精品解析：2024年江苏省常州市金坛区中考二模数学试题

2024年春学期九年级阶段性质量调研（二） 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ） A. B. C. D. 2. 计算：（ ） A. a B. C. D. 1 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，的结论是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 __． 10. 计算：（xy2）2=__． 11 若，则________． 12. 因式分解：________． 13. 如图，在中，D是斜边的中点，连接，若，，则________． 14. 如图，在矩形中，，将线段绕点A逆时针方向旋转，使得点B落在边上的点E处，则的长是________． 15. 如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为__________． 16. 如图，E是边上一点，连接、交于点．若，则________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（，）的图像上，分别以点A、B为圆心，2为半径作圆，与y轴相切、与x轴相切，连接，若，则________． 18. 如图，矩形纸片，E是边上一点，连接、．是边上一个动点，连接，沿直线将翻折，点A落在内部的点G处．若，，，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算：． 20. 解方程和不等式组： （1）； （2） 21. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 22. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（面点社团）D（街舞社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动． （1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择1个社团，他选中D（街舞社团）的概率是________； （2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团D（街舞社团），他俩决定各自随机选择第2个社团，请用列表法或树状图求他俩在选第2个社团中选到相同社团概率． 23. 如图，在中，，为角平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 如图，一次函数的图像与y轴负半轴交于点A，与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，当的面积为3时，求一次函数的表达式． 25. 如图，学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定用60米长的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形花园，并用一道篱笆把花园分为A、B两块长方形区域． （1）设垂直于墙的篱笆长是，花园面积是，写出S关于x的函数表达式，并求S的最大值； （2）在花园面积最大的条件下，A、B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，若A区域面积不小于B区域面积的2倍，则至少要购买多少株牡丹？ 26. 给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． （1）在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． （2）若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． （3）若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 27. 如图，在中，，将线段绕点按顺时针方向旋转到，连接．点边上一个动点，连接交于点．已知，． （1）若，则________； （2）若，，求的长； （3）若，点是的中点，求的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴正半轴交于点，与轴交于点，，点是线段上一点（不与点重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，四边形是平行四边形． （1）填空：________． （2）求四边形面积； （3）若点是的中点，连接．点是抛物线上一点，是直线上一点，连接，若与相似，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期九年级阶段性质量调研（二） 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据具有相反意义的量即可得． 【详解】解：因为向东与向西是一对具有相反意义的量， 所以如果向东走10m记作，那么向西走记作， 故选：C． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量是解题关键． 2. 计算：（ ） A. a B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算． 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解题的关键是了解主视图和左视图的大致轮廓为矩形的几何体为柱体． 【详解】解：根据主视图和左视图都是矩形，那么此几何体为柱体，由俯视图为三角形，可得此几何体为三棱柱， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．根据公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 6. 如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对顶角相等及平行线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质是关键． 7. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 8. 如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，的结论是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，，，则，可得，可判断①的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，可知当时，，可判断②的正误；由，可得，将代入得，，可判断③的正误；由，可知、关于对称轴对称，则，可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴，①正确，故不符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∴当时，，②正确，故不符合要求； ∵， ∴， 将代入得，，③错误，故符合要求； ∵， ∴、关于对称轴对称，则，④正确，故不符合要求； 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 __． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答案． 【详解】解：由题意得：点B表示的数是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键． 10. 计算：（xy2）2=__． 【答案】x2y4 【解析】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式=（xy2）2=x2y2×2=x2y4． 11. 若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，整体代入是解题关键．把所求式子提取2，再整体代入计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是明确将一个多项式分解因式的一般步骤；首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：. 13. 如图，在中，D是斜边的中点，连接，若，，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，D是斜边的中点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：12． 14. 如图，在矩形中，，将线段绕点A逆时针方向旋转，使得点B落在边上的点E处，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，弧长计算公式，利用特殊角三角函数值求角度等知识，关键是利用锐角三角函数求角度． 由矩形的性质和旋转的性质可推出，，利用三角函数推出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：由旋转得 ∵四边形是矩形 ∴，， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得，结合，证明，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键． 16. 如图，E是边上一点，连接、交于点．若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质得出，，结合可求出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（，）的图像上，分别以点A、B为圆心，2为半径作圆，与y轴相切、与x轴相切，连接，若，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，切线的性质，勾股定理，依据题意，可得，，再由，从而，进而得解．根据题意得到关于的方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，A的横坐标为2，B的纵坐标为2，得，， ， 或12 又， ． 故答案为：12． 18. 如图，矩形纸片，E是边上一点，连接、．是边上一个动点，连接，沿直线将翻折，点A落在内部的点G处．若，，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】当点G在线段上，设交于点H，由四边形是矩形，可证明，则，求得；当点在线段上，作于点，交于点，作于点，则四边形是矩形，所以，，求得，由，得，由，得，则，求得，再证明，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图1，点G在线段上，设交于点H， 点G与点A关于直线对称， 垂直平分， 四边形是矩形，，，， ，，， ， ， ； 如图2，点G在线段上，作于点K，交于点T，作于点L， ， 四边形是矩形， ，， ， 由翻折得， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 当点G在的内部时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数与解直角三角形等知识，分别求出点G在线段上及点G在线段上时的值是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先计算二次根式的化简和加减运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程和不等式组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程以及解不等式组： （1）将分式方程化整式方程求解即可； （2）分别求解不等式，最后取公共部分即为解集． 【小问1详解】 方程两边同时乘以，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 原方程的解是． 【小问2详解】 解不等式①，得． 解不等式②，得． 不等式组的解集是． 21. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3）小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 22. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（面点社团）D（街舞社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动． （1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择1个社团，他选中D（街舞社团）的概率是________； （2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团D（街舞社团），他俩决定各自随机选择第2个社团，请用列表法或树状图求他俩在选第2个社团中选到相同社团的概率． 【答案】（1） （2）他俩选到相同社团的概率是 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他俩在选第2个社团中选到相同社团的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4个社团，每个社团被选择的概率相同， ∴小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择1个社团，他选中D（街舞社团）的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 小宇 小江 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他俩在选第2个社团中选到相同社团的结果数有3种， ∴他俩在选第2个社团中选到相同社团的概率为． 23. 如图，在中，，为的角平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角的平分线，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理， （1）根据，结合，证明出即可得到； （2）首先得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，然后利用三线合一性质得到，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ， ， ． ，为的角平分线， ． ． ． 24. 如图，一次函数的图像与y轴负半轴交于点A，与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，当的面积为3时，求一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】此题考查了待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式， （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据的面积为3得到，求出，即，然后利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 将代入 得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵的面积为3 ∴ ∴ ∴ ∴将，代入得， ，解得 ∴一次函数的表达式为． 25. 如图，学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定用60米长的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形花园，并用一道篱笆把花园分为A、B两块长方形区域． （1）设垂直于墙篱笆长是，花园面积是，写出S关于x的函数表达式，并求S的最大值； （2）在花园面积最大的条件下，A、B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，若A区域面积不小于B区域面积的2倍，则至少要购买多少株牡丹？ 【答案】（1）S关于x的函数表达式为，S的最大值为300 （2）至少要购买400株牡丹 【解析】 【分析】题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）设垂直于墙的边为米，根据矩形面积公式得，由二次函数性质可得答案； （2）设A区域平行墙的篱笆长，则B区域平行墙的篱笆长，根据A区域面积不小于B区域面积的2倍，列出不等式，求出y的最小值即可； 【小问1详解】 解：设垂直于墙的篱笆长是，则平行于墙的篱笆长为， 由题意得， ， 当时，S有最大值是300， ∴S关于x的函数表达式为，S的最大值为300； 【小问2详解】 设A区域平行墙的篱笆长，则B区域平行墙的篱笆长， 由题意得，解得：， y的最小值是20，则的最小值是400， 至少要购买400株牡丹； 26. 给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． （1）在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． （2）若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． （3）若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1）、，（答案不唯一） （2）点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，则两圆分别与直线和相切，利用勾股定理求出，再设，利用列出方程，求出，即可求解； 【小问1详解】 解：满足的为正数， ，， ，， 点、、、， 只能是与或与形成“斜关点”， 当与形成“斜关点”时，， ， 故答案为：、，（答案不唯一）； 【小问2详解】 设点， 点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且， ，， ， 解得：， ， ， 点的坐标为或； 【小问3详解】 如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆， 两圆分别与直线和相切， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 点需在直线的右侧（可以在直线上）， ， 点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合）， ，， ， 设， ， ， ， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． 27. 如图，在中，，将线段绕点按顺时针方向旋转到，连接．点是边上一个动点，连接交于点．已知，． （1）若，则________； （2）若，，求的长； （3）若，点是的中点，求的长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解； （）证明，可得，据此即可求解； （）过点是作交于点，证明，得到，得到，即得，据此得到，即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴； 小问3详解】 解：如图，过点是作交于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 设，则， 由旋转可得，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即得 ∴， ∴． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴正半轴交于点，与轴交于点，，点是线段上一点（不与点重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，四边形是平行四边形． （1）填空：________． （2）求四边形的面积； （3）若点是的中点，连接．点是抛物线上一点，是直线上一点，连接，若与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标是或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）过点P作轴，由四边形是平行四边形得到，则四边形的面积； （3）当时，即即可求解；当时，同理可解． 【小问1详解】 ∵，则，则点 将点的坐标代入抛物线表达式得： 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，过点作轴于． ． 直线的函数表达式是． 四边形是平行四边形 且 设点，则点． ． ． ． ． ． 【小问3详解】 如图，过点作轴于，过点作于． 则． ，， 直线的函数表达式是， 直线与轴的交点 ． ，， ． ． ， ． ． ①当时，． ． ， ． ②当时，． ． ，． ． 综上所述，点的坐标是或 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合，解直角三角形，相似三角形的性质和判定.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$