精品解析：2024年河南省信阳市商城县中考二模数学试题

2024年河南省信阳市商城县二模数学试卷 一．选择题(共30分) 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：，，0是有理数； 是无理数． 故选：B． 【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 2. 2024年两会这份数据，振奋人心！中国2023年GDP超126万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，连续多年保持世界第二大商品消费市场，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据126万亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据126万亿元用科学记数法表示为元． 故选：D． 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，根据相关运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A，，不合题意； B，与不是同类项，不能合并，不合题意； C，，不合题意； D，，符合题意； 故选D． 4. 下列图形中不是正方体的表面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图，逐个分析即可求解． 【详解】解：依题意， 不能拼成正方体， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、端是对面，间二、拐角邻面知． 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】直接把方程解出来或者计算根的判别式即可得到解答． 【详解】解：原方程可以变形为： x(x-2)=0， ∴x=0或x-2=0， 即x=0或x=2， ∴原方程的根为x=0或x=2， 故选B ． 【点睛】本题考查一元二次方程根情况的判断，熟练掌握根判别式的计算和应用、简单一元二次方程的求解是解题关键． 6. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：． 7. 如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． 如图所示，连接，得到，由是直径，得到，在根据直角三角形两锐角互余，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， 故选：B ． 8. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一次函数的图象经过点， ∴，则， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负． 9. 如图，在中，已知，．点C为的中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查坐标与图形，等腰三角形的性质及含30度角的性质，图形的平移，根据题意作出相应图形，然后求解是解题关键． 根据等腰三角形和含的直角三角形的性质得点的坐标为，作轴于点，则，所以，所以，可知将是向右平移了2个单位长度，根据平移法则即可求出答案． 【详解】解：，，点为的中点， ，， ， ， ，， 点的坐标为， 将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点，如图，作轴于点， ， ， ， 将是向右平移了2个单位长度， 点的对应点的坐标为． 故选：B． 10. 如图1，在矩形中，为的中点，是线段上的一动点．设，图2是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象右端点的横坐标为，得出，从而求得，，，作点M关于的对称点E，连接交于N，连接交于O，连接，得，根据两点之间，线段最短，得到此时y最小，最小值为的长度，通过证明，求出，，过点E作于F，利用勾股定理求出，，，从而求得的长度，即可求解． 【详解】解：∵图象右端点的横坐标为， ∴ ∵矩形中， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵M为的中点， ∴ 作点M关于的对称点E，连接交于N，连接交于O，连接，如图， ∴，， ∴， 根据两点之间，线段最短，得此时y最小， ∵点M关于的对称点E， ∴垂直平分， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 过点E作于F， 由勾股定理，得， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是图象上的最低点， ∴a是y的最小值， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查几何动点函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握利用轴对称求最短距离问题是解题的关键． 二、填空题 (共15分) 11. 在函数的表达式中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】根据题意得，， 解得：． 故答案为． 12. 将分别标有“我”、“最”、“爱”、“辽”、“宁”五个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这此球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“辽宁”的概率是________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，列出表格得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得． 详解】解：根据题意列出表格如下： 我 最 爱 辽 宁 我 （最，我） （爱，我） （辽，我） （宁，我） 最 （我，最） （爱，最） （辽，最） （宁，最） 爱 （我，爱） （最，爱） （辽，爱） （宁，爱） 辽 （我，辽） （最，辽） （爱，辽） （宁，辽） 宁 （我，宁） （最，宁） （爱，宁） （辽，宁） 共有20种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的有2种结果， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“山西”的概率为． 故答案为：． 13. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为，进而求出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”(包括两个顶点)有个点，记第1个图形中总的点数为，第2个图形中总的点数为，依次为，……，则的值是________． 【答案】6069 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现点的总个数依次增加3进行求解即可． 【详解】解：由所给图形可知，第1个图形中总的点数为：， 第2个图形中总的点数为：， 第3个图形中总点数为：， 所以第个图形中总的点数为：， 当时，， 故答案为：6069． 15. 如图， 在中，， ，，点E为边上一动点， 将 绕点E逆时针旋转至， 连接，．若为直角三角形， 则 的长为 _________． 【答案】5或 【解析】 【分析】如图，延长交于点，过E点作于点F，推出，证出，，然后分或两种情况进行讨论即可得解． 【详解】如图，延长交于点，过E点作于点F， ∵将绕点E逆时针旋转至， ∴, ∴,, ∵四边形为平行四形， ∴，，,， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当为直角三角形时，有或两种情况， 当时，如图所示，，， ∴在中，， ∴， ∴， 当时，如图，过C点作交的延长线于点G， ∴在中， 由旋转知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在中，， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴, 故答案为：5或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 三．解答题(共 75分) 16. （1） 计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为了解学生的课外阅读情况，学校在每班随机抽取名学生调查当天的阅读时间．七年级（1）班语文教师随机对该班抽取的名学生的课外阅读时间（分钟）进行了收集、整理和分析． [收集数据]，，，，，，，，，，，，，，，，，，， [整理数据] 阅读时间（分钟） 频数 3 4 3 a b 根据上面整理的数据，制作出扇形统计图如下图 阅读时间扇形统计图 [分析数据] 数据量 平均数 中位数 众数 方差 七年级（1）班 e f [解决问题] 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据扇形统计图，将阅读时间不低于分钟表彰为“阅读之星”，若七年级（1）有40名学生，估计全班可以被表彰为“阅读之星”的有多少名？ [数据应用] （3）七年级（2）班名调查同学的阅读时间相关信息如下： 数据量 平均数 中位数 众数 方差 七年级（2）班 根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个班的阅读水平更高一些？并给出一些合理解释． 【答案】（1），，；（2）全班可以被表彰为“阅读之星”的有名；（3）七（2）班的阅读水平更高一些． 【解析】 【分析】（1）根据给出的数据直接得出、的值，根据频率的定义以及平均数、中位数定义可得出、、的值； （2）用总人数乘以每天用于课外阅读时间不少于的学生所占的百分比即可求解； （3）根据两班的平均值、中位数和方差进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意可得，， ，， 将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 中位数， 故答案是：，，； （2）阅读不低于分钟的学生的频率为：， ， 故全班可以被表彰为“阅读之星”的有名； （3）七年级（2）班的阅读水平更高，因为两个班的阅读时间平均数虽然相同，但是七年级（2）班的阅读时间中位数高于（1）班，且（2）班阅读时间的方差小于（1）班． 【点睛】本题考查了数据的统计和分析，中位数，众数，用样本估计总体，方差的意义等知识，准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本和总体的关系是解答此题的关键． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点，与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，的长为半径作，交轴于点，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求扇形的半径及对应圆心角的度数． （3）求图中阴影部分的面积之和． 【答案】（1）； （2）扇形的半径为，圆心角的度数为； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数、反比例函数的解析式、扇形的面积等知识点． （1）利用待定系数法，将点代入反比例函数解析式即可求出反比例函数； （2）根据，由等腰直角三角形可知，过点A作轴于点P，根据，即可求出半径； （3）由即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ，解得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 对于，当时，；当时，， ， ． 如图，过点A作轴于点P． 点， ，， ， 在中，． 【小问3详解】 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B， ，解得，， 点B的坐标为， ． ， ， ． 19. 如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接． （1）求证：； （2）若⊙与相切，求的度数； （3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）作图见详解 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明； （2）根据切线的性质可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解； （3）根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出AD的垂直平分线，的角平分线，的角平分线等方法均可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵与相切， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 如下图，点就是所要作的的中点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键． 20. 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．其中是垂直于墙面的遮阳篷，表示窗户，表示直角遮阳篷．如图2，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． （1）如图3，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长． （2）如图2，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，灵活运用锐角三角函数解决问题是解题的关键． （1）由锐角三角函数可求的长； （2）由锐角三角函数可求，的长，即可求解； 【小问1详解】 解：如图3，在中， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：如图2，在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴遮阳篷的长为． 21. 春节期间，某超市推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中的一种． 活动一：所有商品按八折出售； 活动二：购物金额每满元减元． 设某顾客的购物金额为元． （1）当购物金额为元时，选择活动一需付 元，选择活动二需付 元． （2）当时，请分别写出选择活动一和活动二的实付金额(元)关于购物金额 (元)之间的表达式，并说明选择哪种活动更省钱． （3）若该顾客选择活动二后的实付金额为 元，则该顾客的购物金额为 元． 【答案】（1），； （2）活动一：；活动二：；当，即时，选择活动一更省钱；当，即时，活动一和活动二实付金额相同；当，即时，选择活动二更省钱； （3）或． 【解析】 【分析】（）根据优惠方案计算即可求解； （）根据优惠方案列出函数表达式即可； （）根据活动二对分情况讨论计算即可求解； 本题考查了一次函数的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：活动一：元； 活动二：元； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：活动一：； 活动二：； 当，即时，选择活动一更省钱； 当，即时，活动一和活动二实付金额相同； 当，即时，选择活动二更省钱； 【小问3详解】 解：当时，实付金额小于元； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，实付金额大于元； ∴该顾客选择活动二后的实付金额为 元，则该顾客的购物金额为元或元， 故答案为：或． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知，点E，F分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用x的代数式表示： 区域Ⅰ的面积＝______；区域Ⅱ的面积＝______． 任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现当且x为整数时，此时称E点为合格定位点．当区域乙的面积最小时，合格定位点E点为最佳定位点，求出最佳定位点E的坐标． 【答案】任务一：区块Ⅰ的面积：，区块Ⅱ的面积：；任务二：或；任务三： 【解析】 【分析】任务1：结合图形，根据正方形的面积性质和三角形面积公式即可求出答案． 任务2：由题意知，将区块划分两种区域的有两种情况，根据两种情况即可求出面积或者函数表达式． 任务3：由任务2可知即可求出值，从而求得最佳定位点的坐标． 【详解】解：任务 ， 区块Ⅰ的面积：． ，， ， 区块Ⅱ的面积：． 区块Ⅲ的面积：； 故答案为；． 任务2：①如图1若连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 不可能为等腰三角形， ， 为等腰三角形， ∵区块Ⅲ的面积为： ． ②如图2，连接， ． 任务 ，且开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，乙的面积有最小值，即为； 当时，则有， ∴乙的面积最小值即为25.5． 最佳定位点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键在于利用数形结合的思想分析题意，列出函数关系式． 23. 综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 如图，在矩形中， E为边上一点，将沿翻折至，使点F落在边上，G为边上一点，再将沿翻折至，使点H落在上，延长交于点K． （1）四边形的形状为 ，并给出证明； （2）猜想和的数量关系为 ，并说明理由； （3）当时，请直接写出 【答案】（1）平行四边形，理由见解析 （2）相等，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图标记，根据矩形的性质、折叠的性质得出，，进而证明，，可得四边形为平行四边形； （2）根据折叠的性质可得，，由平行四边形的性质可得，，通过导角证明，推出，等量代换可得； （3）结合（2）中证明过程通过等量代换得出，推出，进而得出，则，再结合可得结论． 【小问1详解】 解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： 如图，分别标记， 在矩形中，，， ， ， 由折叠知，，，， ，， ，， 四边形为平行四边形； 小问2详解】 解：和的数量关系为相等，理由如下： 在矩形中，， ， 由折叠的性质知，， ， 由（1）知四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 又，， ； 【小问3详解】 解：由（2）知，， 当时，， ， 又由折叠知， ， ， ， ， ， 由折叠知， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，涉及矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省信阳市商城县二模数学试卷 一．选择题(共30分) 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 2024年两会这份数据，振奋人心！中国2023年GDP超126万亿元，同比GDP增量相当于一个中等国家经济总量，连续多年保持世界第二大商品消费市场，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据126万亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 下列运算结果为是（ ） A B. C. D. 4. 下列图形中不是正方体的表面展开图的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，已知，．点C为中点，过点C作轴，垂足为D．将向右平移，当点C的对应点落在边上时，点D的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，为的中点，是线段上的一动点．设，图2是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 二、填空题 (共15分) 11. 在函数的表达式中，自变量x的取值范围是 ． 12. 将分别标有“我”、“最”、“爱”、“辽”、“宁”五个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这此球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“辽宁”的概率是________________． 13. 同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为______． 14. 如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”(包括两个顶点)有个点，记第1个图形中总的点数为，第2个图形中总的点数为，依次为，……，则的值是________． 15. 如图， 在中，， ，，点E为边上一动点， 将 绕点E逆时针旋转至， 连接，．若为直角三角形， 则 的长为 _________． 三．解答题(共 75分) 16. （1） 计算： （2）化简： 17. 为了解学生的课外阅读情况，学校在每班随机抽取名学生调查当天的阅读时间．七年级（1）班语文教师随机对该班抽取的名学生的课外阅读时间（分钟）进行了收集、整理和分析． [收集数据]，，，，，，，，，，，，，，，，，，， [整理数据] 阅读时间（分钟） 频数 3 4 3 a b 根据上面整理的数据，制作出扇形统计图如下图 阅读时间扇形统计图 [分析数据] 数据量 平均数 中位数 众数 方差 七年级（1）班 e f [解决问题] 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据扇形统计图，将阅读时间不低于分钟表彰为“阅读之星”，若七年级（1）有40名学生，估计全班可以被表彰为“阅读之星”的有多少名？ [数据应用] （3）七年级（2）班名调查同学的阅读时间相关信息如下： 数据量 平均数 中位数 众数 方差 七年级（2）班 根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个班的阅读水平更高一些？并给出一些合理解释． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点，与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，的长为半径作，交轴于点，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求扇形半径及对应圆心角的度数． （3）求图中阴影部分的面积之和． 19. 如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接． （1）求证：； （2）若⊙与相切，求的度数； （3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 20. 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．其中是垂直于墙面的遮阳篷，表示窗户，表示直角遮阳篷．如图2，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． （1）如图3，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长． （2）如图2，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 21. 春节期间，某超市推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中的一种． 活动一：所有商品按八折出售； 活动二：购物金额每满元减元． 设某顾客的购物金额为元． （1）当购物金额为元时，选择活动一需付 元，选择活动二需付 元． （2）当时，请分别写出选择活动一和活动二的实付金额(元)关于购物金额 (元)之间的表达式，并说明选择哪种活动更省钱． （3）若该顾客选择活动二后的实付金额为 元，则该顾客的购物金额为 元． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形是一张用于打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知，点E，F分别在和上，且，设． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用x的代数式表示： 区域Ⅰ的面积＝______；区域Ⅱ的面积＝______． 任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含边的三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式． 任务3 优化设计 经调查发现当且x为整数时，此时称E点为合格定位点．当区域乙的面积最小时，合格定位点E点为最佳定位点，求出最佳定位点E的坐标． 23. 综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 如图，在矩形中， E为边上一点，将沿翻折至，使点F落在边上，G为边上一点，再将沿翻折至，使点H落在上，延长交于点K． （1）四边形的形状为 ，并给出证明； （2）猜想和数量关系为 ，并说明理由； （3）当时，请直接写出 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $