精品解析：辽宁省丹东市东港市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023—2024学年度下学期期中教学质量监测八年级数学试题 考试时间：90分钟 满分：100分 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念；根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：第一个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， 第二个图形不是轴对称图形，是中心对称图形， 第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形， 第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第3个图形共1个． 故选：A． 2. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，不等式的性质；由图可知，，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由图可知，，则有 A、，原不等式不成立，本选项不符合题意； B、，原不等式不成立，本选项不符合题意； C、，原不等式成立，本选项符合题意； D、，原不等式不成立，本选项不符合题意； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点，关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特征．根据关于原点对称的点的坐标的横纵坐标互为相反数，求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点，关于原点的对称点的坐标为 故选：A． 4. 将等腰直角绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质．设交于点D，根据旋转的性质可得，，从而得到，再由直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，再由直角三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点D， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到三角形， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：C 5. 如图，的周长为23，和的角平分线交于点O，且于点D，，则的面积为（ ） A. 23 B. 34 C. 39 D. 46 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键． 过点O作于E，于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得，再根据三角形面积计算即可． 【详解】解：如图: 过点O作于E，于F， 的平分线交于O，，，， ∴，， ∴， ∴的面积． 故选D． 6. 函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据函数解析式和一次函数的性质解答即可． 【详解】解：在中，令时，， ∴当时，，故A选项正确； 当时，；时，，故B、C选项不正确； 当时，，故D选项不正确； 故选：A． 7. 如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（ ） A. 145° B. 150° C. 160° D. 165° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、以及三角形内角和定理，根据垂直平分线性质和等腰三角形性质，得到，，再利用三角形内角和定理进行求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵、的垂直平分线交于点O， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 8. 如图，在中，，，点在边上，．将线段沿着的方向平移得到线段，点，分别落在边，上，则的周长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查平移的性质，等腰三角形的性质与判定；根据平移的性质得出，，进而可得根据三角形的周长公式即可进求解 【详解】解：将线段沿着的方向平移得到线段， ，， ，， ，， ， ， 的周长为：（）． 故选B． 9. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等知识．先根据旋转的性质得到，，进而求出，，从而求出，再求出，即可求出． 【详解】解：∵绕直角顶点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 10. 如图，四边形中，，，若，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，延长相交于点E，利用含30度角的直角三角形的性质，得出，进而勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】解：如图，延长相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴四边形的面积为 故选：D． 第二部分非选择题（共80分） 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 不等式的负整数解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查求解一元一次不等式，一元一次不等式整数解，根据不等式的性质求出不等式的解集，找出不等式的整数解即可． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得出， 解得： 所以负整数解为： 故答案为：． 12. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，若点到的距离为，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；由题目作图知，是的平分线，过点作，则，进而求解． 【详解】解：过点作，则， 由题目作图知，是的平分线， 则， 为等腰直角三角形，故， 则为等腰直角三角形，， 故， 则， 故答案为：． 13. 关于的不等式组的解集为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于、的方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组的解集为： ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，于点，则与的关系为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等角对等边，全等三角形的性质与判定，延长交于点，证明得出，，进而根据等角对等边得出，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵ ∴， 又， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 15. 一次函数的图象过点，，与轴交于点，在平面内找到点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题；先待定系数法求得一次函数解析式为，进而得出，当为直角顶点时，过点作轴，过点作于点，证明，得出，同理求得其他几个点的坐标，即可求解． 【详解】解：将，代入 解得： ∴ 当时， ∴ 如图所示，当为直角顶点时，过点作轴，过点作于点， ∴ ∵等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴, ∴即 如图所示， 同理可得 综上所述， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解不等式，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示见详解 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法以及不等式解集在数轴上的表示等知识．根据解一元一次不等式的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、把x的系数化为1”即可解不等式，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 不等式的解得在数轴上表示如图 ． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 所以，原不等式组的解集是 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将平移后，点A的对应点的坐标为，画出平移后的 （2）题中平移的距离是 个单位长度； （3）画出以原点O为对称中心与成中心对称的． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】题目主要考查图形的平移及勾股定理，中心对称图形的作法，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据勾股定理求出平移距离即可； （3）根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点的位置，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 如图，即为所作； 【小问2详解】 解：平移距离为， 故答案为：； 【小问3详解】 如图，即为所作． 19. 某学校举行知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣2分，不答得0分．若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于84分才可以被评为“知识小达人”，则参赛者至少需答对多少题才能被评为“知识小达人”？ 【答案】至少需答对23道题 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 设参赛者需答对x道题才能被评为“知识小达人”，则答错了道题，根据题意可列出关于x的一元一次不等式，解不等式，再根据x的实际意义取值即可． 【详解】解：设参赛者需答对x道题才能被评为“知识小达人”，则答错了道题， 依题意得：， 解得： ， 又x为正整数， x的最小值为23． 答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“知识小达人”． 20. 如图，在中，平分于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，最后根据等角对等边即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质可得，进而求得，再根据直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：∵平分，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∴， 在中， 在中， ∴， 在中，， ∴， ． 21. 某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 （1）如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可以使该月公司所获利润最大？并求出最大利润； （2）某超市到该公司购买乙型果汁有如下两种方案，方案一：乙型果汁一律打9折；方案二：购买168元会员卡后，乙型果汁一律8折．请帮该超市设计出合适的购买方案． 【答案】（1）甲、乙两种型号果汁的产量分别为17万瓶和3万瓶时可以使该月公司所获利润最大，最大利润为108万元 （2）当购买乙型果汁少于280瓶时，按方案1购买所花费用少；当购买乙型果汁等于 280瓶时，两种方案所花费用相同；当购买乙型果汁大于280瓶时，按方案2购买所花费用少 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出不等式和一次函数． （1）设每月生产甲型号果汁x万瓶，则每月生产乙型号果汁万瓶，根据题意列出一元一次不等式，得到，设每月公司所获利润为y万元，根据题意表示出，然后根据一次函数的性质求解即可； （2）设超市需要购买乙型果汁a瓶，表示出方案1需付款元，方案2需付款元，然后分情况讨论即可． 【小问1详解】 设每月生产甲型号果汁x万瓶，则每月生产乙型号果汁万瓶 解得： 设每月公司所获利润为y万元 因为， y 随x 的增大而增大 所以当时y最大 万元， 此时乙型号果汁产量为万瓶 答：甲、乙两种型号果汁的产量分别为17万瓶和3万瓶时可以使该月公司所获利润最大，最大利润为108万元． 【小问2详解】 设超市需要购买乙型果汁a瓶 方案1需付款：元 方案2需付款：元 当 解得 当 解得 当 解得 当购买乙型果汁少于280瓶时，按方案1购买所花费用少； 当购买乙型果汁等于 280瓶时，两种方案所花费用相同； 当购买乙型果汁大于280瓶时，按方案2购买所花费用少． 22. 某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： （1）特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； （2）特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； （3）总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 【答案】（1） （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据等边三角形的性质可得，，进而得出，即可得出，进而等量代换即可得证； （2）过点 作 交于点 ，证明 是等边三角形，则，进而证明，根据得出则，即可证明，得出，等量代换，即可得证； （3）分为两种情况，当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 证明，得出，进而根据即可求解；当在的延长线上时，过点作交的延长线于点，同理可得结论． 【小问1详解】 解：∵在等边中，为的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 【小问2详解】 证明 过点 作 交于点 等边 ， ， 是等边三角形 又 ， ， ， 在 和 中 ， ， ， 【小问3详解】 解：分为两种情况： ①当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴ ∴，，则为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴; ②如图，当在的延长线上时，过点作交的延长线于点 同理可得 ∴ 综上，或 23. （1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出； （2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到； ②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，，根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【详解】解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴， ∴； （2）①． 证明： ∵,， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，， ∴ ∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期期中教学质量监测八年级数学试题 考试时间：90分钟 满分：100分 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点，关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 将等腰直角绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 6 5. 如图，的周长为23，和的角平分线交于点O，且于点D，，则的面积为（ ） A. 23 B. 34 C. 39 D. 46 6. 函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7. 如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（ ） A. 145° B. 150° C. 160° D. 165° 8. 如图，在中，，，点在边上，．将线段沿着的方向平移得到线段，点，分别落在边，上，则的周长为( ) A. B. C. D. 9. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，，，若，，则四边形面积为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共80分） 二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 不等式的负整数解是________． 12. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，若点到的距离为，则的长为_______． 13. 关于不等式组的解集为，则的值为_____． 14. 如图，在中，，于点，则与的关系为_______． 15. 一次函数的图象过点，，与轴交于点，在平面内找到点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标为________． 三、解答题（本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解不等式，并将解集在数轴上表示出来． 17. 解不等式组： 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将平移后，点A的对应点的坐标为，画出平移后的 （2）题中平移的距离是 个单位长度； （3）画出以原点O为对称中心与成中心对称的． 19. 某学校举行知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣2分，不答得0分．若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于84分才可以被评为“知识小达人”，则参赛者至少需答对多少题才能被评为“知识小达人”？ 20. 如图，在中，平分于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，求长． 21. 某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 （1）如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可以使该月公司所获利润最大？并求出最大利润； （2）某超市到该公司购买乙型果汁有如下两种方案，方案一：乙型果汁一律打9折；方案二：购买168元会员卡后，乙型果汁一律8折．请帮该超市设计出合适的购买方案． 22. 某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： （1）特殊情况，探索结论： 当点为中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； （2）特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； （3）总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 23. （1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$