精品解析：辽宁省营口市盖州市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

2023-2024学年度（下）期中教学质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果向南走3米，记作米，那么米表示（ ） A. 向东走7米 B. 向西走7米 C. 向北走7米 D. 向南走7米 2. 如图所示的几何体是由7个大小相同的小正方体搭成的，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 目前我国每年可利用的淡水资源总量为2750000000000立方米，2750000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 9. 某品牌汽车经销商在7月份售出手动型和自动型汽车共900台，8月份售出这两种型号的汽车共1145台，其中手动型和自动型汽车8月份的销售量分别比7月份增长和，问7月份销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？若设7月份销售的手动型和自动型汽车分别x台，y台，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点是边的中点．连接交于点的平分线交边于点，点关于过点的某条直线的对称点恰好在上，且点不与点重合，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 12. 一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，分别标有数字，，，2．小明同学第一次从袋中任意摸出1个球（不放回）后，第二次再从袋中任意摸出1个球．则两次摸到的球上面标的两数之和是负数的概率是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点A，点B在x轴上，且，若的面积是5，则______． 14. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点落在斜边中点上，连接，若，则的长为______． 15. 如图，矩形，已知，，点P是直线上的一个动点，将矩形沿线段折叠，使得点A恰好落在矩形的对称轴上，则长等于______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． （1）求x的值； （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 18. 小王计划下周日租一辆电动汽车去海边游玩一天，往返行程为．他到某租车公司了解到，该公司有若干辆，两种型号电动汽车出租，，两种型号每辆车每天费用分别为元，元．为了选择合适的型号，小王通过调查，了解到该公司这两种型号电动汽车各有辆，每辆电动汽车充满电后行驶里程的部分数据，如下面的表格和统计图所示． 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） （1）表格中，的值为______，的值为______； （2）已知种型号电动汽车充满电后能行驶里程可分成如图所示的五种情况，请直接补全种型号电动汽车充满电后能行驶里程条形统计图； （3）如果你是小王，你会选择用哪种型号的电动汽车？请说明理由． 19. 如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯，小李和妈妈两人从二楼同时下行，妈妈乘自动扶梯，小李走步行楼梯，妈妈离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： x … 1 3 5 … h … 5.4 4.2 3 … 小李离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示． （1）求y与x的函数表达式； （2）请通过计算说明小李和妈妈两人谁先到达一楼地面． 20. 人工智能机器人的发展方便了人们的生活，某工厂利用机器人进行货物的搬运．如图，机器人甲沿前往厂房北门，机器人乙沿穿越厂房前往厂房北门，两机器人行进速度相同．已知米，米，，． （1）求点到的距离； （2）若机器人甲、乙同时出发，谁先到达点？请说明理由． 21. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③． 【问题解决】 （1）求水池2面积的最大值； （2）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围； 【数学抽象】 （3）在图③的图象中，点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点（点不与顶点重合），点在坐标平面内，当四边形是矩形且，请求出点的横坐标． 23. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：请你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题； ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N． 证明：． ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度（下）期中教学质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果向南走3米，记作米，那么米表示（ ） A. 向东走7米 B. 向西走7米 C. 向北走7米 D. 向南走7米 【答案】C 【解析】 【分析】根据向南走记为“”，得到向北走记为“”，即可求解， 本题考查了，正负数表示相反意义的量，解题的关键是：理解相反意义的量． 【详解】解：∵向南走记为“”，则向北走记为“”， ∴米表示：向北走7米， 故选：． 2. 如图所示的几何体是由7个大小相同的小正方体搭成的，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，画出从正面看到的图形，即可． 【详解】解：由图，正视图为： 故选C． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 4. 目前我国每年可利用的淡水资源总量为2750000000000立方米，2750000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数，由此进行求解即可得到答案， 解题的关键是：熟记科学记数法的规则． 【详解】解：， 故选：． 5. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，不是同类项，不能合并，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选D． 6. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线、角平分线、余角的知识； 过点B作，根据余角性质计算得；根据平行线性质，即可得的度数． 【详解】如图，过点B作， ∵， ∴ ∴ ∵与平行， ∴， 故选：B． 7. 已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限求参数的范围，根据点在第二象限的符号特征：，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴； 故选B． 8. 关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先计算判别式，再根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案． 【详解】△=[-（k-3）]2-4（-k+1） =k2-6k+9+4k-4 =（k-1）2+4， ∵（k-1）2≥0， ∴（k-1）2+4≥4， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查的是根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 9. 某品牌汽车经销商在7月份售出手动型和自动型汽车共900台，8月份售出这两种型号的汽车共1145台，其中手动型和自动型汽车8月份的销售量分别比7月份增长和，问7月份销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？若设7月份销售的手动型和自动型汽车分别x台，y台，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据7月份售出手动型和自动型汽车共900台，8月份售出这两种型号的汽车共1145台，其中手动型和自动型汽车8月份的销售量分别比7月份增长和，列出方程组即可． 【详解】解：设7月份销售的手动型和自动型汽车分别x台，y台，由题意，得：； 故选B． 10. 如图，在矩形中，，，点是边的中点．连接交于点的平分线交边于点，点关于过点的某条直线的对称点恰好在上，且点不与点重合，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可证，可求出，再证，可求出的值，根据对称的性质可得，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，，点是的中点， ∴，，，，， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，则， 如图所示，连接， ∵点关于过点的某条直线的对称点恰好在上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，轴对称图形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则，计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 12. 一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，分别标有数字，，，2．小明同学第一次从袋中任意摸出1个球（不放回）后，第二次再从袋中任意摸出1个球．则两次摸到的球上面标的两数之和是负数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图求概率，先画图求出所有情况，再找到符合条件的情况数，根据概率公式求解． 【详解】解：树状图如下： 一共12种情况，符合条件的有8种， 概率为：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点A，点B在x轴上，且，若的面积是5，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、等腰三角形的性质，根据图形面积求值，过点作，根据三线合一，得到，求解即可． 【详解】解：过点作，则：； ∵， ∴为的中线， ∴， ∵反比例函数的图像在第四象限， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点落在斜边中点上，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，过点作，根据旋转的性质，结合已知条件推出，进而得到，解，求出的长，进而求出的长，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵旋转， ∴，，， ∵点落在斜边中点上， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，矩形，已知，，点P是直线上的一个动点，将矩形沿线段折叠，使得点A恰好落在矩形的对称轴上，则长等于______． 【答案】或或10 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，根据题意正确画出图形是解题的关键．本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当点A落在水平对称轴上时，如图： 在矩形中，， ∵为矩形的对称轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵翻折， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则：， 再中，， ∴， 解得：，即：； ②当点A落在竖直对称轴上时，如图： 为矩形的对称轴，则：，， ∵翻折， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，； ③如图，点A恰好落在矩形的对称轴的处，G在上，H在上， 在矩形中，，， ∵是矩形的对称轴， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形ABA″E是菱形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：或或10； 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算及分式运算， （1）先化简各式，然后再进行计算，即可解答； （2）根据分式的计算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． （1）求x的值； （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 【答案】（1）x的值为600 （2）该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元 【解析】 【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可； （2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意列方程，得． 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：x的值为600． 【小问2详解】 解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元． 则． ， ． 1400>0， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为56800． 答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 18. 小王计划下周日租一辆电动汽车去海边游玩一天，往返行程为．他到某租车公司了解到，该公司有若干辆，两种型号电动汽车出租，，两种型号每辆车每天费用分别为元，元．为了选择合适的型号，小王通过调查，了解到该公司这两种型号电动汽车各有辆，每辆电动汽车充满电后行驶里程的部分数据，如下面的表格和统计图所示． 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） （1）表格中，的值为______，的值为______； （2）已知种型号电动汽车充满电后能行驶里程可分成如图所示的五种情况，请直接补全种型号电动汽车充满电后能行驶里程条形统计图； （3）如果你是小王，你会选择用哪种型号的电动汽车？请说明理由． 【答案】（1）， （2） 完善统计图如下： （3） 从中位数看，选择型汽车更好些；从平均数的角度来看，选择选择型汽车更好些；从省钱角度看，选择型汽车． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数的概念、条形统计图等知识，熟练掌握从统计图和表格里提取出有用信息是解题的关键． （1）根据平均数的公式计算，根据众数的定义计算即可； （2）根据有个数据，得中位数是第个数据和个数据的平均数，结合数组的中位数是，前两组的数据和为，第四组的数据为，若中位数都落在第三组，应该是，若都落在第四组应该是，故正确题意是第个数据为，第个数据是，且，符合题意，计算即可． （3）可以从中位数、从平均数、省钱的角度，分别说明理由，合理即可 【小问1详解】 由图和平均数公式可得， 图中有个，是最多的，故众数是，即， 故答案为：，． 【小问2详解】 ∵有个数据， ∴中位数是第个数据和个数据的平均数， ∵数组的中位数是，前两组的数据和为，第四组的数据为，若中位数都落在第三组，应该是，若都落在第四组应该是， 故正确题意是第个数据为，第个数据是，且，符合题意， 故数据出现次，数据出现次， 图如答案所示； 【小问3详解】 略 19. 如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯，小李和妈妈两人从二楼同时下行，妈妈乘自动扶梯，小李走步行楼梯，妈妈离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： x … 1 3 5 … h … 5.4 4.2 3 … 小李离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示． （1）求y与x的函数表达式； （2）请通过计算说明小李和妈妈两人谁先到达一楼地面． 【答案】（1） （2） 设，由表格可知： ，解得：， ∴， ∴当时，； ∵， ∴当时，， ∵， ∴妈妈先到． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出与的关系式，分别求出时的的值，进行比较即可． 【小问1详解】 解：设，由图象可知：直线经过点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 略 20. 人工智能机器人的发展方便了人们的生活，某工厂利用机器人进行货物的搬运．如图，机器人甲沿前往厂房北门，机器人乙沿穿越厂房前往厂房北门，两机器人行进速度相同．已知米，米，，． （1）求点到的距离； （2）若机器人甲、乙同时出发，谁先到达点？请说明理由． 【答案】（1）米 （2）同时到达，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，矩形的判定和性质，掌握解直角三角形，合理作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）作，在中，根据锐角三角函数的计算方法即可求解； （2）作，可得四边形是矩形，可证，根据相似三角形的性质可求出的长，计算出甲、乙的路程，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵，即， ∴， ∴点到的距离为米； 【小问2详解】 解：同时到达，理由如下， 由（1）可得，在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵甲、乙的路程相同，速度也相同， ∴同时出发，同时到达． 21. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 【答案】（1） 证明：直线与相切，理由如下： 连接，则：， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出是的切线； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，的半径为3， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， 则：， ∴， ∴． 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③． 【问题解决】 （1）求水池2面积的最大值； （2）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围； 【数学抽象】 （3）在图③的图象中，点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点（点不与顶点重合），点在坐标平面内，当四边形是矩形且，请求出点的横坐标． 【答案】（1）水池2面积的最大值是9；（2）水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是或；（3）点P的横坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）配成顶点式，即可求解； （2）由题意得：，即可求解； （3）分点P在直线上方，和点P在直线下方，两种情况讨论，证明，则，列式计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴水池2面积的最大值是9； （2）由图象得，两函数交于点C，E，所以，表示两个水池面积相等的点是C，E； 联立方程组， 解得，，， ∴，， ∴水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是或， （3）∵， ∴对称轴为直线， 设点， 当点P在直线上方， 过点和分别作对称轴直线的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ； 当点P在直线下方， 过点作对称轴直线的垂线，点和分别作的垂线，垂足分别为和， 同理，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， 解得，． 不符题意，舍去． ∴， ∴点P的横坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，图象上点的坐标的实际意义，配方法求二次函数的极值，二次函数与二次方程的联系，充分理解函数图象上点的坐标的数学意义是解题的关键． 23. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：请你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题； ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N． 证明：． ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为正方形． 理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴． ∴矩形为正方形． （2） ①∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． ②的长为 【解析】 【分析】由题意可得，结合和，即可得四边形为矩形，由于，则矩形为正方形； 由题意得，利用，可得，结合得，即可证明；②设，的交点为M，过M作于G，由题意得，，，，，即可得，则有，可得点G是的中点，利用勾股定理求得，得到，利用解得，可求得，进一步证得，得，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：①略 ②如图，设，的交点为M，过M作于G， ∵， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G是的中点； 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， 即； ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴，即的长为． 【点睛】本题主要考查正方形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等面积法、勾股定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉全等三角形的性质和相似三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $