精品解析：河南省许昌市魏都区许昌高级中学2024届高三下学期5月月考数学试题

2023-2024学年高三下学期5月测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，列出方程求解即可． 【详解】由得，，即，解得， 故选：B． 2. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 当时，的最小值为 B. 在区间上单调递增 C. 的最小正周期为 D. 的图象关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数图象得到函数解析式，A选项，整体法求解函数的值域；B选项，整体法求解函数单调性；C选项，利用得到C正确；D选项，代入得到，D正确. 【详解】由图可知，， 又因为，所以，所以， 所以，即． 对于A：当，，∴，A错误； 对于B：，， 由于在上单调递增，在上单调递减， 所以在上先增后减，B错误； 对于C：的最小正周期为，C错误； 对于D：当时，，故， 所以的图象关于直线对称，D正确， 故选：D． 3. 已知点集，且，，点O是坐标原点，其中正确结论的个数有（ ） ①点集M表示的图形关于x轴对称 ②存在点P和点Q，使得 ③若直线经过点，则的最小值为2 ④若直线经过点，且 的面积为，则直线的方程为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据点也满足关系式即可求解①，化简等量可得，即可根据等轴双曲线的性质求解②,根据通径为经过焦点的弦中最短即可求解③，联立方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式，又面积公式求解，即可求④. 【详解】若满足，则代入可得，因此是 中的元素，①正确， 由可得，故， 因此 表示焦点在轴上的双曲线的右支，此双曲线是由等轴双曲线向左平移1一个单位长度得到，故该双曲线的渐近线方程为，由于两渐近线互相垂直，而为该双曲线的中心，故,故不存在存在点P和点Q，使得，②错误， 由于 表示的双曲线的焦点为，若直线经过点，则的最小值为通径，故③正确， ④若直线经过点，设直线方程为， 联立与双曲线方程可得， 由于，结合渐近线斜率为 ，故， 设,则， 则， 又 到直线的距离为，所以 的面积为,考虑到，解得，（舍去），则直线的方程为，故④正确 故选：C 4. 已知函数，若关于x的方程的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程因式分解得，所以或，根据函数的草图，判断的解的个数，从而确定解的个数，可得的取值范围. 【详解】当时，，由此可知在单调递减， 且当时，，在上单调递增，； 当时，在单调递增，在上单调递减， ，如图所示． 得，即或， 由与有两个交点，则必有四个零点， 即，得. 故选：C 5. 设点分别为椭圆的左、右焦点，点 是椭圆上任意一点，若使得成立的点 恰好有4个，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设 ，表示向量 ，由条件可得，，结合对称性列不等式，求的范围，由此可得结论.. 【详解】因为点分别为椭圆的左、右焦点； 所以 ， 设 则， 由可得， 又因为 在椭圆上，即， 所以， 由对称性可得，要使得成立的点恰好是个，则 解得， 所以的值可以是. 故选：B. 6. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有 A. 360种 B. 300种 C. 150种 D. 125种 【答案】C 【解析】 【分析】先把 名学生分成 组，再分配到 个社区即可求得结果． 【详解】 名学生分成 组，每组至少人，有和两种情况 ①：分组共有种分法；再分配到 个社区：种 ②：分组共有种分法；再分配到 个社区：种 综上所述：共有种安排方式 本题正确选项： 【点睛】本题考查排列组合中的平均分组问题，易错点在于对学生进行分组时，忽略了有两组平均分组，造成重复．处理平均分组问题的方法是：组均分时，分组选人后除以． 7. 已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可. 【详解】当时，，所以在上单调递增； 又有为上的偶函数，所以在上单调递减. 由于我们有， 即，故. 而，，，故. 故选：C. 8. 已知第一象限内的点P在双曲线（， ）上，点P关于原点的对称点为Q，，，是C的左、右焦点，点M是的内心（内切圆圆心），M在x轴上的射影为，记直线的斜率分别为，，且，则C的离心率为（ ） A. 2 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线性质和双曲线定义求得，然后由斜率公式和点P在双曲线上整理化简，结合已知求解可得. 【详解】设圆M与，分别切于点A，B，则，， 且 ， 所以，点， 设，，则， 所以，， ， 所以，. 故选：A． 【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线的离心率求解问题.解决圆锥曲线的离心率问题，一般离不开圆锥曲线的定义，如果有角的条件，则常常要用到正余弦定理，如果有三角形的内切圆条件，一般与切线性质或三角形的等面积转化有关，遇到线段的比值时，经常需要利用相似形转化. 二.多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 D. 在上仅有1个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期，，． 对于 ，当时，， 因为在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，因为， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度得到： ，故C错误； 对于D，当时，，仅当，即时，， 即在上仅有1个零点，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知抛物线焦点为，过点（不与点重合）的直线交于 两点， 为坐标原点，直线分别交于两点， ，则（ ） A. B. 直线过定点 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线与抛物线联立可得抛物线交点坐标，由可得 ，从而求得的值，即可判断A；设直线，与抛物线联立可得交点坐标关系，从而可确定直线所过的顶点，即可判断B；根据坐标关系求解，结合基本不等式得求得最值，即可判断C；根据坐标运算可得，结合基本不等式的最值，即可判断D. 【详解】设直线与抛物线联立可得：， 设，则， 因为，所以，解 ，故A正确； 由A可知，，设直线，与抛物线联立可得，， 设，所以，同理可得，所以, 直线，即，所以直线过定点，故B错误； ，故C正确； ， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为,； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意 的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 11. 在平面直角坐标系xOy中， 为曲线上任意一点，则（ ） A. E与曲线有4个公共点 B. P点不可能在圆外 C. 满足且的点P有5个 D. P到x轴的最大距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】联立方程与即可判断A；利用基本不等式即可判断B；结合B选项即可判断C；由得，设，，则关于m的方程有非负实根，设，利用导数即可判断D. 【详解】联立方程与，解得或， 所以E与曲线有2个公共点，A错误； 由，得， 当且仅当时，取等号，故B正确； 由B知，故满足且的点P仅有与 ，共有3个，故C错误； 由得，设，， 则关于m的方程有非负实根， 设，，显然在上单调递增， 由，得，则，解得，即， 所以，且等号可取到，D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式得出是判断BC的关键. 三.填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的坐标表示得到，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可求出其范围. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 故答案为： 13. 已知圆和抛物线，F为抛物线C的焦点，若圆M与抛物线C在公共点P处有相同的切线l，且直线l的纵截距为则实数p的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设切点，求导得到切线方程，根据纵截距为-3得到，根据圆的切线的性质得到，最后解方程得到. 【详解】，设切点，则切线， 由已知得①，②， 将①代入②有， . 故答案为：2. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】引入参数，结合双曲线定义、正弦定理表示出，，，，，在中由余弦定理可得，在中，运用余弦定理可得出，结合离心率公式即可得解. 【详解】 在中，设，由正弦定理得，则， 所以由双曲线的定义可知，， 故， 在中，，解得， 所以在中，，，， 又，解得， 所以离心率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于适当引入参数，结合已知得出参数与的关系，进而结合离心率公式即可得解. 四.解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），无极小值. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值； （2）参变分离可得对任意恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即，无极小值. 【小问2详解】 若对任意，都有成立， 即对任意恒成立， 令，， 则， 令，，则， 所以在上单调递增，所以，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，底面 是边长为4的正方形，平面.点在侧棱上（端点除外），平面交于点. （1）求证：四边形为直角梯形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为平面平面，则平面. 因为平面，平面平面，则. 又，所以四边形为梯形. 因为平面 平面 ，则， 又平面，所以平面. 又 平面，则 ，所以四边形为直角梯形. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理和判定定理证明，再由线面垂直的性质定理和判定定理证明 ，即可证明四边形为直角梯形； （2）解法一：以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面和直线的方向向量，由线面角的向量公式求解即可；解法二：作，垂足为 ，由面面垂直的判定定理证得平面，连接，则为直线与平面所成的角，在Rt中，求出，由，代入求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：以为原点，向量的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则， . 因为，则. 设为平面的法向量，则即 取，则，所以. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：因为平面，平面，则平面平面. 平面平面，作，垂足为 ， 平面，则平面. 连接，则为直线与平面所成的角. 在Rt中，因为，则. 因为，则. 在 中，因为， 由余弦定理，得，则. 由，得，则. 因为，所以， 则. 在Rt中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为 17. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败. （1）当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望； （2）当 时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率. 【答案】（1）的分布列为： 4 3 2 ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可； （2）根据超几何分布分类讨论计算即可. 【小问1详解】 当时，第一轮答题后累计得分所有取值为4，3，2， 根据题意可知：，，， 所以第一轮答题后累计得分的分布列为： 4 3 2 所以. 【小问2详解】 当 时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A， 此时情况有2种，分别为： 情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分； 情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得分的有1轮，第5.6轮都得1分； 所以. 18. 已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）若，，点A在第二象限，求直线的斜率； （3）若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）把点代入方程列方程组求解即可； （2）①设直线方程为，代入椭圆E的方程可得，结合判别式与韦达定理，由，求出直线斜率即可； ②由,可知，代入，， 可得或，利用判别式求解的取值范围. 【小问1详解】 因为，两点在椭圆上， 所以 解得，. 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，，设， 联立，得， 即， ，，. 由得，则，则. 由得：， 即， 代入得，，， 解得：，，. 故直线的斜率为. 【小问3详解】 由,可知， 即， 即， 即， 代入，， 得， 即，故， 故或. 当时，直线过，此时点重合，与条件矛盾，舍去. 当时，直线过定点，点在线段上运动， 当时，由，所以，即 从而直线的斜率的取值范围为. 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，转化等价条件，利用判别式和韦达定理，向量的共线问题求解，求解参数的范围. 19. 已知函数 ． （1）判断并证明的零点个数 （2）记在上的零点为，求证; （i）是一个递减数列 （ii） ． 【答案】（1）当为奇数数，有1个零点；当为偶数时，有2个零点. 证明如下： 当时，由 ，得 ， 所以函数 在上单调递增，又 ， ， 所以函数 在内有唯一零点； 当时， ， 若为奇数， ，则 ，此时 在 内无零点； 若为偶数，设， 则，方程 有一个解， 所以函数在 上单调递减，在 上单调递增， 且 ，此时 在 内有1个零点. 综上，当为奇数时， 有1个零点；当为偶数时， 有2个零点. （2）（i）证明：由（1）知，当时， 在在内的零点， 当时， ， ， 则 ， 故，所以数列 是一个递减数列； （ii）由（i）知，当时，， 当时， ， 有 ，所以，求和可得 ，当且仅当时等号成立； 当时， ， 故 ，则，得 ， 即 ，即，即， 即，即 ， 即，当时，， 所以当时，均有成立，求和可得 . 综上，. 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数研究函数 的零点和零点的存在性定理可知其在内有唯一零点；当时，分类讨论为奇、偶数时零点的情况，即可下结论； （2）（i）易知，当时可得 ，利用 的单调性解不等式可得，即可证明；（ii）由（i），求和可得；由 得 ，利用放缩法和函数单调性解不等式可证得，求和，结合等比数列数列前n项求和公式计算即可证明. 【小问1详解】 当为奇数时， 有1个零点；当为偶数时， 有2个零点. 证明略. 【小问2详解】 （i）略. （ii）略. 【点睛】方法点睛：在证明导数与数列不等式综合问题时，常常将上一问的结论直接应用到证明当中去，再综合考虑不等式特征合理选取方法巧妙放缩求和，即可实现问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高三下学期5月测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 当时，的最小值为 B. 在区间上单调递增 C. 的最小正周期为 D. 的图象关于直线对称 3. 已知点集，且，，点O是坐标原点，其中正确结论的个数有（ ） ①点集M表示的图形关于x轴对称 ②存在点P和点Q，使得 ③若直线经过点，则的最小值为2 ④若直线经过点，且 的面积为，则直线的方程为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知函数，若关于x的方程的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 5. 设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 6. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有 A. 360种 B. 300种 C. 150种 D. 125种 7. 已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知第一象限内的点P在双曲线（， ）上，点P关于原点的对称点为Q，，，是C的左、右焦点，点M是的内心（内切圆圆心），M在x轴上的射影为，记直线的斜率分别为，，且，则C的离心率为（ ） A. 2 B. 8 C. D. 二.多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 D. 在上仅有1个零点 10. 已知抛物线焦点为，过点（不与点重合）的直线交于 两点，为坐标原点，直线分别交于两点，，则（ ） A. B. 直线过定点 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 在平面直角坐标系xOy中，为曲线上任意一点，则（ ） A. E与曲线有4个公共点 B. P点不可能在圆外 C. 满足且的点P有5个 D. P到x轴的最大距离为 三.填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则的取值范围为______． 13. 已知圆和抛物线，F为抛物线C的焦点，若圆M与抛物线C在公共点P处有相同的切线l，且直线l的纵截距为则实数p的值为______． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______． 四.解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面.点在侧棱上（端点除外），平面交于点. （1）求证：四边形为直角梯形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败. （1）当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望； （2）当 时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率. 18. 已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）若，，点A在第二象限，求直线的斜率； （3）若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围. 19. 已知函数 ． （1）判断并证明的零点个数 （2）记在上的零点为，求证; （i）是一个递减数列 （ii） ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $