精品解析：2024年甘肃省武威市天祝县石塘学校联片教研中考三模数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省天祝县石塘学校联片教研九年级数学 第三次模拟考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 若，且，那么的值是（ ） A. 2或12 B. 2或 C. 或12 D. 或 2. 四个实数，0，2，中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3. 关于x的一元一次方程的解为1，则不等式组的整数解的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线ab，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（　　） A. 10° B. 20° C. 60° D. 130° 5. 如图，在中，，分别是的边，上的中线，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，、是的半径，是上一点，连接、．若，则的大小为（ ） A. 126° B. 116° C. 108° D. 106° 7. 如图，已知矩形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，、分别交于点O、F，且，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，，将扇形沿轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点的对应点依次记为点，点，点，则的坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点A、点B是函数y=的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积是4，则k的值是（ ） A. -2 B. ±4 C. 2 D. ±2 二、填空题（共24分） 11. 化简：______． 12. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______． 13. 如图，在中，弦半径，则的度数为____________． 14. 如图，四边形中，，，，满足，则面积的最小值为_______． 15. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为_______． 16. 如果数据的平均数是4，那么数据的平均数是____________________． 17. 因式分解：________ 18. 如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝2.5cm，则的值为__. 三、计算题（共8分） 19. （1）计算： （2）解方程： 四、作图题（共6分） 20. 图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝； （2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1； （3）在图③中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝． 五、解答题（共52分） 21. 如图，小明从点出发，沿北偏东方向行驶到达处，接着向正南方向行驶米到达处．在处观测到出发时所在的处在北偏西方向上，，两处相距多少米？ 22. 如图，AB是的直径，点C为上一点，PC切于点C，交PC的延长线于点E，AE交于点D，PC与AB的延长线相交于点P，连结AC、BC． （1）求证：AC平分； （2）若，，求AB的长． 23. 如图，在中，E，F是直线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，且，求的长． 24. 点在以为直径的上，，点在上由点开始向点运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：为的切线． 25. 某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心”宣传推广工作， 截至2021年底，注册人数已达216.39万人．某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（分）、B：比较了解（分）、C：基本了解（分）、D：不太了解（分）四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据上图提供的信息解答下列问题∶ （1）扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为 ，补全条形统计图； （2）若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数； （3）为更好地开展“国家反诈中心”宣传推广工作，社区准备招募2名宣讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率． 26. 如图，是的直径，是弦，于点 （1）求证：； （2）若，设，，请求出关于的函数解析式． 27. 如图，抛物线与y轴交于点A(0，-)，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，直线lAB且过点D． （1）求AB所在直线的函数表达式； （2）请你判断△ABD的形状并证明你的结论； （3）点E在线段AD上运动且与点A、D不重合，点F在直线l上运动，且∠BEF=60°，连接BF，求出△BEF面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期甘肃省天祝县石塘学校联片教研九年级数学 第三次模拟考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 若，且，那么的值是（ ） A. 2或12 B. 2或 C. 或12 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数是解题的关键． 根据绝对值的意义，x和y各有两种可能值，结合 的条件，排除不满足的组合，计算 的值． 【详解】解：，， ，， 又， 当时，，， 当时，，， 当时，，不符合题目要求， 当时，，不符合题目要求， 的值为2或12． 故选：A． 2. 四个实数，0，2，中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最大的数是2． 故选：C 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 3. 关于x的一元一次方程的解为1，则不等式组的整数解的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方程解的定义，求不等式组的整数解．利用方程解的定义求得，解不等式组得，得到不等式组的整数解，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为1， ∴，解得， ∴不等式组为， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为0，1，2，共3个， 故选：B． 4. 如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线ab，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（　　） A. 10° B. 20° C. 60° D. 130° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定可得，当c与a的夹角为60°时，存在b∥a，由此得到直线a绕点A顺时针旋转60°−50°＝10°． 【详解】解：∵∠2＝60°， ∴若要使直线ab，则∠3应该为60°， 又∵∠1＝130°， ∴∠3＝50°， ∴直线a绕点A按顺时针方向至少旋转：60°﹣50°＝10°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行． 5. 如图，在中，，分别是的边，上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，还涉及三角形中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先得到是的中位线，继而，则，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，分别是的边，上的中线， ∴为中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，、是的半径，是上一点，连接、．若，则的大小为（ ） A. 126° B. 116° C. 108° D. 106° 【答案】B 【解析】 【分析】作所对的圆周角，如图所示，利用圆周角定理得到,然后根据圆内接四边形的性质计算的度数． 【详解】解：作所对的圆周角，如图所示， ∴， 利用圆内角四边形对角互补可知：， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半；还考查了圆内接四边形对角互补． 7. 如图，已知矩形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，、分别交于点O、F，且，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 根据折叠的性质可得出，进而、，再证，根据全等三角形的性质可得出，设，则，，，依据中，，解方程，即可确定的长． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 根据折叠可知：， ，． 在和中， ， ， ，， ， 设，则，，， ， 中，， 即， ， ， 故选：C． 8. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主视图朝向自己，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应该表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看，底层左侧是一个小正方形，上层是两个小正方形，左齐． 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上方向下看得到的视图，正确理解三视图相关概念是解题关键． 9. 如图，点，，将扇形沿轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点的对应点依次记为点，点，点，则的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，由点，，得到，，，根据弧长的计算公式得到的长度，得到的长度，于是得到结论，根据规律确定坐标对应点是解本题的关键． 【详解】解：点，， ，，， 的长度， 将扇形沿轴正方向做无滑动的滚动， 的长度， 点，点，点，点，， ， 的． 故选：C． 10. 如图，点A、点B是函数y=的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积是4，则k的值是（ ） A. -2 B. ±4 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴k＞0， ∵BC∥x轴，AC∥y轴， ∴S△AOD=S△BOE=k， ∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∴S矩形OECD=2△AOD=k， ∴S△ABC=S△AOD+S△BOE+S矩形OECD=2k=4，解得k=2． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质． 二、填空题（共24分） 11. 化简：______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据绝对值的性质计算得到结果． 【详解】解：． 12. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题可知，在两个象限，根据得到图象位于二、四象限，即给出符合题意的k值即可． 【详解】由题可知，在两个象限， ∵， ∴反比例函数的图象位于二、四象限， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 13. 如图，在中，弦半径，则的度数为____________． 【答案】100°##100度 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三角形内角和定理求出∠AOC的度数． 【详解】解：∵， ∴∠OCA=∠BOC=40°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=40°， ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 14. 如图，四边形中，，，，满足，则面积的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，取的中点O，连接，过点M作交的延长线于E，过点O作于F，交于G，则．求出，即可解决问题． 【详解】解：取的中点O，连接，过点作交延长线于点，过点O作于F，交于，则． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当O、M、E共线时，最小值为， ∴面积的最小值 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线平分角，推出，再用求出即可． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 16. 如果数据的平均数是4，那么数据的平均数是____________________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式即可得． 【详解】由题意得：，即 则 即数据的平均数是5 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平均数的计算公式，熟记公式是解题关键． 17. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 18. 如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝2.5cm，则的值为__. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求． 【详解】解：∵△ABC中，AD为中线， ∴BD=DC． ∴S△ABD=S△ADC． ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=6，AC=2.5． ∴•AB•ED=•AC•DF， ∴×6×ED=×2.5×DF， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线性质，关键在于利用中线把三角形的面积分成相等的两部分进行知识解答．属于基础题． 三、计算题（共8分） 19. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1）原式； （2）去分母得： 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的根． 四、作图题（共6分） 20. 图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝； （2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1； （3）在图③中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝． 【答案】 （1）如图①，点C即为所求作的点； （2）如图②，点D即为所求作的点； （3）如图③，点E即为所求作的点； 【解析】 【分析】（1）在图①中，根据正切的定义和tan∠CAB＝即可得到点C位置； （2）在图②中，根据tan∠DAB＝1知Rt△ABD为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得出点D的位置； （3）在图③中，根据正切定义和tan∠AEB＝即可得出点E的位置． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查基本作图与设计、正切、等腰直角三角形的性质、勾股定理，理解正切的定义，熟悉网格特点，弄清问题中所作图形的要求，结合几何图形的性质和基本作图方法是解答的关键． 五、解答题（共52分） 21. 如图，小明从点出发，沿北偏东方向行驶到达处，接着向正南方向行驶米到达处．在处观测到出发时所在的处在北偏西方向上，，两处相距多少米？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练直角三角形是解题的关键。作辅助线交于点，设长度为，则，在根据，可得，然后在中根据三角函数求出的长度． 【详解】解：过点作交于点， 设长度为，则， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 化简得：， 解得：， ∵， ∴． 答：，两处相距米． 22. 如图，AB是的直径，点C为上一点，PC切于点C，交PC的延长线于点E，AE交于点D，PC与AB的延长线相交于点P，连结AC、BC． （1）求证：AC平分； （2）若，，求AB的长． 【答案】（1） 证明：如图所示：连接OC． ∵PC是⊙O的切线， ∴OC⊥EP． 又∵AE⊥PC， ∴AE∥OC． ∴∠EAC=∠ACO． 又∵∠ACO=∠OAC， ∴∠EAC=∠OAC． ∴AC平分∠BAD； （2）12． 【解析】 【分析】（1）先证明AE∥OC，然后依据平行线的性质可得到∠EAC=∠ACO，接下来由∠ACO=∠AOC，可证明∠EAC=∠OAC； （2）先证明∠PCB=∠PAC，从而可证明△PCA∽△PBC，依据相似三角形的性质可求得PA的长，最后依据AB=PA-PB求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°． ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠ABC． ∵∠PCB+∠OCB=90°， ∴∠PCB=∠PAC． ∵∠P=∠P， ∴△PCA∽△PBC， ∴， ∴PA==16． ∴AB=PA-PB=16-4=12． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关定理． 23. 如图，在中，E，F是直线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到． （1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 24. 点在以为直径的上，，点在上由点开始向点运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：为的切线． 【答案】（1） 证明：点与点关于对称， ， ， 又， ， ， ； （2） 证明：连接， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， ， 为的切线． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到，得到，证明结论； （2）连接，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质证明，根据切线的判定定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心”宣传推广工作， 截至2021年底，注册人数已达216.39万人．某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（分）、B：比较了解（分）、C：基本了解（分）、D：不太了解（分）四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据上图提供的信息解答下列问题∶ （1）扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为 ，补全条形统计图； （2）若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数； （3）为更好地开展“国家反诈中心”宣传推广工作，社区准备招募2名宣讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率． 【答案】（1）， 如图： （2）该社区对“国家反炸中心” 非常了解的人数有2400人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形与条形统计图的综合以及列树状图求概率： （1）先利用C等级的人数除以所占百分比求出总人数，即可求出A等级的人数，用A等级的人数除以总人数即可求出A等级对应的人数所占百分比，然后用总人数减去的等级人数，求出B等级的人数，即可补全条形统计图； （2）运用样本估计总体，非常了解即为等级，用A等级对应的人数所占百分比乘以8000，求解即可； （3）列出树状图，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，总人数：（人）； A等级对应的扇形圆心角：； B等级的人数：（人）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意， 该社区对“国家反炸中心” 非常了解的人数：（人）， 答：该社区对“国家反炸中心” 非常了解的人数有2400人； 【小问3详解】 解：设一组居民分别为，二组居民为， 依题意，列出树状图： 总共有12种结果，满足选取的为2人不是同一组居民的结果有6种， 则2人不是同一组居民的概率：． 26. 如图，是的直径，是弦，于点 （1）求证：； （2）若，设，，请求出关于的函数解析式． 【答案】（1） 证明：为圆的直径， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键． （1）由为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到与垂直，即三角形为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，再由与垂直，得到三角形与三角形都为直角三角形，同理得到一对角互余，等量代换得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似即可得证； （2）连接，由垂直于，在直角三角形中，由，，利用勾股定理表示出，代入中，即可得到关于的函数解析式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， ， ． 27. 如图，抛物线与y轴交于点A(0，-)，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，直线lAB且过点D． （1）求AB所在直线的函数表达式； （2）请你判断△ABD的形状并证明你的结论； （3）点E在线段AD上运动且与点A、D不重合，点F在直线l上运动，且∠BEF=60°，连接BF，求出△BEF面积的最小值． 【答案】（1） （2）△ABD是等边三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据全等三角形的判定与性质，可得BA与DA，根据正切函数的定义，可得∠ABO，根据等边三角形的判定，可得答案； （3）根据平行线的性质，可得∠AEG=∠AGE=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得BE=EF，根据等边三角形的判定，可得△BEF是等边三角形，根据等边三角形的面积，根据垂线段最短，可得BE的长，可得答案． 【小问1详解】 解：将A（0，-）代入抛物线解析式，得c=-， ∴， 当y=0时，， 化简，得， ∵（x+1）（x-3）=0， ∴=-1，=3， 点B（-1，0），点C（3，0）， 设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B点坐标代入函数解析式， 得，解得， 直线AB的解析式为y=-x-； 【小问2详解】 解：△ABD是等边三角形， ∵点B（-1，0），点D（1，0）， ∴OB=OD=1， 在△BOA和△DOA中，， ∴△BOA≌△DOA， ∴BA=DA． tan∠ABO=， ∴∠ABO=60°， ∴△ABD是等边三角形； 【小问3详解】 解：如图， 过点E作EGx轴，交AB于点G， ∵△ABD是等边三角形， ∴∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°， ∴∠AEG=∠AGE=60°， ∴△AEG是等边三角形， ∴AE=AG，∴DE=BG． ∵ABl， ∴∠EDF=∠BGE=120°， ∴∠GBE+∠GEB=60°，∠DEF+∠GEB=60°， ∴∠GBE=∠DEF， 在△BEG和△EFD中， ∴△BEG≌△EFD， ∴BE=EF， ∵∠BEF=60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴，当BE⊥AD时，BE的长度最小，△BEF的面积最小， 此时BE=AB•sin60°=， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出BA与DA的关系，又利用了等边三角形的判定；解（3）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出BE=EF，又利用了垂线段最短得出BE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $