精品解析：河南省洛阳市涧西区2023—2024学年七年级下学期期中考试数学试卷

洛阳市涧西区2023—2024学年第二学期期中考试 七年级数学试卷 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，满分120分，考试时间100分钟． 2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一直线的两条直线平行 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把无理数表示在数轴上，在这四个数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（ ） A. 8 B. C. D. 5. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯底部平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线AB是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，已知米，米，则小明跳远的成绩可能是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 下列命题中是真命题的是（ ） ①相等的角是对顶角． ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等． ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 8. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，根据题意列方程组正确的是(　　　) A. B. C. D. 9. 把一张对边互相平行的纸条，按如图所示折叠，是折痕，若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，在棋盘上建立适当的平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点．若黑子P的坐标为，为了不让白方获胜，此时黑方的棋子所下位置的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写一个解为的二元一次方程______________． 12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 13. 如图，直线相交于点O，于O，若，则的度数为________． 14. 教材在第七章复习题的“拓广探索”中，曾让同学们探索发现：在平面直角坐标系中，线段中点的横坐标（纵坐标）分别等于对应线段的两个端点的横坐标（纵坐标）和的一半，例如：点，点，则线段的中点M的坐标为，请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，点，．若线段的中点G恰好在x轴负半轴上，且到y轴的距离是3，则________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…．依此规律跳动下去，点的坐标是________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： （2）求x的值： 17. 用适当的方法解下列二元一次方程组． （1） （2） 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图（每个小正方形边长均为1）． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）请画出沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； （3）求平移过程中线段扫过的面积． 19. 如图，，的平分线交于点F，交线段的延长线于点E，，求证： 证明：∵（已知）， ∴（ ）． ∴ （ ）． ∵平分， ∴ （ ）． ∴ ＝ ． ∵（已知）， ∴ ＝ ． ∴（ ）． 20. 已知某正数的两个平方根分别是和，n的立方根是． （1）求m，n的值，并求这个正数； （2）求的平方根． 21. 如图，已知，与相交于点F，且． （1）求证：； （2）连接，若，且，求的度数． 22. 在《二元一次方程组》“数学活动”的学习中，小华同学对二元一次方程的解与平面直角坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小华同学的探究过程补充完整． （1）补全下列表格，使上下每对x，y的值都是方程的解． x … 0 1 n … y … 2 1 0 m … 则表格中的 ， ； （2）如果将表中的各组解表示为点的坐标的形式，例如，方程的一组解 的对应点是，请在所给的平面直角坐标系中依次描出以上五组解所对应的点，尝试将这些点连起来，观察这些点所组成的图形的特征，猜想方程的所有解的对应点组成的图形是 ，并根据猜想画出这个图形．我们把这个图形叫做二元一次方程的图象； （3）根据前两问的学习经验，请在上面所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象； （4）小华同学说，这两个二元一次方程图象的交点坐标就是二元一次方程组 的解，请直接写出这个解． 23. 在综合与实践课上，同学们以“一副三角板和两条平行线”为背景开展数学探究活动”．如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，． 操作发现： （1）如图2，创新小组的同学让和分别落在直线上，且使直角顶点C，D重合，则的度数为 （提示：过点C作的平行线）； 迁移运用： （2）该小组同学将三角板和三角板按如图3所示位置摆放（直角顶点C，D重合），与交于点H，与交于点G，若， ，求的度数（用含，的式子表示）； 拓展创新： （3）缜密小组的同学改变图2中三角板的位置，三角板的位置保持不变（直角顶点C始终与D重合），当边时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳市涧西区2023—2024学年第二学期期中考试 七年级数学试卷 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，满分120分，考试时间100分钟． 2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断即可． 本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. 是有理数，不符合题意； B. 是有理数，不符合题意； C. 是有理数，不符合题意； D. 是无理数，符合题意； 故选D． 2. 如图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一直线的两条直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是结合图形准确分析平行线的判定方法．根据画图的方法，利用了同位角相等，两直线平行的方法作已知直线的平行线． 【详解】解：如图， 根据可知，其依据是同位角相等，两直线平行． 故选A 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的算术平方根及立方根是解题的关键．分别根据算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 把无理数表示在数轴上，在这四个数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴判断这是个正无理数，且范围是即，判断解答即可．本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键． 【详解】根据题意，得这是个正无理数，且范围是即， A.BC都不符合题意； D符合题意； 故选D． 5. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯底部平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 先根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，直线AB是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，已知米，米，则小明跳远的成绩可能是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长度． 【详解】解：根据跳远成绩的计算方法可知：垂线段的长度是小明跳远的成绩 ∵垂线段最短 ∴ ∴小明跳远的成绩可能是米 故选：D 【点睛】本题考查垂线段最短．熟记相关结论即可． 7. 下列命题中是真命题的是（ ） ①相等的角是对顶角． ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等． ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角的定义，平行线的判定和性质以及垂线公理一一判断即可． 【详解】解：①相等的角是对顶角．是假命题． ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．真命题． ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等．假命题． ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查对顶角的定义，平行线的判定和性质以及垂线公理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，根据题意列方程组正确的是(　　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；组成方程组即可． 【详解】解：如果设木条长尺，绳子长尺， 根据题意得：． 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找出等量关系是解题的关键． 9. 把一张对边互相平行的纸条，按如图所示折叠，是折痕，若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．根据平行线的性质以及翻折不变性，分别求出即可判断． 【详解】解：A、∵， ∴，故正确，不符合题意； B、由折叠可得， 则，故正确，不符合题意； C、∵，故正确，不符合题意； D、∵， ∴，故错误，符合题意． 故选：D． 10. 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，在棋盘上建立适当的平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点．若黑子P的坐标为，为了不让白方获胜，此时黑方的棋子所下位置的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标的确定及生活中的棋类常识，熟练并正确理解题意和识图是解题的关键．根据五子连棋的规则，白方已把三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，据此即可确定点的坐标． 【详解】解：根据题意可知因为白方已把三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，即或， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写一个解为的二元一次方程______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据解写出任意一个二元一次方程即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵解为， ∴只需写一个等式含有x和y，并且将x，y的值代入进去刚好成立， 比如：或等等， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 13. 如图，直线相交于点O，于O，若，则的度数为________． 【答案】##145度 【解析】 【分析】此题主要考查了垂线，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．根据垂直定义可得的度数，然后再根据角的和差关系可得，再利用平角定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 14. 教材在第七章复习题的“拓广探索”中，曾让同学们探索发现：在平面直角坐标系中，线段中点的横坐标（纵坐标）分别等于对应线段的两个端点的横坐标（纵坐标）和的一半，例如：点，点，则线段的中点M的坐标为，请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，点，．若线段的中点G恰好在x轴负半轴上，且到y轴的距离是3，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据点，，得线段的中点G的坐标为即，结合中点G恰好在x轴负半轴上，且到y轴的距离是3，得到，确定a，b的值，计算即可． 本题考查了中点坐标公式，点的位置，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据点，， ∴线段的中点G的坐标为即， ∵中点G恰好在x轴负半轴上，且到y轴的距离是3， ∴， 解得， ∴， 故答案为：0． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…．依此规律跳动下去，点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查规律型：点的坐标，解题关键在于理解题意找到规律．设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可得出点的坐标． 【详解】解：设第n次跳动至点， 观察，发现：，，，， ，，，， ，，…， ∴，，，（n为自然数）， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： （2）求x的值： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根，求绝对值，最后计算加减即可． （2）根据平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， ， ， ． 17. 用适当的方法解下列二元一次方程组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 将②代入①得 解得 将代入②得 ∴原方程组的解是 ； 【小问2详解】 解：得， ③ 得， ④ 得， ， 将代入①得， ， ∴原方程组的解是 ． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图（每个小正方形边长均为1）． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）请画出沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； （3）求平移过程中线段扫过的面积． 【答案】（1），， （2） 如图所示：即为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特征，平移的性质，熟悉掌握平移的方法是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可； （2）根据题意平移即可； （3）分别求出向作平移和向上平移扫过的面积即可． 【小问1详解】 解：由图可得：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：沿轴向左平移个单位长度扫过的面积， 沿轴向上平移3个单位长度扫过的面积， 所以扫过的面积为． 19. 如图，，的平分线交于点F，交线段的延长线于点E，，求证： 证明：∵（已知）， ∴（ ）． ∴ （ ）． ∵平分， ∴ （ ）． ∴ ＝ ． ∵（已知）， ∴ ＝ ． ∴（ ）． 【答案】 同旁内角互补， 两直线平行；；两直线平行， 同位角相等；；角的平分线的定义；；；；；内错角相等， 两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，读懂每步推理是关键．根据题意，结合图形，读懂每步推理过程，利用平行线的判定与性质、角平分线的定义即可完成． 【详解】略 20. 已知某正数的两个平方根分别是和，n的立方根是． （1）求m，n的值，并求这个正数； （2）求的平方根． 【答案】（1），这个正数是 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根与立方根，熟练掌握平方根，立方根的定义是解本题的关键． （1）根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求出m的值，根据立方根定义求出n，进而确定出这个数即可． （2）先求出代数式的值，再求平方根即可． 【小问1详解】 解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴ ， ∴这个正数是 ， ∵n的立方根是． ∴； 【小问2详解】 ∴的平方根为． 21. 如图，已知，与相交于点F，且． （1）求证：； （2）连接，若，且，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 即； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先证明，得出，进而证出结论； （2）先求出，进而得出，根据平行线的性质求出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 由 （1） 得， ， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 在《二元一次方程组》“数学活动”的学习中，小华同学对二元一次方程的解与平面直角坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小华同学的探究过程补充完整． （1）补全下列表格，使上下每对x，y的值都是方程的解． x … 0 1 n … y … 2 1 0 m … 则表格中的 ， ； （2）如果将表中的各组解表示为点的坐标的形式，例如，方程的一组解 的对应点是，请在所给的平面直角坐标系中依次描出以上五组解所对应的点，尝试将这些点连起来，观察这些点所组成的图形的特征，猜想方程的所有解的对应点组成的图形是 ，并根据猜想画出这个图形．我们把这个图形叫做二元一次方程的图象； （3）根据前两问的学习经验，请在上面所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象； （4）小华同学说，这两个二元一次方程图象的交点坐标就是二元一次方程组 的解，请直接写出这个解． 【答案】（1），2 （2） 如图， 直线； （3） 如图， （4） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程的解与坐标的联系是解题的关键． （1）令，可求，令，可求； （2）描点、连线即可； （3）先列表，再描点并连线，画出二元一次方程的图象即可； （4）根据图象即可求得方程组的解． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， 令，则， ∴， 故答案为，2； 【小问2详解】 方程的所有解的对应点组成的图形是直线， 故答案为：直线； 【小问3详解】 列表并描点： … 0 1 … … 2 4 … 【小问4详解】由图象可知，二元一次方程组的解为． 23. 在综合与实践课上，同学们以“一副三角板和两条平行线”为背景开展数学探究活动”．如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，． 操作发现： （1）如图2，创新小组的同学让和分别落在直线上，且使直角顶点C，D重合，则的度数为 （提示：过点C作的平行线）； 迁移运用： （2）该小组同学将三角板和三角板按如图3所示位置摆放（直角顶点C，D重合），与交于点H，与交于点G，若， ，求的度数（用含，的式子表示）； 拓展创新： （3）缜密小组的同学改变图2中三角板的位置，三角板的位置保持不变（直角顶点C始终与D重合），当边时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查的是三角板中角度计算及平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题关键， （1）过点C作，证明，根据平行线的性质求出即可； （2）过点C作，过点F作， 证出，根据平行线的性质求出即可； （3）分两种情况，根据图形利用平行线的性质求出即可； 【详解】解：（1）由题意得：， 过点C作， ， ， ， ； （2）过点C作，过点F作， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： 情况一：如下图： ， ， ， ； 情况一：如下图： ， ， ， ， 综上所述，当边时， 的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $