精品解析：山东省滨州市阳信县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

2023—2024学年度第二学期期中学习力调研 七年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共7页．满分为120分．考试用时120分钟．考试结束后，只上交答题卡． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔填涂相应位置． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数、、、0、、、3.1415、中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数定义：无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：实数、、、0、、、3.1415、中， 无理数有、、、共4个， 故选：C． 2. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的判定方法分别分析得出答案． 【详解】解：A、当∠C=∠3时，DE∥AC，故不符合题意； B、当∠1+∠4=180°时，DE∥AC，故不符合题意； C、当∠1=∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意； D、当∠1+∠2=180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键． 3. 下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，实数的大小比较，实数的性质，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；        B、，故该选项不正确，不符合题意；        C、，故该选项正确，符合题意；        D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 点在x轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在x轴上的点纵坐标为0求出m的值，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了在x轴上点的坐标特点，熟知在x轴上的点纵坐标为0是解题的关键． 5. 如图，已知，，所以，，三点共线，其理由是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条 D 线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，牢记“在同一平面内”是垂线的性质的前提是解题关键．根据在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可得答案． 【详解】解：，，，所以与重合，其理由是在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：B． 6. 下列说法正确的个数是( ) ①平方根与立方根相等的数有1和0； ②存在绝对值最小的实数； ③点一定在第四象限； ④两个无理数的和是无理数； ⑤在数轴上与原点距离等于的点之间有无数多个点表示无理数； ⑥若点的坐标满足，则点A落在原点上； ⑦实数与数轴上的点一一对应； ⑧是无理数． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数的运算，平方根，立方根，无理数，实数与数轴，点的坐标，逐一判断即可解答． 【详解】解：平方根与立方根相等的数只有，故不正确； 存在绝对值最小的实数，是，故正确； 点一定不在第四象限，故不正确； 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，例如：，，故不正确； 在数轴上与原点距离等于的点之间有无数多个点表示无理数，故正确； 若点的坐标满足，则点落在坐标轴上，故不正确； 实数与数轴上的点一一对应，故正确； 是无理数，故正确； 所以，上列说法正确的个数是个， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，立方根，无理数，实数与数轴，点的坐标，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 7. 如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 65° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质得∠BFE=∠B' FE，再由平行线的性质可求得∠BFE= 50°，从而得解． 【详解】解：由折叠得：∠BFE=∠B'FE， ∵四边形ABCD是长方形 ∴AD//BC， ∴∠AEF +∠BFE= 180°， ∵∠AEF= 130°， ∴∠BFE= 50°， ∴∠B' FE= 50°， ∴∠B' FC= 180°－∠BFE－∠B' FE=80°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 8. 中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，则下列结论中正确的有（ ） ①双扭线围成的面积小于6； ②双扭线内部（包含边界）包含11个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）； ③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3； ④假设点为双扭线上的一个点，，为双扭线与轴的交点（如图所示），则满足的点有4个． A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由题得，点A、B、P、Q、M、N都在双扭线上，计算的面积，观察图形，即可判断各个结论． 【详解】解：如图，连接， 得，， ∴双扭线围成的面积大于6，故①不正确； 由图得，双扭线内部包含4个整数点， 边界上有7个整数点， 共11个，故②正确； 由图得，点A、B与原点距离最大为3，故③正确； 设的高为h， ∵，且， ∴， 由图得，点P、Q、M、N均满足题意，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了在坐标系中判断点的位置，合理的推断及计算是解题关键． 第II 卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式是_____，它是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】 ①. 如果有两个角是同位角，那么这两个角相等 ②. 假 【解析】 【分析】命题可以写成“如果…那么…”形式，“如果”的后接部分是题设，“那么”的后接部分是结论．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，能推出结论的是真命题，反之就是假命题，据此进一步得出答案即可． 【详解】把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”形式是“如果有两个角是同位角，那么这两个角相等”， ∵当两直线不平行时，此时的同位角是不相等的， ∴它是假命题， 故答案为：如果有两个角是同位角，那么这两个角相等；假． 【点睛】本题主要考查了真假命题的判断，熟练掌握相关概念是解题关键. 10. 写出一个比大且比小的整数是___________． 【答案】2或3 【解析】 【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可． 【详解】∵ ， ∴ 即比大且比小的整数为2或3， 故答案为：2或3 【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键． 11. 如果一个正数的两个平方根分别是与，那么这个数是__________． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个互为相反数的平方根是解题的关键．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据正数有两个平方根，且它们互为相反数，列方程求解并计算这个数即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 则， 则这个数是， 故答案为：64． 12. 已知在第四象限的点P坐标为(2−a，3a+6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是________． 【答案】（6，-6） 【解析】 【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数解答即可． 【详解】解：∵点P的坐标为（2-a，3a+6），点P在第四象限且点P到两坐标轴的距离相等， ∴2-a+3a+6=0， 解得：a=-4， 故点P的坐标是：（6，-6）， 故答案为：（6，-6）． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 13. 如图，线段OB，OC，OA的长度分别是1，2，3，且OC平分∠AOB. 若将A点表示为(3，30°)，B点表示为(1，120°)，则C点可表示为______________. 【答案】(2，75°) 【解析】 【详解】∵线段OB、OC、OA的长度分别是1、2、3，且OC平分∠AOB．若将A点表示为（3，30°），B点表示为（1，120°）， ∴∠AOB=90°，∠AOC=45°， 则C点可表示为（2，75°）． 故答案为（2，75°）． 14. 如图，将周长为20个单位的沿边向右平移3个单位得到，则四边形的周长为__________． 【答案】26 【解析】 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知， ∵的周长为20， ∴， ∴的周长， 故答案为：26． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟知平移只改变位置不改变形状和大小是解题的关键． 15. 已知点，它与点在同一条平行于x轴的直线上，且，那么点N的坐标是_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，可得，再分两种情况：点N在点M右侧时和左侧讨论，即可求解． 【详解】∵点，它与点在同一条平行于x轴的直线上， ∴， ∵， ∴当点N在点M右侧时，， 此时，点N的坐标是； 当点N在点M左侧时，， 此时，点N的坐标是； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． 16. 有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意给出的规律即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，每个分式的符号规律为一负一正 分子的规律： 分母的规律：2， 4， 8， 16， 32， 64，… 即为： 第10个数是： 故答案为： 【点睛】本题考查了实数规律探索问题，解决本题的关键是否能根据题意找出规律，解决本题的难点在于是否能将转化为． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算及乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）先计算乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式乘法去掉括号，求绝对值，再根据二次根式加减法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. （1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握立方根，以及平方根的概念是解本题的关键． （1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程变形后，利用立方根定义开方即可求出解． 【详解】解：（1） 或 或； （2） ． 19. 在学习完七年级下册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． （1）观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角． 问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确． 聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程． 证明： 如图1所示，，，是的三个内角， 过点A作 ∵（已知） ∴（理由： ① ） ∵（理由： ② ）， ∴（理由： ③ ） （2）拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角的作用． 对于问题1，小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知 是的三个内角， 延长到E， 过点B作．请你按照小亮同学的解答思路证明 ． （3）由（1）和（2），你能得出什么结论？ 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②平角的定义；③等量代换 （2）见解析 （3）三角形内角和为 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质进行解答即可； （2）根据平行线的性质，进行证明即可； （3）由（1）（2）中的结论，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图1所示，，，是的三个内角，过点A作． ∵（已知） ，（理由：两直线平行，内错角相等） （平角的定义）， （理由：等量代换）． 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：由（1）（2）中的结论可知，三角形内角和为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，将三角形平移，得到三角形，使三角形中任意一点，经平移后对应点为，点，，的对应点分别为． （1）点的坐标为 ；点的坐标为 ． （2）①画出三角形； ②求出三角形的面积． 【答案】（1）， （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的平移问题，画平移图形，坐标系中的面积计算． （1）根据平移规律，横坐标减去6，纵坐标加上2，依次计算即可； （2）①根据画图形即可；②运用割补法计算面积即可． 【小问1详解】 解：∵任意一点，经平移后对应点为， ∴平移后的坐标依次为：， 故， 画图如下： 【小问2详解】 根据题意，． 21. 如图，点A在∠O的一边OA上．按要求画图并填空： （1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C；过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D． （2）∠CDB=________°； （3）如果OA=8，AB=6，OB=10，则点A到直线OB的距离为________． 【答案】（1）见解析；（2）90；（3）4.8 【解析】 【分析】（1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C；过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D； （2）利用两直线平行同位角相等即可确定答案； （3）利用等积法即可求得线段AC的长. 【详解】解：（1）如图,   （2）∵CD∥OA， ∴∠CDB=∠OAB=90°； （3）AC==4.8． 【点睛】本题考查了基本作图的知识，正确的根据题意作出图形是解答本题的关键，难度不大. 22. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． （1）若，那么______； （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，，请直接写出结果． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，结合计算即可． （2）根据（1）的求解证明即可． （3）分类计算即可． 【小问1详解】 ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 与的数量关系为．理由如下： ∵, ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图，∵，， ∴ ∴． 如图，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故得度数为或． 【点睛】本题考查了互余的计算，互补的证明，平行线的性质，分类思想，熟练掌握互余的计算，互补的证明，平行线的性质是解题的关键． 23. 教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为2． 【基础尝试】 （）发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； 【画图探究】 （）如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为________； 【问题解决】 （）如图，网格是由个边长为的小方格组成． 画出面积是的正方形，使它的顶点在网络的格点上； 请借鉴（）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】（1）；（2）；（3）见解析，见解析． 【解析】 【分析】（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （）依据图中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为； （）先根据大正方形的面积为，可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上找到表示的点即可； 此题考查了无理数与数轴上的点的对应关系，解题的关键是借助于作直角三角形，利用勾股定理得斜边或直角边． 【详解】解：（）∵面积为的大正方形就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形面积的算术平方根，即 故答案：； （）如图，小正方形的对角线长为， ∴原点与之间的距离为， ∴点表示的数为， 故答案为：； （）∵大正方形的面积是， ∴小正方形的对角线长为， 则作图如下图： 如图点就是的位置． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A，B的对应点C，D．连接、． （1）求C，D两点的坐标． （2）如图2，P是线段上的一个动点，Q是线段的中点，连接，．当点P在线段上移动时(点P不与点A、C重合)，请找出，、之间的数量关系，并证明你的结论． （3）在坐标轴上是否存在点M使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2），证明见解析 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质即可求得a、b的值； （2）结论：，过点P作，再根据平行线的性质证明即可； （3）分两种情形分别讨论，当点M在y轴上，设，由题意：；当点M在x轴上时，设，由题意：，分别解方程即可求得M坐标． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴，， ∴，， 又∵点A，B分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A，B的对应点C，D， ∴，； 【小问2详解】 结论：； 过点P作， 由平移的性质可知：， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 当点M 在y轴上，设， 由题意：，解得或， ∴或． 当点M在x轴上时，设， 由题意：，解得或， ∴或． 综上所述，满足M点的坐标为或或或． 【点睛】主要考查了平行四边形动点问题和分类讨论思想，解题关键是添加常用辅助线构造平行线解决问题和分类讨论当点M在x轴上和y轴上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期中学习力调研 七年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共7页．满分为120分．考试用时120分钟．考试结束后，只上交答题卡． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔填涂相应位置． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数、、、0、、、3.1415、中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 点在x轴上，则点P的坐标为（ ） A B. C. D. 5. 如图，已知，，所以，，三点共线，其理由是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条 D. 线段最短 6. 下列说法正确的个数是( ) ①平方根与立方根相等的数有1和0； ②存在绝对值最小的实数； ③点一定在第四象限； ④两个无理数的和是无理数； ⑤在数轴上与原点距离等于的点之间有无数多个点表示无理数； ⑥若点坐标满足，则点A落在原点上； ⑦实数与数轴上的点一一对应； ⑧是无理数． A. B. C. D. 7. 如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 65° D. 50° 8. 中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，则下列结论中正确的有（ ） ①双扭线围成的面积小于6； ②双扭线内部（包含边界）包含11个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）； ③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3； ④假设点为双扭线上的一个点，，为双扭线与轴的交点（如图所示），则满足的点有4个． A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 第II 卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式是_____，它是_____命题．（填“真”或“假”） 10. 写出一个比大且比小的整数是___________． 11. 如果一个正数两个平方根分别是与，那么这个数是__________． 12. 已知在第四象限的点P坐标为(2−a，3a+6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是________． 13. 如图，线段OB，OC，OA的长度分别是1，2，3，且OC平分∠AOB. 若将A点表示为(3，30°)，B点表示为(1，120°)，则C点可表示为______________. 14. 如图，将周长为20个单位的沿边向右平移3个单位得到，则四边形的周长为__________． 15. 已知点，它与点在同一条平行于x轴的直线上，且，那么点N的坐标是_______． 16. 有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. （1）解方程： （2）解方程： 19. 在学习完七年级下册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． （1）观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角． 问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确． 聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程． 证明： 如图1所示，，，是的三个内角， 过点A作 ∵（已知） ∴（理由： ① ） ∵（理由： ② ）， ∴（理由： ③ ） （2）拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角的作用． 对于问题1，小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知 是的三个内角， 延长到E， 过点B作．请你按照小亮同学的解答思路证明 ． （3）由（1）和（2），你能得出什么结论？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，将三角形平移，得到三角形，使三角形中任意一点，经平移后对应点为，点，，的对应点分别为． （1）点的坐标为 ；点的坐标为 ． （2）①画出三角形； ②求出三角形的面积． 21. 如图，点A在∠O的一边OA上．按要求画图并填空： （1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C；过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D． （2）∠CDB=________°； （3）如果OA=8，AB=6，OB=10，则点A到直线OB的距离为________． 22. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． （1）若，那么______； （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，，请直接写出结果． 23. 教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边中点，，，，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为2． 【基础尝试】 （）发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； 【画图探究】 （）如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为________； 【问题解决】 （）如图，网格是由个边长为的小方格组成． 画出面积是的正方形，使它的顶点在网络的格点上； 请借鉴（）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A，B的对应点C，D．连接、． （1）求C，D两点的坐标． （2）如图2，P是线段上的一个动点，Q是线段的中点，连接，．当点P在线段上移动时(点P不与点A、C重合)，请找出，、之间的数量关系，并证明你的结论． （3）在坐标轴上是否存在点M使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$