为， 整理可得， 则， 且，则， 可得，整理可得， 可知直线过定点（在椭圆内）， 此时直线必与椭圆相交，满足题意， 又因为，可知点在以为直径的圆上，即圆心，半径， 所以存在点为圆心，定值. 【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略 （1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在． （2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； ③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况． 19. 高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题： （1）求复数，的模和辐角主值（用表示）； （2）设，，若存在满足，那么这样的有多少个？ （3）求和： 【答案】（1），； （2）506； （3）1017. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用复数模及辐角主值的定义，结合三角变换求解即得. （2）利用给定定理，结合诱导公式计算，再借助正余弦函数的周期性求解即得. （3）令，利用等比数列及错位相减法求出，再利用复数相等即可得解. 【小问1详解】 由复数，， ， 得； 而，则，， 又，，所以. 【小问2详解】 由， 因此，则， 则，解得，而，， 即，于是，显然符合条件的有506个， 所以这样的有506个. 【小问3详解】 令，而，则， 令， 则， 两边同乘，得， 两式相减得 ，因此， ， 因此，所以. 【点睛】关键点点睛：求出的关键是，令，利用错位相减法求出的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $