第02讲 子集、全集、补集（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第02讲 子集、全集、补集 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 子集与真子集 3 题型02 补集 5 题型03 由集合间的关系求参数范围 7 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 14 创新拓展 18 一、子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的________________都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 如果________，并且________，那么集合A称为集合B的真子集 记法 A____B或B____A A___B或B___A 读法 集合A________集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B______A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A____A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A____C；(3)若_______且_______，则A＝B； (4)规定∅____A (1)对于集合A，B，C，若A⫋B且B⫋C，则A____C； (2)若A≠∅，则∅____A 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (3)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}． 二、补集 1．补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中________________的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA＝________________ 图形语言 性质 (1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝___________________；(3)∁SS＝________，∁S∅＝________ 2.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作________． 在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U. 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 题型01子集与真子集 【解题策略】 (1)判断集合关系的方法 ①观察法：一一列举观察． ②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． ③数形结合法：利用数轴或Venn图． (2)求有限集的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集：∅和它本身． ②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏 【典例分析】 【例1】已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南株洲·期末）集合的子集个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}． 【变式3】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． 题型02 补集 【解题策略】 　(1)求补集的方法 ①列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合． ②由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合． (2)利用补集求参数应注意两点 ①与集合的补集运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形． ②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 【典例分析】 【例2】(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________. 【变式演练】 【变式1】设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<－2}，则∁UM等于(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x<－2，或x>2} D．{x|x≤－2，或x≥2} 【变式2】（多选）（23-24高一上·山东泰安·期中）已知全集，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·广东茂名·期中）设全集，，则 . 题型03 由集合间的关系求参数范围 【解题策略】 利用集合关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 【典例分析】 【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【变式2】．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【变式3】．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 易错点01　混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 1.(多选)如下四个结论中，正确的有(　　) A．∅⊆∅ B．0∈∅ C．{0}∅ D．{0}＝∅ 易错点02　忽视对空集的讨论而致错 2.设集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|1≤a≤3} B．{a|a≥3} C．{a|a≥1} D．{a|1<a<3} 易错点03　忽略端点的取值情况而致错 3．[江苏扬州中学2022高一月考]已知集合M＝{x|2x＋1<3}，N＝{x|x<a}，若N⊆M，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a≥1} B．{a|a≥2} C．{a|a≤1} D．{a|a<1} 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·山西阳泉·期末）设是小于的正整数，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（23-24高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 二、多选题 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列选项中正确的有（    ） A． B．集合与集合非空子集的个数相同 C．空集是非空集合的真子集 D．若，，则 三、填空题 7．（2023高一·全国·专题练习）设，，，则 ； ． 8．（23-24高一上·河北·阶段练习）是廊坊人} 是河北人}.（填，，，，） 9．（23-24高一上·新疆·期中）已知集合M满足，则满足条件的集合M的个数是 . 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若集合，下列关系式中成立的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 4．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 二、多选题 5．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）给出下列四个结论，其中正确的有（    ） A． B．若，则 C．集合是无限集 D．集合的子集共有4个 三、填空题 7．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设全集，，则 ． 8．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）以下六个关系式中正确的编号是 ①；②；③；④；⑤；⑥ 9．（2021高一下·广东佛山·竞赛）设集合，的所有子集构成的集合记为集合，则集合的非空真子集一共有 个. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）已知，设集合，集合，若，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【下节预览】 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，.求及； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 子集、全集、补集 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 子集与真子集 3 题型02 补集 5 题型03 由集合间的关系求参数范围 7 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 14 创新拓展 18 一、子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A A⫋B或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A，则A＝B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A，B，C，若A⫋B且B⫋C，则A⫋C； (2)若A≠∅，则∅⫋A 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (3)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}． 二、补集 1．补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA＝{x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 (1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝A； (3)∁SS＝∅，∁S∅＝S 2.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U. 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 题型01子集与真子集 【解题策略】 (1)判断集合关系的方法 ①观察法：一一列举观察． ②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． ③数形结合法：利用数轴或Venn图． (2)求有限集的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集：∅和它本身． ②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏 【典例分析】 【例1】已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况． [解]　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南株洲·期末）集合的子集个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】求出集合的子集即可判断个数. 【详解】因为，所以集合有共4个子集. 故选：D 【变式2】判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}． [解]　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB. (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC. (3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AB. 【变式3】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． [解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， ∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． ∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}． 题型02 补集 【解题策略】 　(1)求补集的方法 ①列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合． ②由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合． (2)利用补集求参数应注意两点 ①与集合的补集运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形． ②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 【典例分析】 【例2】(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________. 【答案】(1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　 【解析】(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}． 又∁UB＝{1,4,6}， 所以B＝{2,3,5,7}． 法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示． 由图可知B＝{2,3,5,7}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． 【变式演练】 【变式1】设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<－2}，则∁UM等于(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x<－2，或x>2} D．{x|x≤－2，或x≥2} 【答案】A 【解析】如图，在数轴上表示出集合M， 可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}． 【变式2】（多选）（23-24高一上·山东泰安·期中）已知全集，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合元素的性质及补集的概念求解即可得答案. 【详解】已知全集，其中， 当时， 当时， 当时， 故选：AC. 【变式3】（23-24高一上·广东茂名·期中）设全集，，则 . 【答案】 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 题型03 由集合间的关系求参数范围 【解题策略】 利用集合关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 【典例分析】 【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． [思路点拨]　 ―→ [解]　(1)当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，得m<2. (2)当B≠∅时，如图所示． ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空集的定义即可得解； （2）利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 【变式2】．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上 【变式3】．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 易错点01　混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 1.(多选)如下四个结论中，正确的有(　　) A．∅⊆∅ B．0∈∅ C．{0}∅ D．{0}＝∅ 【解析】空集是自身的子集，A正确；0不是空集中的元素，B错误；空集是任何非空集合的真子集，C正确；{0}是含一个元素0的集合，不是空集，D错误．故答案为AC。 易错点02　忽视对空集的讨论而致错 2.设集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|1≤a≤3} B．{a|a≥3} C．{a|a≥1} D．{a|1<a<3} 【解析】因为B⊆A，所以当B＝∅时，符合题意，则有2a>a＋3，即a>3；当B≠∅时，则有解得1≤a≤3.综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}，故选C. 易错点03　忽略端点的取值情况而致错 3．[江苏扬州中学2022高一月考]已知集合M＝{x|2x＋1<3}，N＝{x|x<a}，若N⊆M，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a≥1} B．{a|a≥2} C．{a|a≤1} D．{a|a<1} 【解析】∵集合M＝{x|2x＋1<3}＝{x|x<1}，且N⊆M，∴a≤1.故选C. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·山西阳泉·期末）设是小于的正整数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，进而求得. 【详解】依题意，， 而，所以. 故选：B 2．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 【答案】C 【分析】根据，可得或，从而可求解. 【详解】由得或，即或， 当时，； 当时，，都符合题意，故C正确. 故选：C. 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合间的基本关系，利用集合中的元素个数即可求得满足条件的集合的个数. 【详解】由题意知中必有元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个， 所以集合的个数等价于集合的非空子集的个数，即， 故选：C. 4．（23-24高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数. 【详解】，共有两个元素， 故其真子集的个数为. 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D． 故选：AC. 6．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列选项中正确的有（    ） A． B．集合与集合非空子集的个数相同 C．空集是非空集合的真子集 D．若，，则 【答案】CD 【分析】根据集合间的基本关系及子集的个数求法一一判定即可. 【详解】对于A，因为2是质数，但2不是奇数，所以A错误； 对于B，集合有两个元素，其非空子集的个数为个，集合有一个元素，其非空子集个数为个，所以B错误； 对于C，因为空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集，所以C正确； 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：CD 三、填空题 7．（2023高一·全国·专题练习）设，，，则 ； ． 【答案】 【分析】应用集合的补运算求集合即可. 【详解】由，，， ，． 故答案为：，. 8．（23-24高一上·河北·阶段练习）是廊坊人} 是河北人}.（填，，，，） 【答案】 【分析】根据集合的描述，判断集合间的包含关系，即可确定答案. 【详解】由于廊坊人也是河北人，但河北人不一定是廊坊人， 所以是廊坊人}是河北人}. 故答案为： 9．（23-24高一上·新疆·期中）已知集合M满足，则满足条件的集合M的个数是 . 【答案】8 【分析】由包含关系分类讨论，一一列举即可求解. 【详解】由题意可得集合M中至少含0，2这2个元素，至多含0，1，2，3，5这5个元素. 若集合M中含2个元素，则集合M为； 若集合M中含3个元素，则集合M为，，； 若集合M中含4个元素，则集合M为，，； 若集合M中含5个元素，则集合M为. 故满足条件的集合M有8个. 故答案为：8 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合之间的关系可直接得到答案. 【详解】因为集合，， 若，则， 故选：A. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若集合，下列关系式中成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】显然，A错误；，B错误，D正确；，C错误. 故选：D 3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【答案】C 【分析】根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数. 【详解】由，， 所以，集合中含有5个元素， 所以集合的真子集个数为个. 故选：C. 4．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集的概念进行求解. 【详解】因为⫋，故或或， ABC正确，D错误. 故选：ABC 6．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）给出下列四个结论，其中正确的有（    ） A． B．若，则 C．集合是无限集 D．集合的子集共有4个 【答案】BC 【分析】根据已知条件，结合集合的关系、子集的定义等性质和概念，即可求解. 【详解】对于A，集合间不应有属于和不属于的关系，故A错误； 对于B，若为整数，则一定为整数，故B正确； 对于C，有理数有无数个，则集合是无限集，故C正确； 对于D，，即其子集的个数为个，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 7．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设全集，，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的定义即可得出答案． 【详解】由题可知，， 则， 故答案为：． 8．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）以下六个关系式中正确的编号是 ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】①③⑤ 【分析】根据元素和集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：空集是任何集合的子集，故，故①正确； ②，故②错误； ③，故③正确； ④或，故④错误； ⑤，故⑤正确； ⑥空集是任何集合的子集，故，故⑥错误； 故答案为：①③⑤ 9．（2021高一下·广东佛山·竞赛）设集合，的所有子集构成的集合记为集合，则集合的非空真子集一共有 个. 【答案】14 【分析】集合中的元素是的所有子集构成的，解题时不要漏掉空集和本身. 【详解】因为集合，共个元素， 所以集合的非空真子集的个数为. 故答案是：. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的解法化简集合A，根据二次函数值域求解集合B，然后利用集合关系列不等式求解. 【详解】集合， 集合， 因为，所以，解得. 故选：A. 2．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论B集合为空集及非空分别列出不等式计算求解即可. 【详解】． 若，则，解得，符合题意； 若时，则解得． 综上，实数m的取值范围是． 故选:C． 二、填空题 3．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）已知，设集合，集合，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求解，根据二次方程的两根关系讨论与两种情况，当时，化简可得，结合可得无解或解包含两根，再分类讨论求解即可. 【详解】. ①当时，，此时，，满足题意； ②当时，，且，故. 又，讨论，即 即， 即， 即，方程必有两根， 因为，故，则无解或解包含. i）当为的解时，代入可得，此时满足条件； ii）当为的解时，代入可得，此时满足条件； iii）当无解时，，，解得，综上有，且. 综合①②可得. 故答案为： 三、解答题 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 【下节预览】 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，.求及； 【答案】,. 【分析】利用交集并集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以； . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$