11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）以下说法正确的有（    ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   3．（23-24八年级上·广西贺州·期中）若是的中线，已知比的周长大，则与的差为（     ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知的面积为28，，点为边上一点，过点分别作于点，于点，若，则长为（    ） A． B． C． D．6 6．（23-24八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积为 ． 8．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）如图，已知点D，E，F分别是，，的中点，若，则四边形（阴影部分）的面积是 ． 9．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 10．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，． (1)求高的长； (2)求的面积． 11．（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求： (1)作出的边上的中线，并求出的面积； (2)作出的边边上的高，当时，试求出的长． 12．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）如图，三角形的高，边，点E在边上（点E不与B，C重合），连接．若的长为，三角形的面积为，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)当x为多少时，三角形的面积比三角形的面积大？ 能力提升 13．（2023八年级上·全国·专题练习）在中，，分别是的高，且，，则（ ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，长方形中，的面积为，的面积为，则阴影四边形的面积等于（     ） A． B． C． D．无法确定 15．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（      ） A．10 B．12 C．14 D．16 16．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，已知的面积为，分别倍长（延长一倍边），，得到，再分别倍长边，，得到按此规律，倍长次后得到的的面积为（    ）    A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 . ‍ 18．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为 ． 19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在中，为边的中点，点在边上，，、交于点，若的面积为26，则 . 20．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）如图，在中，，，，，P是到三边距离相等的点，则点P到三边的距离为 ． 21．（21-22八年级上·广西南宁·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．    (1)如图1，在中，，则长为 　 　； (2)如图2，在中，，则的高与的比是 　 　； (3)如图3，在中，，点D，P分别在边上，且，垂足分别为点E，F．若，求的值． 22．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）如图，将的各边延长2倍，得到的大的面积为34平方厘米，那么的面积是多少平方厘米？ 拔高拓展 24．（23-24八年级上·广西梧州·期中）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，中，M是上一点，则有，如图②，中，M是BC上一点，且，N是的中点，若的面积是1，则的面积是 ． 25．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 26．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）以下说法正确的有（    ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线的相关知识，根据相关性质逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的三条高所在直线相交于一点，原说法正确； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，原说法正确； ④三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分，原说法正确； 即正确的个数为3个， 故选：B． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（     ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】本题考查了作高线，根据利用三角板作高线的方法即可求解，熟练掌握作高线的方法是解题的关键． 【详解】解：由图得，作的边上的高线是    ， 故选B． 3．（23-24八年级上·广西贺州·期中）若是的中线，已知比的周长大，则与的差为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线定理，根据中线定理得出，再根据周长定义即可求得结果． 【详解】解：如下图： ∵是的中线， ∴ ∵比的周长大 ∴． 故选∶B． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 5．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知的面积为28，，点为边上一点，过点分别作于点，于点，若，则长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键．连接，根据三角形的面积公式即可得，结合题意求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 6．（23-24八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断④． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 综上，符合题意的有3个， 故选：B 7．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 先根据中线的定义求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线，， ， 是的高， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）如图，已知点D，E，F分别是，，的中点，若，则四边形（阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形中线的性质，依次得到、，，，即可求出阴影部分的面积．解题关键是掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，分得的两个三角形面积相等． 【详解】∵，点D是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∵点F是的中点， ∴ ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)4 【分析】 本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法， （1）延长，过A作与D，即可得到答案． （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案． （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求： （2）如下图，即为所求 （3）， ∴． 故答案为：4． 10．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，． (1)求高的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线： （1）根据，即可求解； （2）根据三角形中线的定义可得，再由三角形的面积公式计算，即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ． ∴， ∵，，， ∴， 解得：； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∴的面积． 11．（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求： (1)作出的边上的中线，并求出的面积； (2)作出的边边上的高，当时，试求出的长． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了直角三角形面积的计算方法，三角形的高、中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质． （1）找的中点，连接，则是的边上的中线，根据三角形中线的性质可得，即可求解； （2）过点作，先根据，求出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，找的中点，连接，则是的边上的中线， 在直角三角形中，，，， ， 是的中线， ； （2）如图，过点作，则为的边边上的高， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 12．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）如图，三角形的高，边，点E在边上（点E不与B，C重合），连接．若的长为，三角形的面积为，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)当x为多少时，三角形的面积比三角形的面积大？ 【答案】(1) (2)当x为时，三角形的面积比三角形的面积大 【分析】本题考查了三角形的面积， （1）先求出底边的长，再根据三角形的面积公式计算即可； （2）先求出的面积，然后根据已知条件列出方程求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵三角形的高，三角形的面积为， ∴； （2）∵三角形的面积， 三角形的面积比三角形的面积大， ∴， 解得， 即当x为时，三角形的面积比三角形的面积大． 能力提升 13．（2023八年级上·全国·专题练习）在中，，分别是的高，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积底高得是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 14．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，长方形中，的面积为，的面积为，则阴影四边形的面积等于（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形面积的计算，根据和得出，结合即可得出，得出答案，得出是解此题的关键． 【详解】解：的高与长方形的边相等， ， ， ， ， ， 故选：A． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（      ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案． 【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，， 可得：， 已知， 可得， 三边均为整数． 又个答案分别是10，12，14，16． 的边长可能是12． 故选：B． 16．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，已知的面积为，分别倍长（延长一倍边），，得到，再分别倍长边，，得到按此规律，倍长次后得到的的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的倍是解题的关键．根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，    、C、C、、、、的面积都相等， 所以，， 同理， 依此类推，的面积为， 的面积为， ∴的面积． 故选D． 17．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 . ‍ 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的高，由题意得：，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：在中，，，垂足分别为点和点，与交于点， ， ，，， ， ， ：：， 故答案是：． 18．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线与面积的关系是解题的关键．连接，由三角形的中线与面积的关系可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 、是的中线，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在中，为边的中点，点在边上，，、交于点，若的面积为26，则 . 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分是解答此题的关键．由为的中点可知，，由可知，，根据可得出结论． 【详解】如图所示： 点为的中点， ， ， ， ． 故答案为：3． 20．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）如图，在中，，，，，P是到三边距离相等的点，则点P到三边的距离为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了点到直线的距离，一元一次方程的应用，三角形面积．连接、、，设，由列方程求解，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、、， 设， ， ， ， 解得：， 即点P到三边的距离为， 故答案为： 21．（21-22八年级上·广西南宁·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．    (1)如图1，在中，，则长为 　 　； (2)如图2，在中，，则的高与的比是 　 　； (3)如图3，在中，，点D，P分别在边上，且，垂足分别为点E，F．若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握利用等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，且， ∴， 又∵， ∴， 即． 22．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）如图，将的各边延长2倍，得到的大的面积为34平方厘米，那么的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米． 【分析】此题考查了三角形的面积，构造同高的三角形模型，利用等高的两个三角形的面积之比等于对应底边的比是解决问题的关键．连接，设的面积为S，依次求出，，从而，同理可求：，进而可求出的面积． 【详解】解：连接，如图所示： 设的面积为S， 在和中，边上的高相同， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，边上的高相同， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， 又∵的面积为34平方厘米， ∴， ∴． 答：的面积是平方厘米． 拔高拓展 24．（23-24八年级上·广西梧州·期中）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，中，M是上一点，则有，如图②，中，M是BC上一点，且，N是的中点，若的面积是1，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．连接CD，有中线的性质得，同理，设，然后由面积关系求出a的值，即可解决问题． 解：连接，如图： ∵N是的中点， ∴＝＝1， ∴， 同理：， 设， ∵的面积是1， ∴， ∴， ∵， ∴＝， ∴＝＝，＝＝， ∴，， ∴＝ ＝×（﹣a）＝﹣a，＝ ＝， ∵， 即：＝﹣a+a+a， 解得：， ∴． 故答案为： 【详解】详解片段 25．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即； ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图：    ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中位线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②15， 解：由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键 ． 26．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出是解题关键． （1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可； （2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可； （3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于，的方程求出即可． 【详解】（1）如图, 连接， , ，， ， 同理可得出：， ， 故答案为: ； （2）如图，连接， ， 根据等高两三角形的面积比等于底之比， ， ， ， 同理可得出：， ∴； 故答案为: ； （3）如图，过点作于点， ， ， ，即， 同理 ， 设 ，， ，即； ，， ， 又 ， ， 故答案为: ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$