精品解析：辽宁省实验中学2023-2024学年高一下学期期中阶段测试数学试卷

辽宁省实验中学2023—2024学年度下学期期中阶段测试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题人：高二数学组 校对人：高二数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的不选，多选，错选均不得分. 1. 给出下列各函数值：①；②；③；④.其中符号为负的有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2. 已知角的终边上有一点，则角的值为（ ） A. （） B. （） C （） D. （） 3. 已知有如下命题： ①锐角一定小于； ②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm； ③若是第二象限角，那么和都不是第二象限角； ④若与终边共线，则必有（） 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（ ） A B. 2 C. D. 1 5. 化简的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知函数，若关于x的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，，满足（），且，若为，的夹角，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是的周期 B. ，在上具有单调性 C. 当时， D. 的图象只有对称轴，没有对称中心 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（），则下列结论正确的是（ ） A. 对于任意的，总为奇函数 B. 对于任意的，总为周期函数 C. 当时，图像关于点中心对称 D. 当时，的值域为 10. 在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（ ） A. 若为的外心，且，则 B. 若为的内心，，，（m，），则 C. 若为的重心，，则 D. 若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 11. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知中，，；则____________. 13. 如果方程在区间上恰有两个解，，则____________. 14. 定义两个向量组，的运算，设，，为单位向量，向量组，分别为，，的一个排列，则的最小值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求的值； （2）若，与垂直，求实数t的值； （3）若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 16. 已知，，其中， （1）求角； （2）求． 17. 已知是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底确定的坐标系称为基底坐标系．当向量不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为．对平面内任一点，连结，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标． 今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，设 （1）计算的大小； （2）质点甲在上距点4米点处，质点乙在上距点1米的点处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动． ①若过2小时后质点甲到达点，质点乙到达点，请用，表示； ②若时刻，质点甲到达点，质点乙到达点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离． 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）若对于任意均有恒成立，求a的取值范围. 19. 矩形ABCD中，P，Q为边AB的两个三等分点，满足，R是折线段BC-CD-DA（不包括A，B两点）上的动点，设， （1）当△APR是等腰三角形，求； （2）当R在线段BC（不包括B，C两点）上运动时，证明：； （3）当R在线段CD（包括C，D两点）上运动时，求最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省实验中学2023—2024学年度下学期期中阶段测试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题人：高二数学组 校对人：高二数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的不选，多选，错选均不得分. 1. 给出下列各函数值：①；②；③；④.其中符号为负的有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式和三角函数的定义检验各式即可判断. 【详解】对于①，； 对于②，； 对于③，，，； 对于④，， 综上所述，符号为负的有③. 故选C. 2. 已知角的终边上有一点，则角的值为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，得到，再结合三角函数的诱导公式，得到，即可求解. 【详解】由题意知，角的终边上有一点， 根据三角函数的定义，可得， 又由三角函数诱导公式，可得， 即，所以. 故选：B. 3. 已知有如下命题： ①锐角一定小于； ②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm； ③若是第二象限角，那么和都不是第二象限角； ④若与终边共线，则必有（） 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】结合角的概念检验①③；结合扇形面积和弧长公式检验②；结合终边相同角的表示检验④. 【详解】对于①，由锐角定义可知，锐角一定小于，故①正确； 对于②，若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则，即半径，所以弧长，扇形的周长为，故②正确； 对于③，若是第二象限角，则，所以，所以不是第二象限角，，所以是第一或第三象限角，故③正确； 对于④，若与终边共线，则必有或，故④错误. 故选：D. 4. 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据题意，求得且，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】以为坐标原点，过点平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 如图所示，可得， 因为是边长为2的等边三角形，可得其外接圆的半径为， 因为点在的外接圆上，设，其中， 则，且， 又因为，可得且， 所以， 当时，即时，取得最大值为， 所以取得最大值为. 故选：C. 5. 化简的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和与差公式和二倍角公式求解即可. 【详解】 . 故选：C. 6. 已知函数，若关于x的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数为，根据题意，转化为在区间上有且只有四个不相等的实数根，求得或，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 因为方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，且， 可得在区间上有且只有四个不相等的实数根， 则或， 解得或，且，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 7. 已知向量，，，满足（），且，若为，的夹角，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，化简得到，根据，求得，结合且，得到，即可求解. 【详解】因为，可得， 所以，可得， 所以，可得， 不妨令分别为且，所以，即， 因为且，经检验可得，此时. 故选：A. 8. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是的周期 B. ，在上具有单调性 C. 当时， D. 的图象只有对称轴，没有对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由周期函数定义求解即可；对于B，由三角函数的单调性求解即可；对于C，由函数单调性先得到，进而得到；对于D，由对称性的定义式即可求解. 【详解】对于A，因为，所以是的周期，故A正确； 对于B，当时，，和都单调递增，所以在上单调递增； 当时，，和都单调递减，所以在上单调递减. 又因为是的周期，所以，在上具有单调性，故B正确； 对于C，时，，，所以， 所以，即，即. 又，所以， 即当时，，故C正确； 对于D，因为，所以的图象关于直线对称，即有对称轴. 又因为，即图象关于点对称，故D错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质.其中，关键点是证明当时，.先利用函数单调性求得，再由不等式运算得到，从而证明该结论. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（），则下列结论正确的是（ ） A. 对于任意的，总为奇函数 B. 对于任意的，总为周期函数 C. 当时，图像关于点中心对称 D. 当时，的值域为 【答案】ABC 【解析】 分析】对于A，由奇函数定义即可求解；对于B，由周期函数定义即可求解；对于C，由对称性定义即可求解；对于D，对进行化简即可求得值域. 【详解】对于A，因为，所以对于任意的，总为奇函数，故A正确； 对于B，因为，所以对于任意的，总有周期，总为周期函数，故B正确； 对于C，当时，，所以此时的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，当时， ，又因为的定义域为，所以的值域为，故D错误； 故选：ABC. 10. 在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（ ） A. 若为的外心，且，则 B. 若为的内心，，，（m，），则 C. 若为的重心，，则 D. 若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据为的外心，得到，结合，求得，可判定A正确；根据为的内心，延长交于，得到点为的中点，且，求得和的长度，得到，可判定B正确；由为的重心，得，根据题意，求得，可判定C不正确；由到三边距离为，结合三角形的面积公式和正弦的倍角公式，求得和，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为为的外心，可得， 因，可得， 所以，所以， 所以，所以，所以A正确； 对于B中，如图所示，为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且， 因为，，可得， 由三角形内心的性质，可得， 即，解得，， 所以， 因为， 所以，所以B正确； 对于C中，因为为的重心，可得，所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为向量与不共线的非零向量，所以且， 所以，此时不是等边三角形，所以，所以C不正确； 对于D中，设的外接圆的半径为， 因为到三边距离为，可得， 且， 所以，可得， 同理可得：，所以，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：用平面向量求解平面几何问题的解答策略： 1、首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量进行表示，然后选择适当的基底向量，将相关的向量表示为基底向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题； 2、再将向量的运算的结果还原为几何关系，应用向量相关的知识，可巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质，同时也应熟记应用三角形四心的几何特征及应用； 3、向量的运算公式，若不含图形，可直接运用相应的运算法则求解；若含有图形，可将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线的性质等，把未知向量用已知向量进行表示. 11. 下列等式成立的有（ ） A B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，以及积化和差公式，逐项运算，即可求解. 【详解】对于A中，由 ，所以A错误； 对于B中，由 ，所以B正确； 对于C中，由 ，所以C正确； 对于D中，由 ，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在中，，；则____________. 【答案】 【解析】 【分析】将条件等式平方相加，结合平方关系和两角和的正弦公式可求，结合内角和公式求. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以或， 若，又，， 所以，，故，， 与矛盾， 若， 则，， 所以，， 所以，又，所以， 满足条件， 所以. 故答案为：. 13. 如果方程在区间上恰有两个解，，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，其中，结合的对称轴为，得到，再由诱导公式和正弦的倍角公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以 其中， 又由的对称轴方程为， 因为方程在区间上恰有两个解， 可得，即， 则. 故答案为：. 14. 定义两个向量组，的运算，设，，为单位向量，向量组，分别为，，的一个排列，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别讨论，以及且，根据的定义及向量的数量积的运算律，分别求得其最小值，即可求解. 【详解】当且时，可得； 当且，时，可得， 当且仅当时，等号成立； 同理可得：当且，或且，时， 此的最小值也为； 当且时， 可得， 由，设，可得，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上可得，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求的值； （2）若，与垂直，求实数t的值； （3）若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1）2； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行得出，结合齐次式求解可得答案； （2）先求解向量坐标，利用垂直可得参数的值； （3）利用投影向量的公式可得答案. 【小问1详解】 因为向量，，， 所以，即，则 【小问2详解】 因为，所以， 则，， 因为与垂直，所以，所以. 【小问3详解】 因为，所以，投影向量. 16. 已知，，其中， （1）求角； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可. （2）根据，利用倍角公式算出，代入即可求解. 【小问1详解】 解：由题意得： 又 【小问2详解】 ， 17. 已知是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底确定的坐标系称为基底坐标系．当向量不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为．对平面内任一点，连结，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标． 今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，设 （1）计算的大小； （2）质点甲在上距点4米的点处，质点乙在上距点1米的点处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动． ①若过2小时后质点甲到达点，质点乙到达点，请用，表示； ②若时刻，质点甲到达点，质点乙到达点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离． 【答案】（1） （2）①；②小时后，两质点相距最短，最短距离为米 【解析】 【分析】（1）通过展开计算即可； （2）①通过以及计算可得；②通过求得，再通过展开计算求最值. 【小问1详解】 因为，所以，， 又，所以． 所以， 即的大小为； 【小问2详解】 ①如图所示： 依题意，过2小时后质点甲到达点（在点左边），且有， 质点乙到达点，且有，故 ②时刻时，质点甲到达点，质点乙到达点， 如图所示： ，则 ， 所以两质点间的距离 ， 因为，所以当时．取得最小值为， 所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米． 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）若对于任意均有恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数为，结合正弦函数的图象与性质，即可求解； （2）由（1）求得，转化为任意均有恒成立，根据，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由 可得函数的最小正周期， 令，解得 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，函数， 可得， 因为对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 又因为， 因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得所以在上单调递减， 所以，则， 所以的取值范围为. 19. 矩形ABCD中，P，Q为边AB的两个三等分点，满足，R是折线段BC-CD-DA（不包括A，B两点）上的动点，设， （1）当△APR是等腰三角形，求； （2）当R在线段BC（不包括B，C两点）上运动时，证明：； （3）当R在线段CD（包括C，D两点）上运动时，求的最大值. 【答案】（1）或 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）△APR是等腰三角形分三种情况：①当时，R和D重合，②当时，，③当时，R在AP中垂线上，分类讨论得解； （2）将角度大小的比较，转化为对应正切值大小的比较，即证即可得证； （3）设，，用表示，最后借助基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 ① 当时，R和D重合，此时为等腰直角三角形，， ②当时，，此时为等腰直角三角形，， ③当时，R在AP中垂线上，， 所以或； 【小问2详解】 证明：设，则有, 所以，即， 因为 所以，即 【小问3详解】 作于M， 设，，，， （1）M在PQ上时， （2）M在BQ，AP上时，两个角的正切值不变. 所以，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于数学中转化与化归思想的应用，第（2）小题的角度转化为正切值，第（3）小题中，引入未知量，把所求转化为关于未知量的式子，结合基本不等式求最值，平时多积累和总结这种转化化归的题型，拓展自己转化化归思维，提升转化的灵活性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$