精品解析：山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 命题人：刘春业 丁玲玲 赵叶欣 审核人：董天龙 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ） A. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1 B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线 C. 在经验回归方程中，若解释变量增加1个单位，则预测值平均减少0.5个单位 D. 若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好 4. 已知，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 7名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 210种 B. 420种 C. 1260种 D. 630种 6. 已知一组样本数据方差为9，且，则样本数据的方差为（ ） A. 9.2 B. 8.2 C. 9.8 D. 9 7. 若不等式的解集为，则不等式解集为（ ） A B. C. D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（ ） A. 若，则取最大值时 B. 当时，取得最小值 C. 当时，随着的增大而减小 D. 当的，随着的增大而减小 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 各二项式系数的和为64 B. 常数项是第3项 C. 有理项有3项 D. 各项系数的绝对值的和为729 10. 已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -1 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ） A. B. C. 关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间 D. 和在该二次函数图象上，则当实数时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______． 13. 已知集合，，若中恰有一个整数，则的最小值为_________. 14. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射升空，并于北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时!奔赴星辰大海，中国人探索浪漫宇宙的脚步驰而不息，逐梦太空的科学探索也不断向前。由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 参考数据： （1）根据所给数据及回归模型，求关于的回归方程（精确到精确到1），并估算飞行距离为时损坏零件个数； （2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中50台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关? 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 50 100 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 体育锻炼能帮助学生锻炼出良好的体质和坚强的意志，而这些都是学习的必备条件。青岛二中教体融合育人模式的建构与实践为学生终身发展奠基，对学生一生幸福负责。每天一节体育课，也在全国范围内开创先河。以体育课为突破口，五育并举全面发展素质教育有了抓手，由此也引发了全体学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育煅炼目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为． （1）请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； （3）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 17. 已知函数． （1）若，判断函数是否存在极值并说明理由； （2）时，讨论的单调性． 18. 某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近400天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布．求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）． （2）该物流公司负责人根据每日可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励60元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 资金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则 19. 我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）当为偶数时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 命题人：刘春业 丁玲玲 赵叶欣 审核人：董天龙 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的定义与运算求出，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】由题意知，，又， 所以. 故选：A 2. 若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件的定义求解. 【详解】解：由得：， 因为成立的充分条件是， 所以，即， 解得， 故选：D 3. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ） A. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1 B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线 C. 在经验回归方程中，若解释变量增加1个单位，则预测值平均减少0.5个单位 D. 若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归方程的意义，逐项分析理解即可. 【详解】对于A，相关有正相关和负相关，共同点是相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A错误； 对于B，确定回归直线的根据是误差最小，并不是经过的样本点最多，故B错误； 对于C，的含义就是x每增加一个单位，估计值就平均减少0.5个单位，故C正确； 对于D，是描述拟合效果的，越大拟合效果越好，应该是甲的拟合效果更好，故D错误； 故选：C. 4. 已知，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据不等式的性质和指数函数单调性即可判断C；利用作差法即可判断D. 【详解】时，只有才有，A选项错误； 幂函数在上单调递减，当时，有，B选项错误； 指数函数在R上单调递减，时，有，则，C选项正确； 若，则，得， 所以，D选项错误. 故选：C 5. 7名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 210种 B. 420种 C. 1260种 D. 630种 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求出. 【详解】先从人中选人去甲场馆，有种，再从剩下的人中选人去乙场馆，有种，再将剩下的人安排去丙场馆，有种， 则由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有种. 故选：A. 6. 已知一组样本数据的方差为9，且，则样本数据的方差为（ ） A. 9.2 B. 8.2 C. 9.8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据条件中的方差和，代入新数据的方差公式，即可求解. 【详解】设样本数据的平均数为，则， 且样本数据的平均数也为， 所以 ， 即的方差为9.8. 故选：C 7. 若不等式的解集为，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次不等式解集的性质，结合韦达定理将不等式化简为，从而得解. 【详解】因为由不等式的解集为， 所以，方程的两根为1和3， 由根与系数的关系得，则， 所以不等式可化为，即， 所以且，解得或， 所以解集为. 故选：B． 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（ ） A. 若，则取最大值时 B. 当时，取得最小值 C. 当时，随着的增大而减小 D. 当的，随着的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可. 【详解】A：在10次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大．故A错误； B：，当时，取得最大值，故B错误； C、D：， ， ， ， 当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故C错误； 当时，为正项且单调递减的数列，所以随着的增大而减小，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求是难点，关键是能找到其与二项展开式之间的联系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 各二项式系数的和为64 B. 常数项是第3项 C. 有理项有3项 D. 各项系数的绝对值的和为729 【答案】AD 【解析】 【分析】利用各二项系数和可判断A选项；根据展开式的通项可判断B选项和C选项；根据二项式展开式的系数的绝对值和与二项式的展开式的系数和相等，可判断D选项； 【详解】A：在的展开式中，各二项式系数的和为，故A正确； B：展开式的通项为， 令，得，所以常数项是第5项，故B错误. C：由选项B知，令，得时， 展开式的项为有理项，所以有理项有4项，故C错误； D：各项系数的绝对值的和与的各项系数和相等， 令，可得各项系数的绝对值的和为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：计算后代换即可得；对B、C：借助基本不等式即可得；对D：借助消元法用b表示a后，借助二次函数的性质即可得. 【详解】由题意可得，且，， 对A：由，即，故，故A错误； 对B：由，得， 当且仅当时，等号成立，即； 由，得， 当且仅当时，等号成立，即，故B正确； 对C：， 当且仅当即时，等号成立，故C正确； 对D：由，故，故， ，故D正确. 故选：BCD. 11. 二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -1 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ） A. B. C. 关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间 D. 和在该二次函数的图象上，则当实数时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据二次函数图象上的点求得，再由当时，对应的函数值求得，从而求得，判断A，求出后求解范围判断B，根据抛物线的对称性及函数过点得函数零点范围即可判断C，由列不等式求解判断D. 【详解】A：将代入得，解得， 所以二次函数，当时，对应的函数值， 所以，解得，所以， 所以，所以，故A错误； B：当时，，当时，， 所以，因为，所以，故B正确； C：因为二次函数过，所以其对称轴为，开口向下， 又当时，对应的函数值， 根据二次函数的对称性知，当时，对应的函数值， 而当时，，所以二次函数与x轴负半轴的交点横坐标在和0之间， 所以关于x的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间，故C正确； D：因为和在该二次函数的图象上， 所以，， 若，则， 因为，所以，解得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】为使有意义， 只需，解得：， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 13. 已知集合，，若中恰有一个整数，则的最小值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合，根据交集结果可知在只有一个整数解，由二次函数性质可得，解方程组求得结果. 【详解】， 令，则对称轴为， 恰有一个整数，即在只有一个整数解， ，即，解得：， 的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查根据交集结果求解参数范围的问题，关键是能够将整数解个数问题转化为二次函数图象的讨论，通过约束二次函数的图象得到不等关系. 14. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，分，，和，四种情况讨论，结合一次、二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】解：（1）当时，可得， 若对于恒成立，即在恒成立， 即在恒成立， 即对任意恒成立， ①当时，不等式在区间上恒成立，符合题意； ②当时，要使得对任意恒成立， 则满足且，解得； ③当时，可得，二次函数开口向下， 所以对任意不能恒成立，不符合题意； （2）当时，函数恒成立，而此时开口向下， 当时，，所以对任意不能恒成立，不符合题意， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射升空，并于北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时!奔赴星辰大海，中国人探索浪漫宇宙的脚步驰而不息，逐梦太空的科学探索也不断向前。由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 参考数据： （1）根据所给数据及回归模型，求关于的回归方程（精确到精确到1），并估算飞行距离为时损坏零件个数； （2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中50台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关? 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 50 100 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6635 10.828 【答案】（1）；损坏零件个数个 （2）认为核心零件是否报废与是否保养有关，此推断的错误概率不小于. 【解析】 【分析】（1）由表格中的统计数据，求得，，利用回归系数的公式，求得，进而求得其回归方程，令，求得其预测值； （2）由题意得，得到的列联表，利用公式，求得，结合小概率的独立性检验，即可得到结论. 【小问1详解】 解：由表格中的统计数据，可得， ， 又由， 可得， 则， 所以变量关于的线性回归方程为， 令，可得， 即飞行距离为时损坏零件个数为个. 【小问2详解】 解：设：核心零件是否报废与保养无关， 由题意得，保养过的共台，未保养的为台， 可得的列联表，如下表所示： 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 44 36 80 合计 50 50 100 则， 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立， 即认为核心零件是否报废与是否保养有关，此推断的错误概率不小于. 16. 体育锻炼能帮助学生锻炼出良好的体质和坚强的意志，而这些都是学习的必备条件。青岛二中教体融合育人模式的建构与实践为学生终身发展奠基，对学生一生幸福负责。每天一节体育课，也在全国范围内开创先河。以体育课为突破口，五育并举全面发展素质教育有了抓手，由此也引发了全体学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育煅炼目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为． （1）请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； （3）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 【答案】（1）填表见解析 （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式得到甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数，从而可补充表格内容. （2）先用古典概型计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率，再确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得期望； （3）利用条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 设事件C为“甲上午选择足球”，事件为“甲下午选择足球”， 设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为， 则，解得， 所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为． 体育锻炼项目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 15天 5天 10天 10天 10天 5天 25天 【小问2详解】 由题意知，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为； 乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为． 记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则的所有可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 所以． 【小问3详解】 记事件A为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”， 由题意知， . 故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下概率为． 17. 已知函数． （1）若，判断函数是否存在极值并说明理由； （2）时，讨论的单调性． 【答案】（1）函数有极值，理由见解析； （2）结论见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间判断函数的单调性，由此确定其极值； （2）求函数的导函数及其零点，讨论与的大小关系，再分区间判断函数的单调性. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 令可得，①， 方程①的判别式， 所以方程①有两个解，记其解为，， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极大值，极大值为， 当时，函数取极小值，极小值为， 【小问2详解】 因， 所以， 所以， 所以 令可得，或， 若时， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 若， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 若，，且当且仅当时取等号， 所以上单调递增， 综上，当时，函数的递增区间为，，递减区间为， 当，函数的递增区间为，，递减区间为， 若时，函数的单调递增区间为，没有递减区间， 18. 某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近400天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布．求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）． （2）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励60元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 资金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则 【答案】（1）①；② （2）从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利 【解析】 【分析】（1）①由正态分布概率公式计算可得答案． ②根据①计算出的概率乘以2000可得答案； （2）设小张每日可获得的奖金为元，求出的可能取值及对应的概率可得，设小张每日可获得的奖金为元，求出的所有可能取值及对应的概率可得，比较大小可得答案. 【小问1详解】 由题意，其中， 所以 ． ②故该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数为： （天）； 【小问2详解】 易知， 对于方案一，设小张每日可获得的奖金为元，则X的可能取值为，，，其对应的概率分别为，，， 故， 对于方案二，设小张每日可获得的奖金为元，则的所有可能取值为，，，， 故，， ，， 所以， 因为， 所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利． 19. 我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）当为偶数时，证明：． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义当，范数为奇数时，中的个数为0或2，利用乘法原理和加法原理求解即可； （2）要使范数为奇数，需满足0的个数一定是偶数，按0的个数为分情况讨论，根据和的展开式得到的通项公式即可求解； （3）同（2），按0的个数分情况讨论，利用新定义求出的通项公式，再根据组合数的性质化简求解即可. 【小问1详解】 当，范数为奇数时，的个数为偶数，即中的个数为0或2， 所以根据乘法原理和加法原理可得，. 【小问2详解】 当为奇数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为偶数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， 因为①， ②， 得， 所以. 【小问3详解】 当为偶数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为奇数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， ， 因为①， ②， 得， 所以， 解法一：因为， 所以 . 解法二：得， 又因为， 所以 . 【点睛】难点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一半，其次对组合数，二项式定理的灵活应用，化简变形要求较高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$