专题07 浙江省各地市七下期末试卷简答题压轴题选练【好题汇编】-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（浙教版）

专题07 浙江省各地市七下期末试卷简答题压轴题选练 1．（2023春•余姚市期末）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算A﹣B的值，若A﹣B＞0，则A＞B；若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）： ①当x＞y时，3x+5y 　 　2x+6y；②若a＜b＜0，则a3　 　ab2； （2）试比较5x2+4x﹣3与2（3x2+x+1）的大小，并说明理由； 【拓展运用】 （3）甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校s（km）的研学基地参加研学甲班有一半路程以v1（km/h）的速度行进，另一半路程以v2（km/h）的速度行进：乙班有一半叶间以v1（km/h）的速度行进，另一半时间以v2（km/h）的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为t1（h），t2（h）． ①试用含s，v1，v2的代数式分别表示t1和t2，则t1＝　 　，t2＝　 　． ②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由． 2．（2023春•慈溪市期末）[阅读材料]分解因式：x2+x﹣2．解：把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，由此确定x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　 　；2x2﹣5x﹣7＝　 　； （2）请你用“试根法”分解因式：x3+3x2﹣4； （3）①若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求代数式的值； ②若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x+1），求mn的值． 3．（2023春•鄞州区期末）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 又例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：∵2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8； 又∵（x+1）2≥0 ∴当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：a2+6a+8＝　 　； （2）已知实数a，b满足a2﹣8b＝12a﹣b2﹣52，求2a+b的值； （3）当x＝　 　、y＝　 　时，多项式﹣2x2﹣2xy﹣y2+8x﹣7的最大值 　 　． 4．（2023春•金东区期末）【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题，现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式a2+2ab+b2＝（a+b）2，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． （1）【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）． （2）【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式2a2+5ab+3b2因式分解，并画出图形． （3）【拓展迁移】事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把a3+4a2b+3ab2进行因式分解并写出因式分解结果． 5．（2022春•江山市期末）完全平方公式中含有四个代数式：a+b、a﹣b、ab、a2+b2，若已知其中两个代数式的值就能利用公式计算出另两个代数式的值，有些复杂的试题还可以通过“换元”化繁为简，再利用完全平方公式解决． 问题：已知x+＝3，求x2+的值． 分析：将x看成a，看成b，则问题转化为，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． （1）请你按照上述分析或用自己的方法，求出问题中x2+的值． （2）已知（2021﹣x）（2022﹣x）＝100． ①求（x﹣2021）2+（2022﹣x）2的值． ②求（2x﹣4043）2的值． 6．（2022春•拱墅区校级期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的传承数． （1）若a＝﹣1，b＝2，求a，b的传承数； （2）若a＝1，b＝x2，且，求a，b的“传承数”； （3）若a＝2n+1，b＝n﹣1，且a，b的传承数c是一个整数，请直接写出整数n的值． 7．（2023春•金东区期末）阅读以下微信群聊，完成任务． 任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？ 任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？ 任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？ 8．（2023春•诸暨市期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）． 情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有35cm×35cm的正方形纸板200张，35cm×50cm的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为50cm×70cm，乙纸板尺寸为35cm×85cm，丙纸板尺寸为35cm×70cm．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题： （1）情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ （2）情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为100%？请通过计算说明理由． （3）情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为100%，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 9．（2023春•宁波期末）数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值． （1）小北的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝　 　； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝　 　，∴x+y+z＝4． 第5页（共6页） 小仑的方法：①+②：　 　③；∴　 　得：x+y+z＝4． （2）已知，试求解x+y+z的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 10．（2023春•嘉兴期末）甲、乙两小区准备安装A、B两款智能快递柜，每个B款能满足快递需求人数比A款多20人．已知甲、乙两小区有快递需求居民分别有280人、420人．如果甲小区全部安装A款智能快递柜，乙小区全部安装B款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同． （1）设每个A款能满足快递需求人数为m人，求m的值． （2）如果甲小区安装A款和B款智能快递柜共7个，其中安装A款的个数比安装B款的2倍还多1个，分别求甲小区A款和B款的安装个数，并说明这样安装能否满足甲小区所有居民的快递需求． （3）已知购买A款需6000元/个，购买B款需6800元/个，请你帮助乙小区设计一个购买方案，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，并说明理由． 11．（2023春•新昌县期末）根据以下素材，探索完成任务， 设计购买与兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买成青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券m（1＜m＜10）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同． 凭此券可兑换米鸭蛋1个或咸青团2个 问题解决 任务1 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价． 任务2 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定m的值，并说明小明妈妈的兑换方式． 12．（2023春•镇海区期末）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． （1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝45°，则∠AED＝　 　°； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°求∠EKD的度数． 13．（2023春•江北区期末）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线CD上的一个动点． （1）如图1，点P在线段CD上，∠PAC＝30°，∠PBD＝45°，则∠APB＝　 　； （2）如果点P运动到C，D之间时，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由； （3）若点P在C，D两点的外侧运动时（点P与点C，D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生改变？请说明理由． 14．（2023春•海曙区期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E． （1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°； （2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数； （3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD＝∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是　 　． 15．（2023春•拱墅区期末）如图，直线CD，EF分别交直线AB于点G，H，射线GI，HJ分别在∠CGB和∠EHB的内部，且∠CGB＝2∠EHB． （1）若∠CGB和∠EHB互补． ①求∠EHB的度数； ②当∠CGI＝2∠IGB，且GI∥HJ时，求∠EHJ的度数； （2）设∠CGI＝m∠IGB，∠EHJ＝n∠JHB．若GI∥HJ，求m，n满足的等量关系． 16．（2023春•镇海区校级期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α为 　 　度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 17．（2022春•德清县期末）如图1，已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED． （1）求证：HG∥EF； （2）如图2，FK平分∠AFE交CD于点K，EH∥KF，GM平分∠HGB，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠GHE的度数； （3）如图3，FK平分∠AFE交CD于点K，EH∥KF，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，若∠KFE：∠MGH＝m：n，∠GME＝60°，求m：n的值．（请直接写出答案） 18．（2022春•江山市期末）已知△ABC与△ADE共顶点A，∠BAC＝∠DAE＝90°，顶点B和C在直线l1上（点B在点C的左侧），顶点D和E在直线l2上（点D在点E的左侧），且直线l1∥l2． （1）如图1，顶点A在l1与l2之间，判断∠BAD与∠ABC+∠ADE是否相等，并说明理由． （2）如图2，顶点A在l1与l2之间，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，若∠BAD＝70°，求∠BFE的度数． （3）若顶点A在直线l2的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，记∠BAD＝α，∠BFE＝β，请探究α与β的数量关系，并直接写出结论． 19．（2023春•嵊州市期末）将一副直角三角板ABC和DEF如图（1）放置，此时F，B，E，C四点在同一条直线上，点A在边DF上，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，∠BAC＝45°． （1）求∠CAD的度数； （2）将图（1）中的三角板DEF绕点A以每秒10°的速度，按顺时针方向旋转一定的角度α°（0°＜α°＜360°）后，记为三角板D'E'F'，设旋转的时间为t秒． ①当旋转至图（2）时，此时D'E'⊥AC，求α的值； ②若在旋转过程中，三角板D'E'F'的某一边恰好与BC所在的直线平行，直接写出t的值． 20．（2023春•东阳市期末）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN． （1）求∠DEQ的度数． （2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤60）． ①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值． ②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边BG∥HK时t的值． 21．（2023春•宁波期末）【基础巩固】（1）如图1，已知AD∥EF∥BC，求证：∠AEB＝∠DAE+∠CBE； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点．∠AEB＝70°，∠DAE＝30°，求∠CBE的度数； 【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点．若AE平分∠DAC，∠CAB＝∠ABC． ①试求出∠BAE的度数； ②已知∠AEB＝∠ABE，∠EBC＝30°，点G是直线AD上的一个动点，连接CG并延长． 2.1若CA恰好平分∠BCD，当CG与四边形ABCD中一边所在直线垂直时，∠ACG＝　 　°； 2.2如图4，若CG是∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，与AE交于点P，且∠BFC＝α°，则∠ADC＝　 　°（用含α的代数式表示）． 22．（2022春•拱墅区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点． （1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α＝5°，则∠1+∠2＝　 　； （2）若点P在斜边AB上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 　 　； （3）如图③，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请画出图形并直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系； （4）若点P运动到△ABC形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由． 23．（2023春•温州期末）根据以下素材，探索解决任务． 确定什锦糖的销售量 素材1 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克． 素材2 商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示，小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元． 素材3 小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖． 问题解决 任务1 确定A型单价 每份什锦糖A需要多少元？ 任务2 确定B型配比 每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？ 任务3 确定销售量 本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？ 24．（2022春•海曙区期末）【基础巩固】如图1，已知AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为点A，B．若AC＝PB，AP＝BD，探究PC与PD的关系，并说明理由． 【尝试应用】如图2，AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为点A，B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上以同样的速度运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当t＝1时，判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由． 【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，若点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 25．（2023春•镇海区校级期末）【基础巩固】（1）图1，△ABC中，∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线CD交于点D，证明：； 【尝试应用】（2）如图2，在等边△ABC中，D，E分别是边AB，AC的点，且满足AD＝CE，连接CD，BE，交于点M作∠ADC，∠ABE的角平分线，交于点N． ①证明△ACD≌△CBE； ②求∠DNB的度数； 【拓展提高】（3）在（2）的条件下，连接MN，如图3，当∠DCB＝40°，求∠MND的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 浙江省各地市七下期末试卷简答题压轴题选练 1．（2023春•余姚市期末）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算A﹣B的值，若A﹣B＞0，则A＞B；若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）： ①当x＞y时，3x+5y 　＞　2x+6y；②若a＜b＜0，则a3　＜　ab2； （2）试比较5x2+4x﹣3与2（3x2+x+1）的大小，并说明理由； 【拓展运用】 （3）甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校s（km）的研学基地参加研学甲班有一半路程以v1（km/h）的速度行进，另一半路程以v2（km/h）的速度行进：乙班有一半叶间以v1（km/h）的速度行进，另一半时间以v2（km/h）的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为t1（h），t2（h）． ①试用含s，v1，v2的代数式分别表示t1和t2，则t1＝　　，t2＝　　． ②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由． 【分析】（1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）①根据行程问题的数量关系即可求解；②根据“作差法“，整式的混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）①3x+5y﹣（2x+6y）＝x﹣y， ∵x＞y， ∴x﹣y＞0， ∴3x+5y＞2r+6y； ②a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）， ∵'a＜b＜0， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴a3﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）＜0， ∴a3＜ab2； 故答案为：（1）①＞；②＜； （2）5x2+4x﹣3＜2（3x2+x+1）．理由如下： ∵5x2+4x﹣3﹣[2（3x2+x+1）]＝5x2+4x﹣3﹣6x2﹣2x﹣2＝﹣x2+2x﹣5＝﹣（x﹣1）2﹣4＜0， ∴5x2+4x﹣3﹣[2（3x2+x+1）]＜0， ∴5x2+4x﹣3＜2（3x2+x+1）； （3）路程为s（km）， ①甲班有一半路程以v1（ kmh ）的速度行进，另一半路程以v2（ km/h ）的速度行进， ∴t1＝÷v1+＝+＝， 乙班有一半时间以v1（km/h）的速度行进，另一半时间以v2（km/h ）的速度行进， ∴s＝＝，则t2＝， 故答案为：，； ②t1＝，t2＝， ∴t1﹣t2＝﹣＝， ∵v1＞0，v2＞0，（v1﹣v2）2≥0， ∴t1≥t2， 当v1＝v2时，甲、乙同时到达；当v1≠v2时，乙先到． 2．（2023春•慈溪市期末）[阅读材料]分解因式：x2+x﹣2．解：把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，由此确定x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　（x﹣1）（x+2）　；2x2﹣5x﹣7＝　（x+1）（2x﹣7）　； （2）请你用“试根法”分解因式：x3+3x2﹣4； （3）①若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求代数式的值； ②若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x+1），求mn的值． 【分析】（1）利用十字相乘法求解即可； （2）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论； （3）①根据题意得，x＝2时，x2+mx﹣n＝0，把x＝2代入x2+mx﹣n＝0，得22+2m﹣n＝0，得到2m﹣n的值，再利用同底数幂的除法运算法则计算即可； ②由材料可知，x＝1，x＝﹣2是方程x3+mx2+nx+p＝0的解，然后列方程组求解即可． 【解答】解：（1）x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），（x+1）（2x﹣7）＝2x2﹣5x﹣7， 故答案为：（x﹣1）（x+2），（x+1）（2x﹣7）； （2）当x＝1时，x3+3x2﹣4＝0， x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+ax+b）， x3+3x2﹣4＝x3+ax2+bx﹣x2﹣ax﹣b， x3+3x2﹣4＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b， ∴a﹣1＝3，﹣b＝﹣4， ∴a＝4，b＝4， ∴x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+4x+4）＝（x﹣1）（x+2）2 （3）①根据题意得，x＝2时，x2+mx﹣n＝0， 把x＝2代入x2+mx﹣n＝0，得22+2m﹣n＝0， ∴2m﹣n＝﹣4， ∴＝＝； ②根据题意得，x＝2和x＝﹣1时，x4+mx3+nx﹣16＝0， 把x＝2和x＝﹣1代入得： ， ∴， ∴mn＝﹣100． 3．（2023春•鄞州区期末）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 又例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值：∵2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8； 又∵（x+1）2≥0 ∴当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：a2+6a+8＝　（a+2）（a+4）　； （2）已知实数a，b满足a2﹣8b＝12a﹣b2﹣52，求2a+b的值； （3）当x＝　4　、y＝　﹣4　时，多项式﹣2x2﹣2xy﹣y2+8x﹣7的最大值 　9　． 【分析】（1）将原式配方后变形为（a+3）2﹣1，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形整理后可得（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，然后利用偶次幂的非负性求得a，b的值，最后将其代入2a+b中计算即可； （3）将原式配方后变形为﹣（x+y）2﹣（x﹣4）2+9，然后利用偶次幂的非负性即可求得答案． 【解答】解：（1）a2+6a+8 ＝a2+6a+9﹣1 ＝（a+3）2﹣1 ＝（a+3﹣1）（a+3+1） ＝（a+2）（a+4）， 故答案为：（a+2）（a+4）； （2）已知a2﹣8b＝12a﹣b2﹣52， 移项得：a2﹣8b﹣12a+b2+52＝0， 变形得：a2﹣12a+36+b2﹣8b+16＝0， 即（a2﹣12a+36）+（b2﹣8b+16）＝0， 则（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0， 那么a﹣6＝0，b﹣4＝0， 解得：a＝6，b＝4， 则2a+b＝2×6+4＝16； （3）﹣2x2﹣2xy﹣y2+8x﹣7 ＝﹣x2﹣2xy﹣y2﹣x2+8x﹣7 ＝﹣x2﹣2xy﹣y2﹣x2+8x﹣16+16﹣7 ＝﹣（x2+2xy+y2）﹣（x2﹣8x+16）+9 ＝﹣（x+y）2﹣（x﹣4）2+9≤9， 当x+y＝0，x﹣4＝0时，原式有最大值9， 即x＝4，y＝﹣4时，原式有最大值9， 故答案为：4；﹣4；9． 4．（2023春•金东区期末）【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题，现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式a2+2ab+b2＝（a+b）2，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． （1）【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）． （2）【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式2a2+5ab+3b2因式分解，并画出图形． （3）【拓展迁移】事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把a3+4a2b+3ab2进行因式分解并写出因式分解结果． 【分析】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案 （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案； （3）我们可以把a3+4a2b+3ab2看作是一个高为a，底面积为a2+4ab+3b2的长方体的体积，只需要仿照题意画出a2+4ab+3b2的示意图得到其因式分解的结果即可得到答案， 【解答】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， ∴图3的面积为a2+3ab+2b2， 又∵图3的面积又等于一个长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形面积， ∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）； （2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的． 同理可得2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）； （3）解：观察可知a3+4a2b+3ab2＝a（a2+4ab+3b2）， ∴我们可以把a3+4a2b+3ab2看作是一个高为a，底面积为a2+4ab+3b2的长方体的体积， 如图所示，是由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成的， ∴a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b）， ∴a3+4a2b+3ab2＝a（a+b）（a+3b）． 5．（2022春•江山市期末）完全平方公式中含有四个代数式：a+b、a﹣b、ab、a2+b2，若已知其中两个代数式的值就能利用公式计算出另两个代数式的值，有些复杂的试题还可以通过“换元”化繁为简，再利用完全平方公式解决． 问题：已知x+＝3，求x2+的值． 分析：将x看成a，看成b，则问题转化为，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． （1）请你按照上述分析或用自己的方法，求出问题中x2+的值． （2）已知（2021﹣x）（2022﹣x）＝100． ①求（x﹣2021）2+（2022﹣x）2的值． ②求（2x﹣4043）2的值． 【分析】（1）先求出，再根据完全平方公式展开得，即可求解； （2）令a＝2021﹣x，b＝2022﹣x，a+b＝4043﹣2x，a﹣b＝﹣1，ab＝100，①根据（x﹣2021）2+（2022﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，即可求解；②根据（2x﹣4043）2＝（4043﹣2x）2＝（a+b）2＝a2+b2+2ab＝（a﹣b）2+4ab，即可求解． 【解答】解：（1）∵， ∴； （2）①令a＝2021﹣x，b＝2022﹣x，a+b＝4043﹣2x，a﹣b＝﹣1，ab＝100， （x﹣2021）2+（2022﹣x）2 ＝a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab ＝1+200 ＝201； ②令a＝2021﹣x，b＝2022﹣x，a+b＝4043﹣2x，a﹣b＝﹣1，ab＝100， ∴（2x﹣4043）2 ＝（4043﹣2x）2 ＝（a+b）2 ＝a2+b2+2ab ＝（a﹣b）2+4ab ＝1+400 ＝401． 6．（2022春•拱墅区校级期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的传承数． （1）若a＝﹣1，b＝2，求a，b的传承数； （2）若a＝1，b＝x2，且，求a，b的“传承数”； （3）若a＝2n+1，b＝n﹣1，且a，b的传承数c是一个整数，请直接写出整数n的值． 【分析】（1）利用题中的新定义求出a，b的传承数即可； （2）利用题中的新定义求出a，b的传承数即可； （3）根据a与b表示出传承数，由c为整数确定出整数n的值即可． 【解答】解：（1）根据题意得：a，b的传承数c＝﹣a+b＝﹣（﹣1）+2＝﹣+1+2＝2； （2）∵a＝1，b＝x2，x+＝3， ∴a，b的传承数c＝﹣a+b＝﹣1+x2＝（x+）2﹣3＝9﹣3＝6； （3）a＝2n+1，b＝n﹣1， ∴a，b的传承数c＝﹣a+b ＝﹣（2n+1）+n﹣1 ＝﹣n﹣2 ＝﹣n﹣2 ＝﹣n+， ∵c为整数， ∴n﹣1＝﹣1或1或﹣3或3， 解得：n＝0或2或﹣2或4． 7．（2023春•金东区期末）阅读以下微信群聊，完成任务． 任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？ 任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？ 任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？ 【分析】（任务一）根据聊天信息，确定该“旅行团”的总人数．分别计算5座车和7座车每人的价格，从而判断哪种车更划算．根据26÷4＝6（辆）…2（人），尽可能地坐5座车，数量从7开始，依次递减，可有多种方案，分别列出，根据打车费用判断哪种方案最划算； （任务二）根据题意可知，小绿家要2间“亲子家庭房”，“我”家要2间“亲子家庭房”，共4间“亲子家庭房”，花费3000元．由此可以计算每间“亲子家庭房”的价格，从而算出小胡家的两间“亲子家庭房”的花费； （任务三）设该“旅行团”购买了“380”的门票x张，则购买了“580”的门票为（26﹣x）张．设“我”朋友一家6人，每人的票价为m元．由此得380x+580（26﹣x）＝6m，解得x＝（x为整数，且x≤26）．将m（7种票价）分别代入，求出符合条件的x值和对应（26﹣x）的值． 【解答】解：（任务一）由微信聊天记录可知，小骆家5人，小红家6人，小雷家6人，小绿家4人，“我”家5人，共26人． ∵420÷（5﹣1）＝105（元/人），650÷（7﹣1）≈108.33（元/人）， ∴尽可能坐五座车更划算． 26÷4＝6（辆）…2（人）． 打车方案为： ①7辆5座车，0辆7座车，费用为7×420＝2940（元）； ②6辆5座车，1辆7座车，费用为6×420+650＝3170（元）； ③5辆5座车，1辆7座车，费用为5×420+650＝2750（元）； ④4辆5座车，2辆7座车，费用为4×420+2×650＝2980（元）； ⑤3辆5座车，3辆7座车，费用为3×420+3×650＝3210（元）； ⑥2辆5座车，3辆7座车，费用为2×420+3×650＝2790（元）； ⑦1辆5座车，4辆7座车，费用为420+4×650＝3020（元）； ⑧0辆5座车，5辆7座车，费用为5×650＝3250（元）． ∴有8种打车方案．打5辆5座车，1辆7座车比较划算． （任务二）根据题意可知，小绿家要2间“亲子家庭房”，“我”家要2间“亲子家庭房”，共4间“亲子家庭房”，花费3000元． ∴每间“亲子家庭房”的价格是3000÷4＝750（元）， ∴小胡家的两间“亲子家庭房”共花费750×2＝1500（元）． （任务三）设该“旅行团”购买了“380”的门票x张，则购买了“580”的门票为（26﹣x）张．设“我”朋友一家6人，每人的票价为m元． ∴380x+580（26﹣x）＝6m， ∴x＝（x为整数，且x≤26）． ①当m＝380时，x＝＝64（不符合题意）； ②当m＝580时，x＝＝58（不符合题意）； ③当m＝880时，x＝＝49（不符合题意）； ④当m＝1280时，x＝＝37（不符合题意）； ⑤当m＝1880时，x＝＝19（符合题意）； ⑥当m＝2880时，x＝＝﹣11（不符合题意）； ⑦当m＝3880时，x＝＝﹣41（不符合题意）． ∴该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各19张和7张． 8．（2023春•诸暨市期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）． 情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有35cm×35cm的正方形纸板200张，35cm×50cm的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为50cm×70cm，乙纸板尺寸为35cm×85cm，丙纸板尺寸为35cm×70cm．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题： （1）情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ （2）情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为100%？请通过计算说明理由． （3）情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为100%，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【分析】（1）设竖式无盖的纸盒x个，横式无盖的纸盒y个，由用库存纸板制作两种无盖纸盒，恰好将库存纸板用完，列出方程组，即可求解； （2）设竖式无盖的纸盒m个，横式无盖的纸盒n个，由使得纸板的使用率为100%，列出方程组，即可求解； （3）设竖式无盖的纸盒a个，横式无盖的纸盒b个，丙种纸板为（240+c）张，列出方程组，可求b＝364+，由b，c为正整数，0≤c≤9，可求c的值，即可求解． 【解答】解：（1）设竖式无盖的纸盒x个，横式无盖的纸盒y个， 由题意可得：， 解得：， 答：竖式无盖的纸盒40个，横式无盖的纸盒80个； （2）设竖式无盖的纸盒m个，横式无盖的纸盒n个， 由题意可得：， 解得：， 答：通过做200个竖式无盖纸盒和400个横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为100%； （3）设竖式无盖的纸盒a个，横式无盖的纸盒b个，丙种纸板为（240+c）张， 由题意可得：， 解得：b＝364+， ∵b，c为正整数，0≤c≤9， ∴c＝5， ∴丙纸板的张数为245张． 9．（2023春•宁波期末）数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值． （1）小北的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝　3﹣2z　； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝　z+1　，∴x+y+z＝4． 第5页（共6页） 小仑的方法：①+②：　5x+5y+5z＝20　③；∴　③÷5　得：x+y+z＝4． （2）已知，试求解x+y+z的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 【分析】（1）依据题意，根据三元一次方程组的解法进行计算可以得解； （2）依据题意，仿照（1）进行消元可以得解； （3）依据题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，从而，变形可得2x+3y+z＝3.2，进而可得200x+300y+100z，故可得解． 【解答】解：（1）由题意，小北的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝3﹣2z； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1， ∴x+y+z＝4． 小仑的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③； ∴③÷5得：x+y+z＝4． 故答案为：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；③÷5． （2）由题意，， ∴①×3+②，整理得：z＝6﹣2x； ①+②×2，整理得，y＝x﹣3， ∴x+y+z＝3． （3）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元， 可得方程组， ∴②﹣①得，3y＝1.2， ∴y＝0.4． 又①×8﹣②×5，整理得，2x+z＝2． ∴2x+3y+z＝3.2． ∴200x+300y+100z＝320． 答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元． 10．（2023春•嘉兴期末）甲、乙两小区准备安装A、B两款智能快递柜，每个B款能满足快递需求人数比A款多20人．已知甲、乙两小区有快递需求居民分别有280人、420人．如果甲小区全部安装A款智能快递柜，乙小区全部安装B款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同． （1）设每个A款能满足快递需求人数为m人，求m的值． （2）如果甲小区安装A款和B款智能快递柜共7个，其中安装A款的个数比安装B款的2倍还多1个，分别求甲小区A款和B款的安装个数，并说明这样安装能否满足甲小区所有居民的快递需求． （3）已知购买A款需6000元/个，购买B款需6800元/个，请你帮助乙小区设计一个购买方案，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，并说明理由． 【分析】（1）根据A、B两款智能快递柜能满足快递需求人数间的关系，可得出每个B款能满足快递需求人数为（m+20）人，根据“如果甲小区全部安装A款智能快递柜，乙小区全部安装B款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同”，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设甲小区安装x个B款智能快递柜，则安装（2x+1）个A款智能快递柜，根据甲小区安装A款和B款智能快递柜共7个，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，将其代入40（2x+1）+（40+20）x中，可求出7个智能快递柜可满足快递需求人数，再将其与280比较后，即可得出结论； （3）购买3个A款智能快递柜，5个B款智能快递柜，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，设购买a个A款智能快递柜，b个B款智能快递柜，根据购买的智能快递柜可满足快递需求人数为420人，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为自然数，可得出各购买方案，再求出各购买方案所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）∵每个B款能满足快递需求人数比A款多20人，且每个A款能满足快递需求人数为m人， ∴每个B款能满足快递需求人数为（m+20）人． 根据题意得：＝， 解得：m＝40， 经检验，m＝40是所列方程的解，且符合题意． 答：m的值为40； （2）设甲小区安装x个B款智能快递柜，则安装（2x+1）个A款智能快递柜， 根据题意得：x+2x+1＝7， 解得：x＝2， ∴40（2x+1）+（40+20）x＝40×（2×2+1）+（40+20）×2＝320， ∵320＞280， ∴这样安装能满足甲小区所有居民的快递需求； （3）购买3个A款智能快递柜，5个B款智能快递柜，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，理由如下： 设购买a个A款智能快递柜，b个B款智能快递柜， 根据题意得：40a+（40+20）b＝420， ∴b＝7﹣a， 又∵a，b均为自然数， ∴或或， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买3个A款智能快递柜，5个B款智能快递柜，所需费用为6000×3+6800×5＝52000（元）； 方案2：购买6个A款智能快递柜，3个B款智能快递柜，所需费用为6000×6+6800×3＝56400（元）； 方案3：购买9个A款智能快递柜，1个B款智能快递柜，所需费用为6000×9+6800×1＝60800（元）． ∵52000＜56400＜60800， ∴购买3个A款智能快递柜，5个B款智能快递柜，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省． 11．（2023春•新昌县期末）根据以下素材，探索完成任务， 设计购买与兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买成青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券m（1＜m＜10）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同． 凭此券可兑换米鸭蛋1个或咸青团2个 问题解决 任务1 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价． 任务2 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定m的值，并说明小明妈妈的兑换方式． 【分析】任务1：设咸青团的单价为x元/个，则米鸭蛋的单价为2x元/个，列分式方程，解方程即可求解； 任务2：设小明妈妈准备买咸青团a个，米鸭蛋b个，根据素材2可列方程：2.5a+5b＝200，再结合a，b都不少于20，且a是10的倍数，即可作答； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券m（1＜m＜10）张，设用t（0≤t＜10）张兑换2t个咸青团，余下的（m﹣t）张兑换（m﹣t）个米鸭蛋，即：m≥t，根据任务2中的购买方案，结合兑换之后米鸭蛋与咸青团个数相等，可以列出二元一次方程，再结合1＜m＜10，0≤t＜10，m≥t，m、t均为正整数，即可作答． 【解答】解：任务1：设咸青团的单价为x元/个，则米鸭蛋的单价为2x元/个， 根据素材1可列方程：， 解得x＝2.5， 经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝5（元/个） 答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个． 任务2：设小明妈妈准备买咸青团a个，米鸭蛋b个，根据素材2可列方程：2.5a+5b＝200， ∴a+2b＝80， ∵a，b都不少于20，且a是10的倍数， ∴，，， 答：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个． 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券m（1＜m＜10）张， 设用其中的t（0≤t＜10）张兑换2t个咸青团，余下的（m﹣t）张兑换（m﹣t）个米鸭蛋， 即：m≥t， 结合任务2可知，对于方案A，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，可列方程：20+2t＝30+（m﹣t）， 即：m＝3t﹣10， ∵1＜m＜10，0≤t＜10，m≥t，m、t均为正整数， ∴当t＝5时，m＝5，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当t＝6时，m＝8，m﹣t＝2，即用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案B，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，可列方程：30+2t＝25+（m﹣t），即m＝3t+5， ∵1＜m＜10，0≤t＜10，m≥t，m、t均为正整数， ∴当t＝0时，m＝5，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当t＝1时，m＝8，m﹣t＝7，即用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案C，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，可列方程：40+2t＝20+（m﹣t），即m＝3t+20≥20，不符合题意舍去； 综上：小明妈妈的兑换方式有四种：当总计有5张兑换券时，即m＝5时，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时，即m＝8时，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋． 12．（2023春•镇海区期末）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． （1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝45°，则∠AED＝　75　°； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°求∠EKD的度数． 【分析】（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得∠D＝∠AHE＝45°，再根据∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+45°＝75°； （2）依据AB∥CD，可得∠EAF＝∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角，即可得到∠EHG＝∠AED+∠EDG，即∠EAF＝∠AED+∠EDG； （3）设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，进而得出∠EDK＝α﹣2°，依据∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，可得3α＝22°+2α﹣4°，求得∠EDK＝16°，即可得出∠EKD的度数． 【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H， ∵AB∥CD， ∴∠D＝∠AHE＝45°， ∵∠AED是△AEH的外角， ∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+45°＝75°， 故答案为：75； （2）∠EAF＝∠AED+∠EDG． 理由：∵AB∥CD， ∴∠EAF＝∠EHC， ∵∠EHC是△DEH的外角， ∴∠EHG＝∠AED+∠EDG， ∴∠EAF＝∠AED+∠EDG； （3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2， 设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α， ∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI， 又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°， ∴∠EDK＝α﹣2°， ∵DI平分∠EDC， ∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°， ∵AB∥CD， ∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG， 即3α＝22°+2α﹣4°， 解得α＝18°， ∴∠EDK＝16°， 在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°． 13．（2023春•江北区期末）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线CD上的一个动点． （1）如图1，点P在线段CD上，∠PAC＝30°，∠PBD＝45°，则∠APB＝　75°　； （2）如果点P运动到C，D之间时，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由； （3）若点P在C，D两点的外侧运动时（点P与点C，D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生改变？请说明理由． 【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据平行线的性质即可得到，∠APE＝∠PAC＝30°，∠BPE＝∠PBD＝45°，根据∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD＝75°，即∠APB＝75°； （2）过点P作PE∥l1，根据平行线的性质即可得到，∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD，根据∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，可得∠APB＝∠PAC+∠PBD； （3）根据（1）的方法，过点P作PE∥l1，根据平行线的性质，可得∠APE＝∠PAC，∠PBD＝∠BPE，图2中根据∠APB＝∠APE﹣∠BPE，可得∠PAC＝∠APB+∠PBD；图3中，根据∠APB＝∠BPE﹣∠APE，可得∠PBD＝∠PAC+∠APB． 【解答】解：（1）∠APB＝∠PAC+∠PBD， 如图1，过点P作PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC＝30°， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD＝45°， ∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD＝30°+45°＝75°， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD＝75°； 故答案为：75°； （2）∠APB＝∠PAC+∠PBD， 如图1，过点P作PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD， ∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD； （3）不成立， 如图2： ∠PAC＝∠APB+∠PBD， 理由：过点P作PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD， ∵∠APB＝∠APE﹣∠BPE＝∠PAC﹣∠PBD， ∴∠PAC＝∠APB+∠PBD； 如图3： ∠PBD＝∠PAC+∠APB， 理由：过点P作PE∥l1， ∴∠APE＝∠PAC， ∵l1∥l2， ∴PE∥l2， ∴∠BPE＝∠PBD， ∵∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠PBD﹣∠PAC， 14．（2023春•海曙区期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E． （1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°； （2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数； （3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD＝∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是　3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP　． 【分析】（1）如图1中，过E作EF∥a．利用平行线的性质即可解决问题． （2）如图2中，作FM∥a，GN∥b，设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ADG＝∠CDG＝y，可得x+y＝45°，证明∠AFB＝180°﹣（2y+x），∠CGD＝180°﹣（2x+y），推出∠AFB+∠CGD＝360°﹣（3x+3y）即可解决问题． （3）分两种情形分别画出图形求解即可． 【解答】（1）证明：如图1中，过E作EF∥a． ∵a∥b， ∴a∥b∥EF， ∵AD⊥BC， ∴∠BED＝90°， ∵EF∥a， ∴∠ABE＝∠BEF， ∵EF∥b， ∴∠ADC＝∠DEF， ∴∠ABC+∠ADC＝∠BED＝90°． （2）解：如图2中，作FM∥a，GN∥b， 设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ADG＝∠CDG＝y， 由（1）知：2x+2y＝90°，x+y＝45°， ∵FM∥a∥b， ∴∠BFD＝2y+x， ∴∠AFB＝180°﹣（2y+x）， 同理：∠CGD＝180°﹣（2x+y）， ∴∠AFB+∠CGD＝360°﹣（3x+3y）， ＝360°﹣3×45°＝225°． （3）如图，设PN交CD于E． 当点N在∠DCB内部时，∵∠CIP＝∠PBC+∠IPB， ∴∠CIP+∠IPN＝∠PBC+∠BPN+2∠IPE， ∵PN平分∠IPB， ∴∠EPB＝∠EPI， ∵AB∥CD， ∴∠NPB＝∠CEN，∠ABC＝∠BCE， ∵∠NCE＝∠BCN， ∴∠CIP+∠IPN＝3∠PEC+3∠NCE＝3（∠NCE+∠NEC）＝3∠CNP． 当点N′在直线CD的下方时，同法可知：∠CIP+∠CNP＝3∠IPN， 综上所述：3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP． 故答案为：3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP． 15．（2023春•拱墅区期末）如图，直线CD，EF分别交直线AB于点G，H，射线GI，HJ分别在∠CGB和∠EHB的内部，且∠CGB＝2∠EHB． （1）若∠CGB和∠EHB互补． ①求∠EHB的度数； ②当∠CGI＝2∠IGB，且GI∥HJ时，求∠EHJ的度数； （2）设∠CGI＝m∠IGB，∠EHJ＝n∠JHB．若GI∥HJ，求m，n满足的等量关系． 【分析】（1）①由∠CGB和∠EHB互补，∠CGB＝2∠EHB可得出2∠EHB+∠EHB＝180°，据此可求出∠EHB的度数； ②先求出∠IGB＝40°，由GI∥HJ得∠JHB＝∠IGB＝40°，结合图形根据①的结论可得∠EHJ的度数； （2）由GI∥HJ得∠IGB＝∠JHB，再设∠IGB＝α，则∠JHB＝α，∠CGI＝m∠IGB＝mα，∠EHJ＝n∠JHB＝nα，进而可得出∠CGB＝∠CGI+∠IGB＝（m+1）α，∠EHB＝∠EHJ+∠JHB＝（n+1）α，然后再根据∠CGB＝2∠EHB即可得出m，n满足的等量关系． 【解答】解：（1）①∵∠CGB和∠EHB互补． ∴∠CGB+∠EHB＝180°， 又∠CGB＝2∠EHB， ∴2∠EHB+∠EHB＝180°， ∴∠EHB＝60°． ②由①知：∠EHB＝60°， ∴∠CGB＝2∠EHB＝120°， ∴∠CGI+∠IGB＝120°， 又∵∠CGI＝2∠IGB， ∴2∠IGB+∠IGB＝120°， ∴∠IGB＝40°， ∵GI∥HJ， ∴∠JHB＝∠IGB＝40°， ∴∠EHJ＝∠EHB﹣∠JHB＝60°﹣40°＝20°， （2）∵GI∥HJ， ∴∠IGB＝∠JHB， 设∠IGB＝α，则∠JHB＝α， ∴∠CGI＝m∠IGB＝mα，∠EHJ＝n∠JHB＝nα， ∴∠CGB＝∠CGI+∠IGB＝mα+α＝（m+1）α，∠EHB＝∠EHJ+∠JHB＝nα+α＝（n+1）α， 又∵∠CGB＝2∠EHB， ∴（m+1）α＝2（n+1）α， ∴m＝2n+1， 即m，n满足的等量关系是：m＝2n+1． 16．（2023春•镇海区校级期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当α为 　15　度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【分析】（1）通过画图，即可求解； （2）分①当0°＜α≤45°，45°＜α≤90°、α＞90°时3种情况，画图计算即可； （3）分AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、AE∥BC，DE∥AC五种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）当α＝15°时，AD∥BC， 图形如下： 故答案为15； （2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β， ①如图，当0°＜α≤45°时， α+β＝90°，α+γ＝45°， 故β﹣γ＝45°； ②当45°＜α≤90°时， 同理可得：γ+β＝45°， ③当90°＜α＜180°时， 同理可得：γ﹣β＝45°； （3）①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3； ②当DE∥AB时，α＝45°，t＝9； ③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21； ④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27； ⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30； 综上，t＝3或9或21或27或30． 17．（2022春•德清县期末）如图1，已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED． （1）求证：HG∥EF； （2）如图2，FK平分∠AFE交CD于点K，EH∥KF，GM平分∠HGB，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠GHE的度数； （3）如图3，FK平分∠AFE交CD于点K，EH∥KF，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，若∠KFE：∠MGH＝m：n，∠GME＝60°，求m：n的值．（请直接写出答案） 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AFE＝∠FED，结合题意即可得出∠AFE＝∠AGH，从而证明HG∥EF； （2）如图，过点H作HI∥AB，即得出HI∥AB∥CD．由∠KFE：∠MGH＝13：5，可设∠KFE＝13x，则∠MGH＝5x．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程26x＝180°﹣10x，解出x，从而可求出答案； （3）如图，过点M作MN∥AB．由题意可设∠KFE＝my，则∠MGH＝ny．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程组，解得，最后作比求值即可． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠FED． ∵∠AGH＝∠FED， ∴∠AFE＝∠AGH， ∴HG∥EF； （2）如图，过点H作HI∥AB． ∴HI∥AB∥CD． ∵∠KFE：∠MGH＝13：5， 故可设∠KFE＝13x，则∠MGH＝5x． ∵HI∥AB∥CD， ∴∠AKF＝∠EKF，∠BGH＝∠IHG，∠DEH＝∠IHE． ∵FK平分∠AFE，GM平分∠HGB， ∴∠AKF＝∠EFK＝13x，∠BGH＝2∠MGH＝10x， ∴∠AFE＝26x，∠AGH＝180°﹣∠BGH＝180°﹣10x． 由（1）可知HG∥EF， ∴∠AGH＝∠AFE， ∴26x＝180°﹣10x， 解得：x＝5°． ∴∠IHG＝10x＝50°，∠EKF＝13x＝65°． ∵EH∥KF， ∴∠EKF＝∠DEH＝∠IHE＝65°， ∴∠GHE＝∠IHG+∠IHE＝50°+65°＝115°； （3）如图，过点M作MN∥AB． 由题意可设∠KFE＝my，则∠MGH＝ny． ∵AB∥CD，FK平分∠AFE ∴∠EKF＝∠KFE＝∠AKF＝my，∠AFE＝2my． ∵EH∥KF， ∴∠DEH＝∠EKF＝my． ∵EM平分∠HED， ∴． ∵MN∥AB，AB∥CD ∴AB∥CD∥MN， ∴． ∵GM平分∠HGB， ∴∠BGM＝∠MGH＝ny，∠BGH＝2ny， ∴∠AGH＝180°﹣∠BGH＝180°﹣2ny． ∵MN∥AB， ∴∠BGM＝∠GMN＝ny． ∴∠GME＝∠GMN+∠NME，即． 由（1）可知HG∥EF， ∴∠AGH＝∠AFE， ∴2my＝180°﹣2ny． 即， 解得：， ∴． 18．（2022春•江山市期末）已知△ABC与△ADE共顶点A，∠BAC＝∠DAE＝90°，顶点B和C在直线l1上（点B在点C的左侧），顶点D和E在直线l2上（点D在点E的左侧），且直线l1∥l2． （1）如图1，顶点A在l1与l2之间，判断∠BAD与∠ABC+∠ADE是否相等，并说明理由． （2）如图2，顶点A在l1与l2之间，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，若∠BAD＝70°，求∠BFE的度数． （3）若顶点A在直线l2的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，记∠BAD＝α，∠BFE＝β，请探究α与β的数量关系，并直接写出结论． 【分析】（1）过点A作AG∥l1，根据平行线的性质直接求解即可得到结论； （2）根据（1）中的方法可知∠BAD＝∠ABC+∠ADE＝70°，∠BFE＝∠1+∠2，根据角平分线的性质及邻补角的定义等量代换即可得到结论； （3）根据点D与∠ABF的关系分五种情况求解． 【解答】解：（1）∠BAD＝∠ABC+∠ADE． 过点A作AG∥l1，如图所示： ∵l1∥l2， ∴AG∥l1∥l2， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠1+∠2， ∴∠BAD＝∠ABC+∠ADE； （2）如图所示： 由（1）可知∠BAD＝∠ABC+∠ADE＝70°， 同（1）理可得∠BFE＝∠1+∠2， ∵BF平分∠ABH，EF平分∠AED， ∴， ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝90°， ∴，，∴； （3）令∠ABF＝x，∠AEF＝y， 根据角平分线定义得设：∠FBH＝x，∠FED＝y， 过F作FG∥l1，过A作AJ∥l1， ∴FG∥AJ∥l1∥l2， 或， 解得：90°＝2β+α或90°＝2β﹣α． 19．（2023春•嵊州市期末）将一副直角三角板ABC和DEF如图（1）放置，此时F，B，E，C四点在同一条直线上，点A在边DF上，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，∠BAC＝45°． （1）求∠CAD的度数； （2）将图（1）中的三角板DEF绕点A以每秒10°的速度，按顺时针方向旋转一定的角度α°（0°＜α°＜360°）后，记为三角板D'E'F'，设旋转的时间为t秒． ①当旋转至图（2）时，此时D'E'⊥AC，求α的值； ②若在旋转过程中，三角板D'E'F'的某一边恰好与BC所在的直线平行，直接写出t的值． 【分析】（1）根据外角∠CAD＝∠F+∠C得出结论即可； （2）①根据图（1）中起始位置的夹角和图（2）中位置的夹角，求出α的值即可； ②分D'E'∥BC和D'F'∥BC和E'F'∥BC三种情况，分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠C＝45°，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CAD＝∠F+∠C＝60°+45°＝105°； （2）①由图（1）知，旋转前AC和DE的夹角为45°， 由图（2）知，旋转后AC和D'E'的夹角为90°， ∴旋转角为90°﹣45°＝45°， 故α的值为45； ②（Ⅰ）当D'E'∥BC时， 如图： 或 ∴此时，α＝90或270， 即10°t＝90°或10°t＝270°， 解得t＝9或t＝27； （Ⅱ）当D'F'∥BC时， 如图： 或 ∴此时，α＝60或240， 即10°t＝60°或10°t＝240°， 解得t＝6或t＝24； （Ⅲ）当E'F'∥BC时， 如图： ∴此时，α＝180， 即10°t＝180°， 解得t＝18， 综上所述，t的值为6，9，18，24，27． 20．（2023春•东阳市期末）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN． （1）求∠DEQ的度数． （2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤60）． ①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值． ②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边BG∥HK时t的值． 【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题． （2）①首先证明∠GBC＝∠DCN＝30°，由此构建方程即可解决问题． ②分两种情形：如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．根据∠GBN＝∠KRN构建方程即可解决问题．如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．根据∠GBN+∠KRM＝180°构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）如图①中， ∵∠ACB＝30°， ∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°， ∵CE平分∠ACN， ∴∠ECN＝∠ACN＝75°， ∵PQ∥MN， ∴∠QEC+∠ECN＝180°， ∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°， ∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°． （2）①如图②中， ∵BG∥CD， ∴∠GBC＝∠DCN， ∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°， ∴∠GBC＝30°， ∴3t＝30， ∴t＝10s． ∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为10s． ②如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R． ∵BG∥KR， ∴∠GBN＝∠KRN， ∵∠QEK＝60°+2t，∠K＝∠QEK+∠KRN， ∴∠KRN＝90°﹣（60°+2t）＝30°﹣2t， ∴3t＝30°﹣2t， ∴t＝6s． 如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R． ∵BG∥KR， ∴∠GBN+∠KRM＝180°， ∵∠QEK＝60°+2t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM， ∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣2t）＝2t﹣30， ∴3t+2t﹣30＝180°， ∴t＝42s． 综上所述，满足条件的t的值为6s或42s． 21．（2023春•宁波期末）【基础巩固】（1）如图1，已知AD∥EF∥BC，求证：∠AEB＝∠DAE+∠CBE； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点．∠AEB＝70°，∠DAE＝30°，求∠CBE的度数； 【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点．若AE平分∠DAC，∠CAB＝∠ABC． ①试求出∠BAE的度数； ②已知∠AEB＝∠ABE，∠EBC＝30°，点G是直线AD上的一个动点，连接CG并延长． 2.1若CA恰好平分∠BCD，当CG与四边形ABCD中一边所在直线垂直时，∠ACG＝　60°或15°或120　°； 2.2如图4，若CG是∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，与AE交于点P，且∠BFC＝α°，则∠ADC＝　2α　°（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）由平行线的性质可得∠DAE＝∠AEF，∠FEB＝∠EBC，即可求解； （2）由平行线的推论可得AD∥BC∥EF，由（1）的可求解； （3）①由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC＝180°，由三角形内角和定理可求∠BAE＝90°； ②2.1先求出∠ACB的度数，再分四种情况讨论，由角的数量关系可求解； 2.2分别求出∠FAC，∠ACF的度数，由平行线的性质可求解． 【解答】（1）证明：∵AD∥EF∥BC， ∴∠DAE＝∠AEF，∠FEB＝∠EBC， ∴∠AEB＝∠AEF+∠BEF＝∠DAE+∠CBE； （2）解：如图2，过点E作EF∥AD，交AB于F， ∵AD∥BC，EF∥AD， ∴AD∥BC∥EF， 由（1）可知：∠AEB＝∠DAE+∠CBE， ∵∠AEB＝70°，∠DAE＝30°， ∴∠CBE＝40°； （3）解：①∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠CAE， 又∵∠CAB＝∠ABC， ∴∠ABC+∠CAB+∠DAE+∠CAE＝180°， ∴∠BAE＝90°； ②2.1∵∠BAE＝90°，∠AEB＝∠ABE， ∴∠ABE＝∠AEB＝45°， ∵∠EBC＝30°， ∴∠ABC＝75°＝∠CAB， ∴∠ACB＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∵CA恰好平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD＝30°， 当CG⊥BC或CG⊥AD时，∠ACG＝90°﹣30°＝60°； 当CG⊥AB时，∠GCB＝90°﹣75°＝15°， ∴∠ACG＝30°﹣15°＝15°； 当CG⊥CD时，∠ACG＝90°+30°＝120°， 综上所述：∠ACG的度数为60°或15°或120°， 故答案为：60°或15°或120； 2.2∵CG是∠ACD的平分线， ∴∠ACG＝∠DCG， ∵∠ACB＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝30°，∠FAG＝∠ABC＝75°， ∴∠BAD＝105°＝∠FAC， ∴∠ACF＝180°﹣105°﹣α°＝75°﹣α°， ∴∠ACD＝2∠ACF＝150°﹣2α°， ∴∠BCD＝180°﹣2α°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ADC＝2α°， 故答案为：2α． 22．（2022春•拱墅区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点． （1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α＝5°，则∠1+∠2＝　140°　； （2）若点P在斜边AB上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 　∠1+∠2＝90°+∠α　； （3）如图③，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请画出图形并直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系； （4）若点P运动到△ABC形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由． 【分析】（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PDA＝∠PCD+∠CPD，∠BEP＝∠PCE+∠CPE，再表示出∠PDA+∠BEP即可； （2）利用（1）中所求得出答案即可； （3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可； （4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出． 【解答】解：（1）如图，连接PC， ∵∠PDA＝∠PCD+∠CPD，∠BEP＝∠PCE+∠CPE， ∴∠PDA+∠BEP＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C， ∵∠DPE＝∠α＝50°，∠C＝90°， ∴∠PDA+∠BEP＝50°+90°＝140°， 故答案为：140°； （2）连接PC， ∵∠PDA＝∠PCD+∠CPD，∠BEP＝∠PCE+∠CPE， ∴∠PDA+∠BEP＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C， ∵∠C＝90°，∠DPE＝∠α， ∴∠PDA+∠BEP＝90°+∠DPE； 即：∠1+∠2＝90°+∠DPE， 故答案为：∠1+∠2＝90°+∠DPE； （3）如图， ∵∠BEP＝∠C+∠PFA+∠DPE， ∴∠BEP﹣∠PFA＝90°+∠DPE； 如图， ∠DPE＝0°，∠BEP＝∠PDA+90°； 如图， ∵∠BEP＝∠PFA﹣∠FPD+∠C， ∴∠BEP﹣∠PFA＝∠DPE﹣90°． 综上所述；∠2﹣∠1＝90°+∠DPE；∠2＝∠1+90°；∠1﹣∠2＝∠DPE﹣90°． （4） ∵∠PFD＝∠EFC， ∴180°﹣∠PFD＝180°﹣∠EFC， ∴∠α+180°﹣∠PDA＝∠C+180°﹣∠BEP， ∴∠BEP＝90°+∠PDA﹣α． 23．（2023春•温州期末）根据以下素材，探索解决任务． 确定什锦糖的销售量 素材1 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克． 素材2 商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示，小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元． 素材3 小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖． 问题解决 任务1 确定A型单价 每份什锦糖A需要多少元？ 任务2 确定B型配比 每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？ 任务3 确定销售量 本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？ 【分析】任务一：根据总价÷数量＝单价进行计算即可； 任务二：设未知数列方程组求解即可； 任务三：设什锦糖A买a份，什锦糖B买b份，由题意得70a+16b＝870，根据正整数解求出a、b的值，再求出相应甲糖果、乙糖果的质量即可． 【解答】解：任务一：每份什锦糖A的单价为15×2+20×2＝70（元）， 答：每份什锦糖A的单价为70元； 任务二：设每份什锦糖B需要甲糖果x千克，需要乙糖果y千克，由题意得， ， 解得， 即每份什锦糖B需要甲糖果4千克，需要乙糖果1千克； 任务三：设什锦糖A买a份，什锦糖B买b份，由题意得， 70a+16b＝870， 由于a、b均为正整数， 所以a＝1，b＝10或a＝9，b＝3， 当a＝1，b＝10时，甲糖果：2×1+4×10＝42（千克），乙糖果：2×1+1×10＝12（千克）； 当a＝9，b＝3时，甲糖果：2×9+4×3＝30（千克），乙糖果：2×9+1×3＝21（千克）； 答：本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果42千克、12千克或30千克、21千克． 24．（2022春•海曙区期末）【基础巩固】如图1，已知AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为点A，B．若AC＝PB，AP＝BD，探究PC与PD的关系，并说明理由． 【尝试应用】如图2，AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为点A，B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上以同样的速度运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当t＝1时，判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由． 【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，若点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 【分析】【基础巩固】根据SAS证明△ACP和△BPQ全等，进而解答即可； 【尝试应用】根据SAS证明△ACP和△BPQ全等，进而解答即可； 【拓展提高】根据全等三角形的性质得出方程解答即可，注意分类． 【解答】解：【基础巩固】PC＝PD，PC⊥PQ． 理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AP＝BD， AC＝BP， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPD （SAS）， ∴PC＝PD， ∴∠C＝∠BPQ， ∴∠C+∠APC＝90°， ∴∠APC+∠BPQ＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ； 【尝试运用】PC＝PD，PC⊥PQ． 当t＝1s时，AP＝2cm，BQ＝2cm， ∴AP＝BQ， ∵AB＝9cm， ∴BP＝7cm＝AC， 由【基础巩固】中的结论可知：PC＝PQ，PC⊥PQ 【拓展提高】①若设运动时间为y s时△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP＝7cm，AP＝BQ， 可得：7＝9﹣2y，2y＝xy， ∴x＝2，y＝1； ②若设运动时间为y s时，△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xy，2y＝9﹣2y， ∴x＝，y＝， 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时的x值为2或． 25．（2023春•镇海区校级期末）【基础巩固】（1）图1，△ABC中，∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线CD交于点D，证明：； 【尝试应用】（2）如图2，在等边△ABC中，D，E分别是边AB，AC的点，且满足AD＝CE，连接CD，BE，交于点M作∠ADC，∠ABE的角平分线，交于点N． ①证明△ACD≌△CBE； ②求∠DNB的度数； 【拓展提高】（3）在（2）的条件下，连接MN，如图3，当∠DCB＝40°，求∠MND的度数． 【分析】（1）延长BC到T．设∠ABD＝∠DBC＝x，∠ACD＝∠DCT＝y．利用三角形的外角的性质，构建方程组可得结论； （2）①根据SAS证明三角形全等即可； ②利用（1）中结论解决问题即可； （3）分别求出∠NDM，∠DMN，可得结论． 【解答】（1）证明：延长BC到T．设∠ABD＝∠DBC＝x，∠ACD＝∠DCT＝y． 则有， ∴2（x+∠D）＝∠A+2x， ∴∠D＝∠A； （2）①证明：如图2中， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠BCE＝60°，BC＝AB， ∵AD＝CE， ∴△ACD≌△CBE（SAS）； ②解：∵△ACD≌△CBE（SAS）， ∴∠ACD＝∠CBE， ∴∠DMB＝∠CBE+∠BCM＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°， ∵DM平分∠ADM，NB平分∠DBM， 由（1）可知∠N＝∠DMB＝30°； （3）解： ∵∠ADC＝∠DCB+∠ABC．∠ABC＝60°，∠DCB＝40°， ∴∠ADC＝100°， ∵DN平分∠ADC， ∴∠NDM＝∠ADC＝50°， ∵DN平分∠ADC，NB平分∠DBN， ∴NM平分∠DME， ∵∠DME＝180°﹣∠DMB＝120°，NM平分∠DME， ∴∠DMN＝∠DME＝60°， ∴∠MND＝180°﹣∠DNM﹣∠DMN＝180°﹣50°﹣60°＝70°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 $$