专题03 复数（4类经典基础题+4类优选提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第二册）

专题03 复数 复数的概念 1．（21-22高一下·广东广州·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 2．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D．1 3．（21-22高一下·全国·期末）若复数为纯虚数，则实数 . 4．（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 . 复数的几何意义 1．（20-21高一下·北京丰台·期末）在复平面内，表示复数的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（22-23高一下·新疆喀什·期末）设复数，则的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．25 3．（21-22高一下·上海徐汇·期末）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 4．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围． (1)是纯虚数； (2)对应的点在复平面的第三象限． 复数的加减运算及几何意义 1．（22-23高一下·广东阳江·期末）设，是虚数单位，若复数与互为共轭复数，则复数的模等于（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·天津·期末）为虚数单位，若，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）已知复数，则 ． 4．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）设是虚数单位，若复数满足，则 ． 复数的乘除运算 1．（23-24高一下·广东·期末）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（22-23高一下·湖南长沙·期末）已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 3．（22-23高一下·山西大同·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． （多选）4．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知复数，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在复平面内对应的点在一条直线上 5．（22-23高一上·湖南长沙·期末）已知i为虚数单位， ， .则下列选项中正确的有（　　） A． B． C． D．在复数范围内为方程的根 复数的周期性 （多选）1．（22-23高一下·吉林·期末）设复数，满足，，则下列结论中正确的是（    ） A．的共轭复数为 B． C．若是方程的根，则 D． 2．（22-23高一下·湖南湘西·期末） .（为虚数单位） 3．（22-23高一下·内蒙古赤峰·期末）已知复数满足：，则 ． 4．（22-23高一下·黑龙江·期末）已知为虚数单位，复数满足，则复数 ． 复数的三角表示 1．（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C． D．的最大值为1 （多选）2．（19-20高一下·山东济南·期末）任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 （多选）3．（22-23高一下·江西南昌·期末）已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（    ） A．z的虚部为 B． C． D． 4．（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 辐角 1．（20-21高一下·浙江·期末）若复数（a，b为实数）都可以表示为的形式，其中r是复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，规定在范围内的辐角的值为辐角主值，通常记作．例如的三角形式为，则，已知复数，则z的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求． 复数新定义 1．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23高一下·上海闵行·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；    ②； ③；        ④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论： ① ②    ③. 试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 3．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 4．（22-23高一下·上海徐汇·期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 5．（21-22高一下·上海杨浦·期末）已知复数，设复数分别对应复平面上的点.定义复数. (1)若，求； (2)当点在线段上运动时，求的最大值. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 复数 复数的概念 1．（21-22高一下·广东广州·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 【答案】B 【详解】对于A，，A错误； 对于B， ，当时取等号，B正确； 对于C，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D错误. 故选：B 2．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】由复数得，. 故选：A 3．（21-22高一下·全国·期末）若复数为纯虚数，则实数 . 【答案】 【详解】由题意得，，解得. 故答案为： 4．（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 . 【答案】 【详解】由复数为纯虚数，可知， ，得. 故答案为： 复数的几何意义 1．（20-21高一下·北京丰台·期末）在复平面内，表示复数的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数在复平面内对应的点为，该点所在象限为第四象限， 故选：D 2．（22-23高一下·新疆喀什·期末）设复数，则的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．25 【答案】C 【详解】复数的共轭复数为， 则其模， 故选：C. 3．（21-22高一下·上海徐汇·期末）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【答案】D 【详解】由题意可设， 所以对应复数为，此复数为纯虚数， 故选：D. 4．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围． (1)是纯虚数； (2)对应的点在复平面的第三象限． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是纯虚数， 所以； （2）因为对应的点在复平面的第三象限， 所以， 因此实数m的取值范围为. 复数的加减运算及几何意义 1．（22-23高一下·广东阳江·期末）设，是虚数单位，若复数与互为共轭复数，则复数的模等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与互为共轭复数，，， . 故选：C. 2．（22-23高一下·天津·期末）为虚数单位，若，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，故复数的虚部为. 故选：B. 3．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）已知复数，则 ． 【答案】 【详解】， ， . 故答案为： 4．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）设是虚数单位，若复数满足，则 ． 【答案】 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 复数的乘除运算 1．（23-24高一下·广东·期末）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限． 故选：D 2．（22-23高一下·湖南长沙·期末）已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】，则其共轭复数为，其虚部为， 故选：C. 3．（22-23高一下·山西大同·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 故选：A （多选）4．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知复数，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在复平面内对应的点在一条直线上 【答案】AD 【详解】对于A：设，若，则，故 必有，A正确； 对于B：若，，则有，但，B错误； 对于C：若，，则有，但，C错误； 对于D：设复数，在复平面内对应的点为和 若，则在复平面内对应的点为线段的中垂线，故在复平面内对应的点在一条直线上，D正确. 故选：AD. 5．（22-23高一上·湖南长沙·期末）已知i为虚数单位， ， .则下列选项中正确的有（　　） A． B． C． D．在复数范围内为方程的根 【答案】ABD 【详解】对于A：∵ ， . ∴，故A正确. 对于B： ，故B正确. 对于C：虚数不能比较大小，故C错误. 对于D：由求根公式可知的两个根为 ， ，D正确． 故选：ABD． 复数的周期性 （多选）1．（22-23高一下·吉林·期末）设复数，满足，，则下列结论中正确的是（    ） A．的共轭复数为 B． C．若是方程的根，则 D． 【答案】AD 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B不正确； 因为是方程的根，且， 所以，所以，所以，故C错误； 因为，所以，所以，所以，故D正确. 故选：AD 2．（22-23高一下·湖南湘西·期末） .（为虚数单位） 【答案】 【详解】由题意，的周期为4， 所以原式. 故答案为：. 3．（22-23高一下·内蒙古赤峰·期末）已知复数满足：，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：. 4．（22-23高一下·黑龙江·期末）已知为虚数单位，复数满足，则复数 ． 【答案】 【详解】由题意，复数满足， 可得. 故答案为：. 复数的三角表示 1．（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C． D．的最大值为1 【答案】C 【详解】由， 可得，是纯虚数，故A错误； ，对应的点的坐标为，位于第一象限，故B错误； ， ，故C正确； ， ， 的最大值为3，故错误． 故选：C． （多选）2．（19-20高一下·山东济南·期末）任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AC 【详解】选项A：， 故， 又因为， 所以，选项A正确； 选项B：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以选项B错误； 选项C：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以 所以选项C正确； 选项D：当，时， 由棣莫弗定理得，， 当时， ，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数， 所以选项D错误； 故选：AC. （多选）3．（22-23高一下·江西南昌·期末）已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（    ） A．z的虚部为 B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，因为，所以z的虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为一个复数的辐角有无数多个，故错误，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BD. 4．（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 【答案】 【详解】复数的三角形式是, 向量对应的复数是. 故答案为： 辐角 1．（20-21高一下·浙江·期末）若复数（a，b为实数）都可以表示为的形式，其中r是复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，规定在范围内的辐角的值为辐角主值，通常记作．例如的三角形式为，则，已知复数，则z的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：复数在复平面内对应的点为， 因为，所以，所以在第四象限， 如图所示，设， 则，即， 因为，， 所以，所以，所以 所以z的辐角主值为. 故选：D 2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. （3）当时，，， 则，， 因此关于的方程的根为， 则， 又， 由此可得， 则， 令，得，而为奇数， 所以. 复数新定义 1．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】设 ,, 即 化为 故对应平面内距离为的点，如下图中,   , 与对应点的距离为或 构成了点共个点， 故的最大值为 故选： 2．（22-23高一下·上海闵行·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；    ②； ③；        ④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论： ① ②    ③. 试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 【答案】(1)， (2)①③错误，②正确，证明见解析 (3)证明见解析，答案见解析 【详解】（1）因为，， 所以， （2）设，，，、、、、、、， 则，，故①不成立， ，， ， 因为，， 所以 ，故②正确； ，， ，， 设，，， 则，， ， 所以，故，即③错误； （3）设满足条件的，，、， 则，， 因为为任意的复数，不妨设且， 由定义可得，即，则， 所以，则， 以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值， 不妨令，则， 则 ， 当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值. 3．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【详解】（1）由知，则，故； 设，则， 由知，则，即. （2）直线l上的任意一点“对应”到点， ，且， ，即， 由题意，点仍在直线上，则，又， 则， 展开整理得， 则，解得， 所以，所求的有序实数对为. （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下： 设，则，， ∵，∴， ，即，满足条件①； 设，且，即，得， 由得， 则 ， 则，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为. 4．（22-23高一下·上海徐汇·期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② 【详解】（1）因为，所以， 可得的模为； 因为，所以， 所以的模为； （2）因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， ②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 若复向量与平行，则， 根据中等号成立的条件，应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 5．（21-22高一下·上海杨浦·期末）已知复数，设复数分别对应复平面上的点.定义复数. (1)若，求； (2)当点在线段上运动时，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因， 则，. 又， 则. （2）由题，则线段AB方程为：，即，其中. 由题，设，则，，其中. 则 故，得为实数. 则=，又， 则 又令，其中. 因，，. 则，使. 且在上单调递增，在上单调递减. 故. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$