第02讲 子集、全集、补集（六大考点）-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第02讲 子集、全集、补集 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2、在具体情境中，了解全集与补集的含义. 3、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 知识点一：子集 1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集．，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、规定：空集是任何集合的子集，即． 3、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 知识点二：韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： B A 知识点三：真子集 1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）． 2、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）若A B，B C，则A C． 知识点四：集合的相等与子集的关系 1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点五：有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 知识点六：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示． 2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作． 3、数学表达式：． 4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： U A 5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则 ①； ②； ③． 考点一：集合的包含关系判断 【例1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一·陕西榆林·期中）已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·海南·竞赛）已知集合，则集合与的关系是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D．且 【变式1-3】（2024·高一·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【变式1-4】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 考点二：集合的相等 【例2】（2024·高一·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-1】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-2】（2024·高一·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【变式2-3】（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 考点三：空集的定义、性质及运算 【例3】（2024·高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【变式3-1】（2024·高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【变式3-2】（2024·高一·上海黄浦·期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ． 【变式3-3】（2024·高一·全国·课后作业）集合 ． 【变式3-4】（2024·高一·全国·课后作业）下列集合： ①；②；③；④；⑤． 表示空集的有 考点四：子集与真子集的个数问题 【例4】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为 个 【变式4-1】（2024·高一·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 【变式4-2】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）满足的集合的个数为 . 【变式4-3】（2024·高一·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 【变式4-4】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 考点五：补集及其运算 【例5】（2024·高一·广东茂名·期中）设全集，，则 . 【变式5-1】（2024·高一·江苏·专题练习）已知是非空集合，定义运算且，若，，则 ， 【变式5-2】（2024·高一·全国·专题练习）设，，，则 ； ． 【变式5-3】（2024·高一·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 考点六：集合关系中的参数取值问题 【例6】（多选题）（2024·高一·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【变式6-1】（2024·高一·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【变式6-2】（2024·高一·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【变式6-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【变式6-4】（2024·高一·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 1．（2024·高一·山西长治·期中）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．2 2．（2024·高一·四川成都·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·广东湛江·开学考试）已知全集，集合，则（　　） A． B． C．或 D． 4．（2024·高一·云南德宏·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2024·高一·山西太原·阶段练习）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2024·高一·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 7．（多选题）（2024·高一·河南郑州·期中）已知集合，，若，则实数m可以是（    ） A． B．1 C． D．0 8．（多选题）（2024·高一·辽宁鞍山·期中）下列结论正确的是（    ） A． B．集合A，B，若且，则 C．集合，，则 D．集合，，若，则或 9．（多选题）（2024·高一·湖北省直辖县级单位·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 10．（多选题）（2024·高一·广东茂名·期中）已知集合，，若，则实数的值可以是（    ） A．1 B． C． D．3 11．（2024·高一·北京东城·期中）若集合，则实数a的取值范围 ． 12．（2024·高一·江苏盐城·期中）集合满足，则满足条件的集合的个数为 . 13．（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 14．（2024·高一·广东揭阳·阶段练习）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 15．（2024·高一·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 16．（2024·高一·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 17．（2024·高一·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 18．（2024·高一·河北沧州·期中）已知集合，，若，求实数m的取值范围. 19．（2024·高一·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 20．（2024·高一·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 21．（2024·高一·全国·专题练习）已知全集，求及的值. 22．（2024·高一·全国·专题练习）已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 子集、全集、补集 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2、在具体情境中，了解全集与补集的含义. 3、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 知识点一：子集 1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集．，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2、规定：空集是任何集合的子集，即． 3、子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 知识点二：韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： B A 知识点三：真子集 1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）． 2、真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）若A B，B C，则A C． 知识点四：集合的相等与子集的关系 1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点五：有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 知识点六：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示． 2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作． 3、数学表达式：． 4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： U A 5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则 ①； ②； ③． 考点一：集合的包含关系判断 【例1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（2024·高一·陕西榆林·期中）已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，“”表示集合与集合间关系，而“0”是元素，故A错； 对于BC，“”表示元素与集合间关系， 而0是集合中的元素，为集合，故B正确，C错误； 对于D，集合中，所以D错. 故选：B. 【变式1-2】（2024·高一·海南·竞赛）已知集合，则集合与的关系是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D．且 【答案】B 【解析】由题意可知， 则，都有；而，且，故⫋. 故选：B. 【变式1-3】（2024·高一·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解析】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 【变式1-4】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 考点二：集合的相等 【例2】（2024·高一·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 【变式2-1】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为， 所以①或②， 由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意， 由②得，符合题意，两种情况代入，答案相同. 故选：B. 【变式2-2】（2024·高一·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合； D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 【变式2-3】（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 考点三：空集的定义、性质及运算 【例3】（2024·高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【解析】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 【变式3-1】（2024·高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【解析】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高一·上海黄浦·期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ． 【答案】0 【解析】集合，只有一个子集， 则，， 所以方程无解，即． 故答案为：0． 【变式3-3】（2024·高一·全国·课后作业）集合 ． 【答案】 【解析】因为的＜0，所以方程无实数解，所以A＝﹒ 故答案为： 【变式3-4】（2024·高一·全国·课后作业）下列集合： ①；②；③；④；⑤． 表示空集的有 【答案】②④/④② 【解析】，故为空集；为空集，而、、均不是空集. 故答案为：②④ 考点四：子集与真子集的个数问题 【例4】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为 个 【答案】 【解析】集合中有个元素， 所以集合的真子集个数为个. 故答案为：. 【变式4-1】（2024·高一·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 【答案】 【解析】, 集合中有个元素， 则的非空子集的个数是. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）满足的集合的个数为 . 【答案】8 【解析】，集合中3个元素，则有子集个 . 故答案为：8 【变式4-3】（2024·高一·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 【答案】，，， 【解析】∵， 所以集合的子集有：，，，. 故答案为：，，， 【变式4-4】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 考点五：补集及其运算 【例5】（2024·高一·广东茂名·期中）设全集，，则 . 【答案】 【解析】因为，，所以. 故答案为：. 【变式5-1】（2024·高一·江苏·专题练习）已知是非空集合，定义运算且，若，，则 ， 【答案】 【解析】画出数轴如图： 所以且，． 故答案为：； 【变式5-2】（2024·高一·全国·专题练习）设，，，则 ； ． 【答案】 【解析】由，，， ，． 故答案为：，. 【变式5-3】（2024·高一·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，又，所以． 故选：B． 考点六：集合关系中的参数取值问题 【例6】（多选题）（2024·高一·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【解析】解得，则. 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以，因此，即或，即. 综上所述，时,的值为. 故选：ABC. 【变式6-1】（2024·高一·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【解析】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 【变式6-2】（2024·高一·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【解析】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 【变式6-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【变式6-4】（2024·高一·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【解析】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 1．（2024·高一·山西长治·期中）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．2 【答案】A 【解析】由可知，. 故选：A 2．（2024·高一·四川成都·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 又因为，所以， 故选：C. 3．（2024·高一·广东湛江·开学考试）已知全集，集合，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以. 故选：D. 4．（2024·高一·云南德宏·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， 所以，所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 5．（多选题）（2024·高一·山西太原·阶段练习）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为⫋，故或或， ABC正确，D错误. 故选：ABC 6．（多选题）（2024·高一·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【解析】因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或. 故选：ABD 7．（多选题）（2024·高一·河南郑州·期中）已知集合，，若，则实数m可以是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】ACD 【解析】由，当时满足题设， 若， 当，则， 当，则， 显然不可能有且， 综上，或或. 故选：ACD 8．（多选题）（2024·高一·辽宁鞍山·期中）下列结论正确的是（    ） A． B．集合A，B，若且，则 C．集合，，则 D．集合，，若，则或 【答案】BC 【解析】因为是无理数，所以，故A错误； 由集合相等的概念知B正确； 因为中的x和y的取值范围均为R，所以，故C正确； 因为，所以或.当时，； 当时，，此时.故或，解得或. 综上所述，a的取值为0，或，故D错误. 故选：BC. 9．（多选题）（2024·高一·湖北省直辖县级单位·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】ABC 【解析】， 当时，，显然，符合题意； 当时，，显然，符合题意； 当且时，，要想，只需， 综上所述：选项ABC满足， 故选：ABC 10．（多选题）（2024·高一·广东茂名·期中）已知集合，，若，则实数的值可以是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】ABD 【解析】因为，，且， 当时，即，此时,，满足； 当时，解得或，当时，，，满足；当时，，，满足； 综上所述，实数的值可以是. 故选：ABD 11．（2024·高一·北京东城·期中）若集合，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【解析】故无解则 故答案为： 12．（2024·高一·江苏盐城·期中）集合满足，则满足条件的集合的个数为 . 【答案】7 【解析】根据题意，集合至少含有0,2两个元素，但集合， 所以满足条件的集合为，共7个， 所以满足条件的集合的个数为7， 故答案为：7. 13．（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为； （2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集， 故数字1在集合所有非空子集中共出现次， 同理2，3，4，5，6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 14．（2024·高一·广东揭阳·阶段练习）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【解析】（1）由，得，解得， 所以实数a的值为2. （2）当时，， 所以集合的所有子集是：. （3）当时，方程的根为，符合题意，因此； 当时，集合仅只一个元素，则，解得， 所以实数a的值或. 15．（2024·高一·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【解析】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 16．（2024·高一·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 17．（2024·高一·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 18．（2024·高一·河北沧州·期中）已知集合，，若，求实数m的取值范围. 【解析】由， 当，则，满足题设； 当，则； 综上，. 19．（2024·高一·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 【解析】（1）因为，可知2为方程的根， 则，解得. （2）由（1）可得：，且， 若，则或， 所以或4. 20．（2024·高一·上海普陀·期中）已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【解析】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 21．（2024·高一·全国·专题练习）已知全集，求及的值. 【解析】①若，则，此时方程无实数解.∴，即 ②若，由于方程的两根之和为5，又由于两根只能从中取值，因此或 当时，； 当时，. 22．（2024·高一·全国·专题练习）已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 若是的子集，则， 所以，解得. （2）若是的子集，则. ①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得. 将代入方程，得，解得，所以，符合要求； ③若为双元素集合，，则. 综上所述，或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$