精品解析：辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年度（下）沈阳市五校协作体期中考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟；分数：150分 试卷说明：试卷共二部分：第一部分：选择题型（1-11题58分） 第二部分：非选择题型（12-19题92分） 第I卷（选择题共58分） 一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 记等差数列的前n项和为，则（ ） A. 98 B. 112 C. 126 D. 140 2. 已知公比为等比数列的前项和，，且，则（ ） A. 48 B. 32 C. 16 D. 8 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ） 附：若：，则，，． A. 0.0027 B. 0.5 C. 0.8414 D. 0.9773 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95 B. 已知随机变量，若，则 C. 在列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍 D. 分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数．“2枚骰子正面向上的点数相同”，则A，B互为独立事件 10. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. 在定义域上是增函数 B. 的值域为 C. D. 若，，，则 11. 如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. （） C. D. 数列的前100项和为 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则____________． 13. 某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示： x 3 4 6 7 z 2 25 4.5 7 得到x与z的线性回归方程，则___________. 14. 设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）求过点且与曲线相切的切线方程． 16. 已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 17. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格． （1）请完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关． 上课转笔 上课不转笔 合计 合格 25 优秀 10 合计 100 （2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为，求的分布列和数学期望． （3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为，求的期望和方差． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时（为大于0常数），求的最大值； （3）若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 19. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验. （1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度（下）沈阳市五校协作体期中考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟；分数：150分 试卷说明：试卷共二部分：第一部分：选择题型（1-11题58分） 第二部分：非选择题型（12-19题92分） 第I卷（选择题共58分） 一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 记等差数列的前n项和为，则（ ） A. 98 B. 112 C. 126 D. 140 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质和求和公式可得答案. 【详解】因为数列为等差数列，，所以， 所以. 故选：B 2. 已知公比为的等比数列的前项和，，且，则（ ） A 48 B. 32 C. 16 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据，作差求出，再根据，求出，即可得到通项公式，再代入计算可得； 【详解】解：因为公比为的等比数列的前项和①， 当时， 当时②， ①②得， 所以，则，又，所以，解得， 所以，则； 故选：C 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案. 【详解】因为，所以，令，则，． 故选：C 4. 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设可得在上恒成立，分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】， 因为在上是增函数，故在上恒成立. 若，则恒成立，符合题意； 若，则或，解得， 综上，. 故选：C 5. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 故选:A. 6. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将函数化简为，再求得，判断为奇函数，排除B，D；再分析选项A，C图像的区别，取特殊值即可判断出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误； 将代入得：，故C错误． 故选：A． 7. 某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式列式计算得解. 【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件， 则, 因此， 所以选“使命”队参加比赛的概率. 故选：D 8. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ） 附：若：，则，，． A. 0.0027 B. 0.5 C. 0.8414 D. 0.9773 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解. 【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故， 显然，其中，， 故， 则， 由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为 . 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95 B. 已知随机变量，若，则 C. 在列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍 D. 分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数．“2枚骰子正面向上的点数相同”，则A，B互为独立事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相关系数的概念判断A，根据正态分布的方差公式及方差的性质判断B，根据卡方公式判断C，根据相互独立事件的定义判断D. 【详解】对于选项A：若所有样本点都在直线上，且， 所以这组样本数据的样本相关系数为，故A错误； 对于选项B：如，则， 因为，即 所以，故B正确； 对于选项C：在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍， 则， 所以也变成原来倍，故C正确； 对于选项D：分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个， 事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件包含的基本事件数为个， 事件“2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件包含的基本事件数为个， 所以，， 又因为包含的基本事件有个，所以， 所以，则A、互为独立事件，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在定义域上是增函数 B. 的值域为 C. D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】确定函数定义域，结合导数判断其单调性，可判断A；作出函数图象，数形结合，判断B；结合函数解析式可得，即可判断C；将化简变形得到，结合函数单调性推出，即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， ，则在上均单调递增， 由于函数图象在处不连续，故不能说在定义域上是增函数，A错误； 对于B，结合函数的单调性，作出函数的大致图象， 结合图象可知的值域为，B正确； 对于C，由于，故， 故， 故，C错误； 对于D，由题意知， 又，即 而，，故，结合在上单调递增， 可得，D正确， 故选：BD 11. 如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. （） C. D. 数列的前100项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求得，，， 即可得解； 对于B，由每层球数变化规律可知（）即可得解； 对于C，根据 B选项利用累加法可得（），由利用累积法即可得解； 对于D，由，分组累加即可得解. 【详解】对于A，，，，，A正确． 对于B，由每层球数变化规律可知（），B错误． 对于C，当时，， 当时，满足，（）． ， ，C正确． 对于D，，则其前100项和为，D正确． 故选:ACD． 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则____________． 【答案】56 【解析】 分析】注意到，结合已知代入，求值即可. 【详解】由题意 . 故答案为：56. 13. 某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示： x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 得到x与z的线性回归方程，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件，求得，进而代入回归方程可求得，从而得出，联立，即可求得本题答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，有，解得， 所以，， 由，得， 所以，，则. 故答案为： 14. 设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】令，由图象可知，构造函数，利用导数求函数最小值即得. 【详解】令，则． 因为，则，， 可得，则． 令，则， 当时，即时，在内恒成立， 可知在上单调递减， 则，解得，经检验满足题意； 当时，即时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，解得 这与矛盾，舍去； 综上所述：． 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）求过点且与曲线相切的切线方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）对求导，利用极值的意义，建立方程组，即可求的值； （2）要注意过点的切线和在点处的切线的不同，设切点坐标，利用导数的几何意义求切线方程，然后利用切线过原点，确定切点坐标即可． 【详解】（1），依题意，，即， 解得； （2）曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为，则点的坐标满足． 因，故切线的方程为， 注意到点在切线上，有， 化简得：，解得． 所以，切点为，切线方程为． 16. 已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果. （2）求出，代入求出，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果. 小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为（）， 由，，，， 得，解得，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 因此当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 . 17. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格． （1）请完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关． 上课转笔 上课不转笔 合计 合格 25 优秀 10 合计 100 （2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为，求的分布列和数学期望． （3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为，求的期望和方差． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，能在犯错概率不超过0.01的条件下认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关； （2）分布列见解析，数学期望为； （3）期望为：，方差为：. 【解析】 【分析】（1）由已知条件补全2×2列联表，计算，对照临界值表下结论； （2）由的可能取值，计算相应的概率，写出分布列，利用公式计算数学期望； （3）根据题意，利用公式求的期望和方差． 【小问1详解】 抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人，2×2列联表如图所示， 上课转笔 上课不转笔 合计 合格 25 45 70 优秀 20 10 30 合计 45 55 100 所以能在犯错概率不超过0.01的条件下认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关. 【小问2详解】 根据频率分布直方图大于600分的频率为， 小于600分的频率为， 故由分层抽样知，抽取的10人中合格有人，优秀的为人， 则从这10人中随机抽取5人，合格人数服从超几何分布， 由题意的取值范围为， 故，， ，， 故分布列为 2 3 4 5 . 【小问3详解】 由题意随机抽取1人则其上课转笔的概率为， 故根据题意， ，. 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时（为大于0的常数），求的最大值； （3）若当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间； （2）分和两种情况，结合（1）中的单调性求函数最值； （3）构建，分析可知在上单调递减，可得在上恒成立，结合函数单调性分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）可知：函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，，所以； 当时，在上单调递减，所以． 【小问3详解】 当时，不等式， 即恒成立， 令，则，可知在上单调递减， 可得，即恒成立， 易知在内单调递减，所以， 可得， 所以的取值范围为. 19. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验. （1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：. 【答案】（1）分布列见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件确定的取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望； （2）由（1）中的结论及结合题意写出每一轮的概率，结合概率乘法公式从而求解. 【小问1详解】 由题意得，的可能取值为， 在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为， ， 依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为，， 易知， 的分布列为： 1 2 3 的数学期望. 【小问2详解】 证明：当时，不难知道， ， ， 由（1）可知，又， ， . 即. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是得到，再利用裂项求和即可证明出不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$