精品解析：甘肃省平凉市庄浪县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023—2024学年第二学期期中考试试题（卷） 八年级 数学 （本套试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，每题给4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若是二次根式，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 5，11，12 B. 5，12，13 C. 4，5，6 D. ，2， 4. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（    ） A. B. C. D. 或 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图字母B所代表的正方形的面积是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 25 C. 7 D. 15 8. 如图，在中，的平分线交于点E，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，的对角线与相交于点O，，若，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 11 10 若 ，则（　　） A. a、b互为相反数 B. a、b互为倒数 C. ab=5 D. a=b 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分） 11. 化简：＝_____． 12. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是___________． 13. 使有意义的x的取值范围为______． 14. 平行四边形的两条对角线长分别是8和10，则平行四边形的其中一条边长有可能是（取整数，写一个即可）______． 15. 在三角形ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则AC的长为__________________. 16. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ． 三、解答题（一）：本大题共5小题，共46分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算题 （1） （2） 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AB长为________，BC的长为________，CD的长为________； （2）连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC各是什么特殊三角形． 19. 求知中学有一块如图所示的四边形空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少钱买草皮？ 20. 在中，E，F是对角线上两点，并且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 21. 已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点． (1)求证：四边形AMCN是平行四边形； (2)若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 23. 如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 24. 化简后求值：已知a=2﹣，b=2+，求的值． 25 观察下列等式： ①；②；③；…… 利用你观察到规律计算：． 26. 勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮在学习完本章知识后，他和星源数学社的其他成员进行了有关知识的探索．请你根据他们的思路完成下列各项内容： 问题解决：如下图中，，分别以其三边向形外作正方形，若，，则______． 变式探究： （1）如下图，若以的三边向形外作等腰直角三角形，，，则、、之间的关系为______． （2）如下图，若分别以三边为直径向形外作半圆，则、、之间的关系为______． 拓展应用：如下图，中，，分别以它的三边向形外作平行四边形，交于P，交于N，且，若平行四边形和平行四边形的面积分别为10和8，则平行四边形的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期期中考试试题（卷） 八年级 数学 （本套试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分，每题给4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若是二次根式，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，求出结果即可． 【详解】解：是二次根式， ， ， 故选：A． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数含分母，故B错误； C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 5，11，12 B. 5，12，13 C. 4，5，6 D. ，2， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项依次判断即可； 【详解】A.，故不符合题意； B. ，故符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：B. 【点睛】本题主要考查利用勾股定理逆定理进行直角三角形的判定，保证计算的准确性是求解本题的关键. 4. 已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（    ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， 分为两种情况：斜边是有一条直角边是， 由勾股定理得：第三边长是； 和都是直角边， 由勾股定理得：第三边长是； 即第三边长是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质即可逐项进行判断． 【详解】A、和不是同类二次根式不能合并计算，故此选项不符合题意； B、和不能合并计算，故此选项不符合题意； C、正确，故此选项符合题意； D、，此选项错误，故此选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6. 如图字母B所代表的正方形的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设字母B所代表的正方形的边长为x，，即可得． 【详解】解：设字母B所代表的正方形的边长为x， ， ， ∴字母B所代表的正方形的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． 7. 已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 25 C. 7 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积． 【详解】依题意得：， ∴， 斜边长， 所以正方形的面积． 故选C． 考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质 点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系． 8. 如图，在中，的平分线交于点E，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，由在中，的平分线交于点E，易证得是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故选：D． 9. 如图，的对角线与相交于点O，，若，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求解 再利用勾股定理求解 从而可得答案． 【详解】解： ，， ， 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，熟练的运用平行四边形的对角线互相平分是解本题的关键． 10. 若 ，则（　　） A. a、b互为相反数 B. a、b互为倒数 C. ab=5 D. a=b 【答案】D 【解析】 【分析】先将a分母有理化，再分析即可． 【详解】∵=， ∴a=b． 故选D. 【点睛】本题考查二次根式有理化，相反数，倒数，乘法，二次根式在化去分母中的根号时，通常可以分子和分母都乘以分母中含根号的式子． 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分） 11 化简：＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质，（a≥0，b≥0），是解答本题的关键． 12. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式与绝对值的化简，解题关键在于利用数轴判断式子的正负．先判断，，然后根据二次根式与绝对值的化简规则对原式进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， 故答案为：． 13. 使有意义的x的取值范围为______． 【答案】x≤9． 【解析】 【详解】解：依题意得：9﹣x≥0．解得x≤9．故答案为x≤9． 14. 平行四边形的两条对角线长分别是8和10，则平行四边形的其中一条边长有可能是（取整数，写一个即可）______． 【答案】5（答案案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，得两条对角线的一半分别是4，5，再根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解． 【详解】解：根据平行四边形的性质，得对角线的一半分别是4和5， 再根据三角形的三边关系，得， 故它的边长可能是5， 故答案为：5（答案案不唯一）． 15. 在三角形ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则AC的长为__________________. 【答案】． 【解析】 【详解】解：根据勾股定理列式计算即可得解： ∵∠C=90°，AB=7，BC=5， ∴． 故答案为：． 16. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ． 【答案】10 【解析】 【详解】因为小正方形的面积为4，所以小正方形的边长为2 因为大正方形的面积为52，所以大正方形的边长为 设：直角三角形的短边为x,有勾股定理得： X=-6（舍去）x=4 所以：直角边的和为：4+4+2=10 三、解答题（一）：本大题共5小题，共46分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算题 （1） （2） 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据二次根式的混合运算的计算法则来计算． （1）将根号下数相乘，再进行化简即可； （2）先化成最简二次根式，再合并即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AB的长为________，BC的长为________，CD的长为________； （2）连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC各是什么特殊三角形． 【答案】（1），5，；（2）为等腰三角形，为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）把线段AB、BC、CD、放在一个直角三角形中利用勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出AC=AD，即可判断△ACD的形状；由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形． 【详解】解：（1）由勾股定理得AB＝＝，BC＝＝5，CD＝＝2； 故答案为：，5，； （2）∵AC＝＝2，AD＝＝2， ∴AC＝AD， ∴△ACD是等腰三角形； ∵AB2＋AC2＝5＋20＝25＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 19. 求知中学有一块如图所示四边形空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少钱买草皮？ 【答案】学校需要投入7200元钱买草皮 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，三角形面积的计算，有理数乘法的应用，先根据勾股定理求出的长，再利用勾股逆定理求出，根据三角形面积公式求出面积，最后根据面积乘以单价等于总价进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， 在中， 在中， 而，即 ， ， ， 需要费用 (元)， 答：学校需要投入7200元钱买草皮． 20. 在中，E，F是对角线上两点，并且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得出，， 根据，得出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：连接，交于O，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即． ∴四边形是平行四边形． 21. 已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点． (1)求证：四边形AMCN是平行四边形； (2)若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积． 【答案】（1）见解析；（2）12. 【解析】 【分析】（1）由题意可得AB∥CD，AB＝CD，又由M，N分别是AB和CD的中点可得AM＝∥CN，即可得结论； （2）根据等腰三角形的性质可得CM⊥AB，AM＝3，根据勾股定理可得CM＝4，则可求面积． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴AM=AB，CN=CD， ∴AM=CN，且AB∥CD， ∴四边形AMCN平行四边形； （2）∵AC=BC=5，AB=6，M是AB中点， ∴AM=MB=3，CM⊥AM， ∴CM=， ∵四边形AMCN是平行四边形，且CM⊥SM， ∴AMCN是矩形， ∴S四边形AMCN=12. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，关键是熟练运用这些性质解决问题． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【答案】的长度为或3 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 23. 如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以16海里时速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 【答案】乙船的航速是12海里/时． 【解析】 【分析】根据甲船和乙船航行的角度，可知∠CAB＝90°，用勾股定理即可求出AB的长度，最后求出乙船的速度即可． 【详解】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行， ∴∠CAB＝90°， 在Rt△ABC中，∠CAB＝90°， ∵AC＝16×3＝48，BC＝60， ∴AB36， ∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时， 答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握“在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边大的平方”是解题的关键． 24. 化简后求值：已知a=2﹣，b=2+，求的值． 【答案】2． 【解析】 【详解】试题分析： 选按分式的相关运算法则化简，然后再代值计算即可. 试题解析： 原式=， 当a=2﹣，b=2+时， 原式=4﹣2=2． 25. 观察下列等式： ①；②；③；…… 利用你观察到的规律计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，根据题目中给出的式子，找到规律进行计算即可． 【详解】解： ． 26. 勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮在学习完本章知识后，他和星源数学社的其他成员进行了有关知识的探索．请你根据他们的思路完成下列各项内容： 问题解决：如下图中，，分别以其三边向形外作正方形，若，，则______． 变式探究： （1）如下图，若以的三边向形外作等腰直角三角形，，，则、、之间的关系为______． （2）如下图，若分别以三边为直径向形外作半圆，则、、之间的关系为______． 拓展应用：如下图，中，，分别以它的三边向形外作平行四边形，交于P，交于N，且，若平行四边形和平行四边形的面积分别为10和8，则平行四边形的面积为______． 【答案】问题解决：；（1）；（2）；拓展应用：2 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理以及图形面积求法和平行四边形的性质等知识，熟练利用勾股定理以及平行四边形面积求法得出是解题关键． 问题解决：利用勾股定理结合正方形面积求法得出的长； （1）在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式，运用等式的性质即可得出结论； （2）在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式，运用等式的性质即可得出结论； 拓展应用：利用平行四边形的性质以及平行线的性质进而得出各图形之间面积关系． 【详解】问题解决：， ， ， 故答案为：； （1）由等腰直角三角形性质可得： 则 在中，， 故答案为：； （2）由圆的面积计算公式知： 则, 在中，， 故答案为：； 拓展应用：分别以它的三边向外作平行四边形，交于P，交于N，且， ，四边形和四边形都是平行四边形，且S到的距离等于A到的距离，C到的距离等于P到的距离， ，， 平行四边形和平行四边形的面积分别为8和6， 平行四边形的面积为：． 故答案为：2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$